Domingo, 24 de Outubro de 2010

Pirâmides numéricas

Conectar a Álgebra à Geometria, e vice-versa, costuma ser usual no âmbito de actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para reflexão também apela a este tipo de conexão matemática e visa contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

De facto, irei utilizar o objecto matemático - Pirâmide quadrangular - e desafiarei os meus leitores a descobrir o número a colocar na base deste tipo de sólido tendo em conta que esse valor será a soma de quatro outros números, cada um deles a colocar em cada uma das faces laterais do sólido. Contudo, há uma regra para a colocação destes quatro números. Conhecendo-se o primeiro deles, o segundo será sempre o dobro dele acrescido de uma unidade; já o terceiro será o dobro do segundo, também acrescido de uma unidade e o quarto será o dobro do terceiro, acrescido de uma unidade também. Os números poderão ser colocados de acordo com o sentido dos ponteiros do relógio e a planificação do sólido em causa é a seguinte:

 

Se o menor dos números for o 1, quais os restantes?

 

Trata-se de uma tarefa de simples resolução e eis a figura plana que lhe dá resposta:

 

Temos, pois, que o dobro de 1, mais 1 é 3; o dobro de 3, mais 1 é 7; o dobro de 7, mais 1 é 15 e o dobro de 15, mais 1 é 31. Logo, o valor a colocar na base desta pirâmide seria o número 26, pois 26 = 1 + 3 + 7 + 15.

 

Como tarefa simples que é, alarguemos o estudo a três novas pirâmides, iniciadas, respectivamente pelo valor 2, pelo valor 3 e pelo valor 4. Eis as soluções:

 

 

Seria interessante, em contexto de sala de aula, levar os alunos a investigarem possíveis relações existentes entre estas quatro planificações, em termos dos valores numéricos das faces laterais e das respectivas bases. 

 

Uma conclusão possível seria a de que o valor que inicia a figura seguinte é sempre o número que sucede ao menor número que iniciou a figura anterior (1 - 2 - 3 - 4). Já a segunda posição, aquela que é o resultado de se dobrar o primeiro valor em cada figura acrescido de uma unidade, é sempre maior em duas unidades do que o respectivo valor da figura anterior (3 - 5 - 7 - 9). Este tipo de raciocínio também poderia ser feito para o terceiro valor de cada figura, como sendo sempre maior em quatro unidades relativamente ao valor da figura imediatamente anterior (7 - 11 - 15 - 19). Por sua vez, os maiores números de cada planificação também obedecem a uma regularidade numérica. De facto o valor da figura seguinte nessa posição é sempre maior em oito unidades relativamente ao respectivo valor da figura anterior (15 - 23 - 31 - 39).

 

Ora, nestas condições de evidência de várias relações numéricas entre as diferentes planificações das pirâmides, também seria desejável que os alunos tentassem averiguar se os valores das bases se podem relacionar entre si. Será que sim?

 

Uma possível análise, de natureza mais algébrica, poderia ser a que a figura seguinte evidencia:

 

Note-se que se o 1º valor for "x", o segundo será o seu dobro mais uma unidade "2x + 1". Por sua vez, o 3º número será o dobro do 2º, acrescido de uma unidade, isto é: 2 (2x + 1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3. Já o 4º número será o dobro do 3º, acrescido de uma unidade, ou seja: 2 (4x + 3) + 1 = 8x + 6 + 1 = 8x + 7. Logo, o valor da base resulta da soma de todos os valores das faces laterais: x + (2x + 1) + (4x + 3) + (8x + 7), onde os parêntesis só servem para evidenciar cada uma das quatro somas. Logo, o seu valor será 15x + 11, que mais não do que o produto do valor inicial por 15, acrescido de 11 unidades.

 

Testemos esta lei geral ou algoritmo para o caso de "x", isto é, o valor inicial ser 5:

 

O valor da base será 15 x 5 + 11 = 86.

 

No sentido de se confirmar este valor através da construção da planificação e seguindo as regras acima enunciadas para a escrita dos quatro números laterais, sabe-se que:

 

1º valor ----- 5

2º valor ----- 2 x5 + 1 = 11

3º valor ----- 2 x 11 + 1 = 23

4º valor ----- 2 x 23 + 1 = 47

 

Logo, a soma será 5 + 11 + 23 + 47 = 86:

 

Outra possibilidade de se poder chegar à soma da base passa por se investigar um outro tipo de relação numérica existente entre cada valor inicial e cada soma respectiva das figuras analisadas:

 

Valor inicial Soma da base
1 26
2 41
3 56
4 71
n

?

 

Note-se que a tabela anterior evidencia que cada soma é igul à soma anterior mais 15 unidades. Logo a mesma pode ser reescrita da seguinte forma:

 

Valor inicial Soma da base
1 26 = 26 + 0 x 15
2 41 = 26 + 1 x 15
3 56 = 26 + 2 x 15
4 71 = 26 + 3 x 15
n

26 + (n - 1) x 15

 

Logo, testando este algoritmo para o valor "n" inicial 5, confirma também a soma 86, pois: 26 + (5 - 1) x 15 = 26 + 4 x 15 = 26 + 60 = 86.

 

Tirando partido desta reflexão, será capaz de averiguar se o valor 161 pode ser um valor válido a colocar na base de uma pirâmide deste tipo, em que os quatro valores laterais obedecem às regras acabadas de analisar. No caso de ser um valor válido, quais serão os quatro valores a colocar nas faces laterais da pirâmide?

publicado por Paulo Afonso às 23:08
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