Segunda-feira, 1 de Março de 2010

Operar com números pares

Muitos tipos de números já foram objecto de análise neste blog. Desde os números figurados, como sejam os números triangulares ou os números quadrados, até aos números cúbicos, todos serviram de base a explorações de natureza recreativa.

 

Para este novo artigo seleccionei o conjunto dos números pares. De entre múltiplas actividades que os podem envolver, escolhi algumas de natureza aditiva.

 

Num contexto de matemática recreativa como distribuir, na figura seguinte, os sete primeiros números pares, de modo a que a soma de "a + b + c + d" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g":

 

Esta tarefa poderia ser resolvida pela estratégia de tentativa e erro. Contudo, em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que "a" deveria coincidir com a soma de "g + f + e", porque a adição "b + c + d" é comum em ambos os casos.

 

Sendo assim, e tendo em conta estes sete primeiros números pares, os dois únicos casos em que cada um desses sete números coincide com a soma de outros três são o 12 (2 + 4 + 6) e o 14 (2 + 4 + 8). Logo, eis as duas soluções possíveis:

 

 

Vejamos agora um outro desafio, um pouco mais complexo do que o anterior:

 

Usando os oito primeiros números pares, como os distribuir na figura seguinte, de modo a que "a + b + c + d" seja igual a "e + f + g + h":

 

 

Esta tarefa deveria incutir nos resolvedores um sentido de indagação acerca de como os números estão relacionados na disposição geométrica da figura.

 

Por outro lado, sabe-se que a soma dos oito primeiros números pares é 72, pois 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72.

 

Como se trata de uma soma par, pode ser decomposta em dois valores iguais (72 = 36 + 36). Logo, a ser possível resolver esta tarefa, cada uma das duas partes da figura deverá estar associada a este valor 36.

 

Resta agora averiguar se com os valores em causa será possível obter este número duas vezes. Curiosamente o 36 permite decompor-se, também ele, em dois números iguais (18 + 18) e este valor pode ser obtido de quatro maneiras diferentes:

 

a) 18 = 16 + 2

b) 18 = 14 + 4

c) 18 = 12 + 6

d) 18 = 10 + 8

 

Tendo em conta estas quatro maneiras de se obter o valor 18, eis que existem três possibilidades de resposta à tarefa colocada:

 

1 - a) + b) e c) + d)

2 - a) + c) e b) + d)

3 - a) + d) e b) + c)

 

16 + 2 e 14 + 4 12 + 6 e 10 + 8
16 + 2 e 12 + 6 14 + 4 e 10 + 8
16 + 2 e 10 + 8 14 + 4 e 12 + 6

 

Imagine, agora, que era solicitado a distribuir os nove primeiros números pares na figura seguinte, de modo a que a soma de "a + b + c + d + f + g + h + i" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g + h". Como fazer?

 

 

Eis quatro possíveis soluções:

 

 

 

Há, certamente, outras soluções. Investigue quais são e explicite o raciocínio utilizado.

publicado por Paulo Afonso às 23:08
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