Domingo, 11 de Dezembro de 2011

Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos

Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.

 

Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.

 

Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:

 

n = 1 21 - 1 = 2 - 1 = 1
n= 2 22 - 1 = 4 - 1 = 3
n = 3 23 - 1 = 8 - 1 = 7
n = 4 24 - 1 = 16 - 1 = 15
n = 5 25 - 1 = 32 - 1 = 31
n = 6 26 - 1 = 64 - 1 = 63
n = 7 27 - 1 = 128 - 1 = 127
n = 8 28 - 1 = 256 - 1 = 255
n = 9 29 - 1 = 512 - 1 = 511
n= 10 210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

 

Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.

 

Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?

 

Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:

 

n = 2 3 x 2n-1 = 3 x 2 = 6
n = 3 7 x 2n-1 = 7 x 4 = 28
n = 5 31 x 2n-1 = 31 x 16 = 496
n = 7 127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128
n = 9 511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816

  

Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?

 

Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:

 

Fatorização do 6 Fatorização do 28 Fatorização do 496
   

 

6 = 2 x 3 28 = 22 x 7 496 = 24 x 31

 

Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:

 

 

Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:

 

 

Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:

 

 

Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?

 

Vejamos:

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

 

Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.

 

A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.

 

Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?

 

 

publicado por Paulo Afonso às 18:05
link do artigo | comentar | favorito
|
Sábado, 3 de Dezembro de 2011

Conexão matemática en...

Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a det...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 14:13
link do artigo | comentar | favorito
|
Sexta-feira, 9 de Outubro de 2009

Adicionando números p...

Como é do conhecimento de muitas pessoas, designadamente dos mais ligados a questões da Matemática, não existe nenhum al...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 10:59
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito
|
Terça-feira, 8 de Setembro de 2009

De Mataix ao jogo do ...

Durante este período de férias tive a oportunidade de me cruzar com o interessante livro de Mariano Mataix, intitulado &...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:02
link do artigo | comentar | favorito
|
Quarta-feira, 29 de Outubro de 2008

Múltiplas conexões ma...

Se nos lembrarmos do nosso tempo de escola, recordaremos que se falava em vários tipos de números. Havia os pares, os ím...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:34
link do artigo | comentar | favorito
|
Quinta-feira, 23 de Outubro de 2008

A beleza matemática d...

Num dos artigos anteriores tive a oportunidade de me pronunciar acerca de um determinado tipo de números que tinham a pa...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:40
link do artigo | comentar | favorito
|

mais sobre mim

pesquisar

 

Traduzir Blog


Visitas ao segundo

artigos recentes

Conexão matemática entre ...

Conexão matemática entre ...

Adicionando números primo...

De Mataix ao jogo do Trin...

Múltiplas conexões matemá...

A beleza matemática dos n...

Prazer matemático

Cortesía de AoPS

palavras-chave

todas as tags

links

Traduzir


Get Your Own Scroller

Contador

Web Counter

Janeiro 2013

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Pessoas on-line

online

Publicidade

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"

MusicPlaylist