Domingo, 27 de Maio de 2012

Dar sentido aos números

Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.

 

Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.

 

Mas o que será expectável surgir da sua análise?

 

- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?

 

- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?

 

- Que os números estão relacionados através de um padrão ou regularidade? De facto:

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

 

- Que os números obedecem a uma regularidade ou padrão associada ao número quatro? De facto:

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

 

- Que todos se podem associar à tabuada do quatro? De facto:

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

  

Nota: Que tipo de números são os fatores da direita de cada uma das multiplicações anteriores?

 

 - Que todos se podem associar à tabuada do três, conjugada com a operação adição? De facto:

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

  

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

  

- Que todos se podem associar à tabuada do cinco, conjugada com a operação subtração? De facto:

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

 

Nota: Que tipo de números são os subtrativos destas subtrações?

 

- Que todos eles se podem decompor em somas de parcelas iguais? De facto:

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20 

 

Nota: Que tipo de números são as parcelas da direita destas adições?

 

- Que todos eles podem ser decompostos em adições especiais, do tipo (x + x2) + (x + x2)? De facto:

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

 

- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

 

- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?

 

Perante a análise realizada acima, é desejável que se conclua o seguinte:

 

4 = 4

12 = 4 + 8

24 = (4 + 8) + 12

40 = (4 + 8 + 12) + 16

(4 + 8 + 12 + 16) + 20 = 60

 

4 = (1 x 4)

12 = (1 x 4) + (2 x 4)

24 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4)

40 = (1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4)

(1 x 4) + (2 x 4) + (3 x 4) + (4 x 4) + (5 x 4) = 60

 

4 = 4 x 1

12 = 4 x 3

24 = 4 x 6

40 = 4 x 10

4 x 15 = 60

 

4 = 3 x 1 + 1

12 = 3 x 3 + 3

24 = 3 x 6 + 6

40 = 3 x 10 + 10

3 x 15 + 15 = 60

 

4 = 5 x 1 - 1

12 = 5 x 3 - 3

24 = 5 x 6 - 6

40 = 5 x 10 - 10

5 x 15 - 15 = 60

 

4 = 2 + 2

12 = 6 + 6

24 = 12 + 12

40 = 20 + 20

30 + 30 = 60

 

4 = (1 + 12) + (1 + 12)

12 = (2 + 22) + (2 + 22) 

24 = (3 + 32) + (3 + 32) 

40 = (4 + 42) + (4 + 42)

(5 + 52) + (5 + 52) = 60

 

4 = 1 x 2 + 2 x 1

12 = 2 x 3 + 2 x 3

24 = 3 x 4 + 2 x 6

40 = 4 x 5 + 2 x 10

5 x 6 + 2 x 15 = 60

 

Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?

 

A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:

 

[n x (n + 1)] + 2 x [(n2+ n) : 2] = n2+ n + n2+ n = 2n2+ 2n = 2n x (n + 1)

 

Logo, se n = 10, então 2 x 10 x (10 + 1) = 20 x 11 = 220

 

Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados. 

publicado por Paulo Afonso às 16:55
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