Segunda-feira, 9 de Novembro de 2009

Relações aritméticas e pensamento algébrico

Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Martin Gardner, quando me deparei com uma enigmática situação envolvendo alguns números naturais consecutivos, organizados de acordo com a figura seguinte:

 

 

* - Kordemsky, B. (1992). The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. New York: Dover Publications.

 

 

Uma primeira apreciação que aí é feita pelo autor é a que refere que o último número de cada coluna é um número quadrado:

 

 

De seguida é referido que o produto de dois números adjacentes numa mesma linha encontra-se nessa linha:

 

 

A título de exemplo, veja-se que 5 x 11 = 55 ou 2 x 6 = 12 ou 4 x 8 = 32.

Também é salientada outra curiosidade: o produto em cada caso referido no aspecto anterior encontra-se à direita do menor dos factores tantas colunas quanto o valor desse menor factor. A título de exemplo, o produto de 5  por 11 encontra-se 5 colunas à direita do menor factor, que é o 5. Por sua vez, o produto de 4 por 8 encontra-se 4 colunas à direita do 4.

Que outras ilações podemos extrair deste conjunto de valores, expostos desta forma?

Podemos, por exemplo, pensar numa forma de se conhecer o valor central de cada coluna. A tabela seguinte associa o número da coluna ao respectivo valor central:

 

Nº da Coluna Respectivo Valor Central
1 1
2 3
3 7
4 13
5 21
... ...
n ?

 

Note-se que não se querendo inferir uma lei geral para se obter qualquer valor central de cada coluna a partir do número da coluna a que pertence, bastaria saber o início e o final de cada coluna e calcular-se a respectiva média aritmética!

Ora, voltando aos valores da tabela, pode-se observar que:

12 - 0 = 1

22 - 1 = 3

32 - 2 = 7

42 - 3 = 13

52 - 4 = 21

Logo, pode-se concluir que para uma coluna "n", o seu valor central será obtido através da seguinte lei geral: n2 - (n - 1).

Desenvolvendo esse algoritmo, fica: n2 - n + 1, isto é: n (n - 1) + 1. Assim, basta multiplicar-se o valor da coluna pelo seu antecedente e ao produto obtido adicionar uma unidade.

A título de exemplo, confirmemos para a oitava coluna. Ora 8 x 7 + 1 = 57. É, de facto, este o valor existente na anterior disposição numérica!

Se é fácil descobrir-se o valor final de cada coluna, por ser sempre um número quadrado, e sendo o quadrado do valor da coluna respectiva, será que também é fácil descobrir a lei geral que permite obter o valor inicial de cada coluna? (1, 2, 5, 10, 17, ...).

A tabela seguinte ajudará na análise dos dados:

 

Número da Coluna Respectivo Valor Inicial
1 1
2 2
3 5
4 10
5 17
... ...
n ?

 

Note-se que:

1 = 12 - 2 x 1 + 2

2 = 22 - 2 x 2 + 2

5 = 32 - 2 x 3 + 2

10 = 42 - 2 x 4 + 2

17 = 52 - 2 x 5 + 2

Assim n2 - 2 x n + 2 será a lei geral que facilmente nos permite obter qualquer número inicial para cada coluna, conhecendo-se o número da coluna (n).

Qual será a lei geral que permite obter, nestas condições, a soma de cada coluna, conhecendo-se apenas o número da coluna?

publicado por Paulo Afonso às 00:24
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