Segunda-feira, 16 de Fevereiro de 2009

Quadrados cercados por números - regularidades mágicas

Os quadrados mágicos de ordem três (com três linhas e três colunas) ou de ordem quatro (com quatro linhas e quatro colunas) costumam ser muito utilizados em actividades de matemática recreativa.

Em artigos anteriores já tive oportunidade de reflectir sobre algumas estratégias de resolução ao nível deste tipo de figuras.

Com base nisso pretendo tecer, agora, uma nova reflexão acerca de uma adaptação ao tema.

Assim, imagine que num diálogo entre dois irmãos, o mais velho tenha desafiado o outro com a seguinte tarefa: "para que um coelho consiga sair da sua gaiola, de forma quadrada, terás que distribuir os seguintes dezasseis números naturais de modo a que a soma de cada quatro deles existentes em cada uma das paredes da gaiola seja sempre 34. Ao conseguires fazer isso, o coelho estará em condições de poder sair pela porta nº 3 ou pela porta nº 4 para vir comer cenouras no espaço exterior à gaiola. Qual a tua sugestão?"

Esta actividade pode ter várias soluções, de entre as quais apresento as seguintes:

Note que relativamente à figura inicial, as resoluções apresentadas permitem que se conclua que (a) mantendo, no caso da esquerda, os valores extremos das linhas e os valores centrais das colunas, permutando os restantes, ou (b) mantendo, no caso da direita, os valores centrais das linhas e os extremos das colunas, permutando os restantes, o resultado é sempre 34.

Além destas resoluções, a seguinte também é válida:

Uma observação atenta permite visualizar a existência de uma certa distribuição geométrica dos números: (a) 1, 2, 3 e 4 situam-se ao nível das linhas, envolvendo os extremos da de cima e os meios da de baixo, (b) 5, 6, 7 e 8 situam-se ao nível das colunas, envolvendo sempre os valores centrais (c) 9, 10, 11 e 12 também se situam ao nível das colunas, mas envolvendo apenas os valores extremos, (d) 13, 14 15 e 16 voltam a situar-se nas linhas, mas ocupando os lugares que ainda estavam vazios (valores extremos na fila de baixo e valores centrais na fila de cima).

E se os dezasseis números naturais iniciarem no 2 e terminarem no 17, qual será a soma mágica que permite a saída do coelho para o exterior?:

Usando, por exemplo, o critério utilizado na primeira resolução anterior, verifica-se a obtenção de uma nova soma mágica de valor 38:

 

Neste caso, o coelho poderia sair pelas portas contendo o valor 3 e o valor 8.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos, para além de descobrirem a existência de uma regularidade entre a soma mágica obtida e os dezasseis números envolvidos na tarefa, descobrissem, também, que a soma mágica coincide com o dobro da soma dos dois valores extremos de cada conjunto dos dezasseis números que estão em jogo.

De facto, no primeiro caso, os valores extremos são o 1 e o 16, cuja soma é 17 e a soma mágica é o dobro deste valor - 34. Por sua vez, neste último caso, os valores extremos são o 2 e o 17, cuja soma é 19 e a soma mágica volta a ser o seu dobro - 38.

Tendo em conta este conjunto de observações e de conclusões, será fácil descobrir os dezasseis números envolvidos numa soma mágica 60, bem como a sua disposição?

 

publicado por Paulo Afonso às 00:01
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