Segunda-feira, 26 de Janeiro de 2009

Explorando hexágonos regulares

À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: www.maismat.blogspot.com. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:

Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?

Por tentativas a resposta poderá ser a seguinte:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem associar este desafio ao conceito de média aritmética, que neste caso é o valor 4, pois o total (28) a dividir pelo número de elementos da sequência numérica (7) origina esse valor.

Contudo, caso os alunos ainda não estejam na posse desse conceito, podem ser levados a concluir que a sequência numérica é susceptível de ter a seguinte interpretação:

- O valor central é o 4.

- 1 + 7 = 8.

- 2 + 6 = 8.

- 3 + 5 = 8.

Logo, a soma da linha vertical e de cada linha oblíqua, de três parcelas, seria sempre 12, pois 4 + 8 = 12.

Tendo em conta o raciocínio anterior, os alunos também poderiam ser desafiados a realizar tarefas semelhantes para os dois casos seguintes: (a) sequência numérica composta pelos sete primeiros números ímpares e (b) sequência numérica composta pelos sete primeiros números pares.

Eis as possíveis soluções:

NÚMEROS ÍMPARES NÚMEROS PARES
SOMA MÁGICA --- 21 SOMA MÁGICA --- 24

De facto, uma possível explicação passa pelos esquemas seguintes: 

Pense, agora, em como distribuir os sete primeiros números naturais de modo a que a soma dos três valores centrais, indicados pela seta, seja a terça parte da soma dos quatro valores envolvidos nas linhas oblíquas acima e abaixo dessa linha central:

Fazendo-se o estudo, equivale a encontrar-se uma soma para a linha central que é a terça parte da soma envolvendo os restantes quatro números dos quatro restantes hexágonos. Por outras palavras, a soma desses quatro valores tem de ser um valor que é triplo do valor da soma da linha central. Por outro lado sabemos que o total dos sete números implica uma soma de 28. Logo, basta resolver-se a seguinte igualdade: 3x + x = 28 para se saber o valor da soma da linha central, que é 7. Consequentemente, a soma dos outros quatro valores terá de ser 3 x 7 = 21. 

Ora, o valor 7 só pode ser obtido através das seguintes parcelas: 1, 2 e 4, pois 1 + 2 + 4 = 7.

Já o valor 21 pode ser decomposto em 10 + 11, que é, respectivamente, (7 + 3) e (6 + 5). Por outro lado também pode ser decomposto em 9 + 12, que é, respectivamente, (6 + 3) e (7 + 5). Logo, os dois casos de resolução correcta são os seguintes:

Um estudo semelhante a este pode ser feito para o seguinte desafio: As duas figuras seguintes são uma mesma e usando apenas os sete primeiros números naturais procure distribuí-los nos sete hexágonos de modo a que a soma das duas linhas centrais seja sempre a mesma e igual à soma dos valores dos restantes quatro hexágonos:

Eis duas possíveis resoluções: 

Haverá mais alguma solução? Encontre-a, justificando o seu raciocínio.

A terminar esta reflexão distribua os dezanove primeiros números naturais nos seguintes dezanove hexágonos, de modo a que a soma de quaisquer hexágonos adjacentes (3, 4 ou 5), perfazendo uma linha completa, seja sempre 38. Repare que alguns desses números já se encontram na posição correcta:

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