Sábado, 29 de Outubro de 2011

Problemas de lógica envolvendo três variáveis

O tema da resolução de problemas tem sido várias vezes objeto de análise e reflexão neste Blog. No momento em que abordei a estratégia de dupla entrada, como sendo uma possível estratégia de resolução de problemas, socorri-me de problemas de lógica, envolvendo apenas duas variáveis. Ora, em contexto de recreação matemática este tipo de problemas costuma ser muito desafiador, pois a natureza das premissas cativam imenso à tentativa de resolução.

 

Desta vez volto a refletir sobre o mesmo tema mas acrescento-lhe algum nível de dificuldade sem, contudo, lhe diminuir o interesse, pois vou abordar o mesmo tipo de problemas mas contemplando três variáveis em simultâneo e não apenas duas.

 

Para tal vou basear-me no enunciado de uma situação problemática que encontrei num interessante livro de Calos Lopes*. Eis o que se pretende:

 

"A Ana, a Bela, o David, e o Ivo terminaram nas primeiras quatro posições numa corrida de atletismo. Os seus apelidos são Gonçalves, Jarra, Choupina e Pires. Com as pistas fornecidas, emparelha os nomes com os apelidos e determina a posição de cada um deles na corrida.

 

a) A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida.

b) O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela.

c) O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida.

d) A Ana terminou atrás do Gonçalves.

e) O David não terminou em terceiro" (Lopes, 2002, p. 43). 

 

* - Lopes, C. (2002). Estratégias e Métodos de Resolução de Problemas em Matemática. Porto: ASA.

 

Como estratégia de resolução, o resolvedor terá se relacionar três variáveis: os nomes, os apelidos e as posições ocupadas na prova de atletismo. Para tal, será de todo conveniente elaborar uma tabela como a que sugiro a seguir:

 

 

Esta tabela permite cruzar duas variáveis de cada vez: (a) nome com apelido; (b) nome com posição na prova e (c) apelido com posição na prova.

 

De seguida vamos colocar as indicações provenientes das premissas, começando pela premissa a), que diz o seguinte: "A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida".

 

Ora desta premissa podemos tirar, de imediato, duas conclusões:

 

- A Jarra não é homem, por isso já não pode ser o David nem o Ivo;

- A Jarra não terminou a prova em 1º lugar.

 

Vejamos como fica a tabela, deixando a indicação da premissa de onde proveio a informação. O símbolo a usar para referir "não é" pode ser um "X":

 

 

Passemos à premissa b): "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela".

 

Desta premissa concluímos que:

- O Ivo não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não ficou em 1º lugar.

- A Bela não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não é Pires.

- A Bela não é Pires.

- O Pires não ficou em 1º lugar.

 

Eis como fica agora a tabela:

 

 

 

 

Já a terceira premissa: "O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida", permite que se conclua o seguinte:

- A choupina é uma senhora, logo não será o David nem o Ivo:

 

  

Vejamos a premissa seguinte: "A Ana terminou atrás do Gonçalves". Daqui conclui-se que:

- A Ana não tem apelido Gonçalves.

- Gonçalves também não é a Bela por ser homem.

- A Ana não ficou em 1º lugar.

- Gonçalves não ficou em 4º lugar.

 

Eis como fica agora a figura:

 

 

A premissa seguinte: "O David não terminou em terceiro" permite mais uma sinalização na tabela:

 

 

Neste momento esgotaram-se as premissas, pelo que a tabela contempla toda a informação explícita que cada uma pôde transmitir. De seguida temos de observar a tabela para vermos se já se poderá concluir algo mais. Note-se que o Ivo já só pode ter o apelido de Gonçalves. Logo, este apelido já não pode ser o de mais ninguém, pelo que trancamos a negro o espaço em que o Gonçalves se cruzava com o David. Por outro lado, pelo facto de sabermos que o Ivo não era o 1º classificado, então o Gonçalves, por ser a mesma pessoa, também não o será. Eis como fica a figura:

 

 

 

 

O 1) que deverá aparecer na tabela significa que se prende com o 1º conjunto de conclusões ocorridas após se terem colocado na tabela todas as informações provenientes diretamente das premissas.

 

Continuando a observar a tabela, mais conclusões podem ser formuladas:

- O David já só pode ter o apelido Pires, logo o Pires já não poderá ser a Ana.

- O 1º lugar já só pode ser ocupado pela Choupina, pelo que esta já não ocupará as restantes posições.

- Se a Choupina é a 1ª classificada, o Gonçalves já não o poderá ser.

- Se o Pires não era o 1º classificado, então o David também não o será.

- Se o David não era o 3º classificado, o Pires também não o será.

 

Eis a respetiva tabela:

 

 

 

Logicamente que o 2) representa o 2º conjunto de conclusões que foi possível fazer-se.

 

 

Tal como está a informação da tabela, em 1º lugar só poderá ter ficado a Bela. Logo esta já não pode ficar em 2º nem em 3º lugar. Por sua vez, se já sabemos que o 1º lugar foi ocupado pela Choupina, então podemos concluir que a Bela tem apelido Choupina. Logo a Bela já não pode ser Jarra. Eis como fica agora a tabela: 

 

 

Neste momento já podemos concluir que a Ana tem apelido Jarra:

 

 

Assim, já conhecemos todos os emparelhamentos entre nome próprio e apelido:

- Ana Jarra.

- Bela Choupina.

- David Pires.

- Ivo Gonçalves.

 

De seguida, parece que não há evidências explícitas que ajudem no prosseguimento da resolução. Contudo, voltemos à premissa b), que diz o seguinte: "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela". O mesmo será dizer que o Ivo Gonçalves ficou à frente do David Pires e atrás da Bela Choupina. Esta informação permite que ao olharmos para a linha do Pires este só possa ser 4º classificado para que o Ivo possa ficar à frente dele. Eis a tabela respetiva:

 

 

Por último e atendendo à premissa d): "A Ana terminou atrás do Gonçalves", esta ficou em 3º lugar e o Ivo Gonçalves em 2º:

 

 

Em síntese, a tabela seguinte evidencia que:

- A Bela Choupina ficou em 1º lugar.

- O Ivo Gonçalves ficou em 2º.

- A Ana Jarra ficou em 3º.

- O David Pires ficou em 4º lugar.

 

 

Com o intuito de se poder praticar este tipo de estratégia de resolução deixo como sugestão um enigmático texto, proposto por Albano Coutinho**, num excelente livro publicado no ano de 2005 pela editora 1000 ideias promocionais:

"As três à porta do prédio

 

Alguém terá registado numa fita magnética de um gravador o seguinte diálogo:

 

- Olhe, Dona Rosa, eu a falar dela e ela a aparecer!... Aí vem a tal que mora por cima do andar da Dona Júlia...

 

- A senhora ainda não lhe sabe o nome?!... Bom dia, Dona Edite!

 

- Como vai, Dona Rosa, passa bem?!... E a vizinha, como vai?...

 

- Olá, Dona Edite! Estávamos, agora mesmo, a falar da senhora. Aqui a Dona Fernanda dizia-me que a senhora tem tido uma paciência enorme para aturar os seus vizinhos do andar por cima do seu. Aquele senhor Eugénio tem cá um feitio!...

 

- É um malcriadão, um insolente. Nem calculam o que temos passado! O meu João ainda um dia perde a cabeça e é uma desgraça!... Mas olhem que ela ainda é pior do que ele! Não é que um destes dias...

 

- Ó Dona Edite, é verdade que aquela safada lhe sujou a roupa que a senhora tinha a secar na varanda?...

 

- E de propósito! Aquela porcalhona, malvada!... Ela, a Felismina, veio à janela com um balde de água suja - sabe-se lá de quê!... - olhou para todos os lados e, julgando que ninguém a estava a ver, lançou toda aquela sujidade para cima da minha roupa. Só que o senhor Gregório, que vinha do emprego, viu tudo da rua. Claro que foi contar o que viu à sua senhora, que logo se apressou a subir um lanço de escadas para me vir dizer... Foi o fim do mundo!...

 

- Eu sei, eu sei!... Por acaso eu até nem estava em casa, mas o meu Alberto presenciou tudo e contou-me. Sabe... Não é que ele goste de se meter na vida dos outros, mas, pelos vistos, o banzé foi de tal ordem... e lá em cima, onde moro, como imaginam, nem que não se queira ouve-se tudo!...

 

- Ainda agorinha, antes de a senhora chegar, era esse episódio que eu estava a comentar. O meu Narciso até me disse, que se o caso fosse connosco, a coisa iria piar fino!... E olhem que nós somos, de todos os inquilinos do prédio, os que estamos mais sujeitos a este tipo de dissabores.

 

- ... Foi o fim do mundo!... Como eu dizia, o meu marido foi logo bater à porta do andar deles para pedir satisfações... E não é que a besta do Eugénio veio lá de dentro com uma caçadeira nas mãos?!... O cobarde!...

 

- E o seu marido?!...

 

- Bem... assim, de repente, apanhado de surpresa, sem estar preparado... Ao meu marido apenas lhe ocorreu perguntar: - Como é?!... Vamos à caça?!

 

...«acasalar» cada um dos pares envolvidos e atribuir-lhes os andares correspondentes" (Couto, 2005, pp. 131.132).

 

** - Coutinho, A. (2005). Lógico! 100 Problemas de Lógica. Porto: 1000 ideias promocionais.

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