Terça-feira, 1 de Junho de 2010

Geometria algebrizada - o caso das áreas de quadrados

Conectar vários conceitos matemáticos entre si tem sido uma forte aposta deste blog. Ora, neste centésimo artigo deste espaço da blogosfera pretendo voltar ao tema das conexões matemáticas por forma a elucidar, com um exemplo mais, a importância desta concepção acerca da Matemática.

 

O exemplo que escolhi tem a ver com o cálculo de áreas pelo método da decomposição passando, depois, pela sua exploração algébrica. Vejamos a figura seguinte e calculemos a área do quadrilátero de lado "a", tendo em conta que a unidade de área é a área ocupada pelo menor quadrado que faz parte da malha quadrada onde esse quadrilátero se encontra:

 

Ora, como se trata de um quadrado com 14 quadrículas de lado, tem de área 14 x 14 = 196 unidades de área. Isto é, como a = 14, então a área da figura é a2 = 142 = 196.

 

Analisemos, de seguida a figura de lado "b" e calculemos a sua área:

 

Um processo simples de realizar o cálculo é decompor a figura inicial, de lado "a" em 4 quadriláteros:

 

Note-se que a figura de lado "b" ocupa sempre metade de cada um dos quatro quadriláteros em que a figura de lado "a" foi decomposta. Logo, podemos concluir que a área da figura de lado "b" é metade da área da figura de lado "a", isto é, 98 unidades de área.

 

Em termos algébricos seria interessante que os alunos concluíssem que o lado do quadro menor - lado "b" - é a hipotenusa do triângulo rectângulo isósceles de lado "a/2". Logo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que b2 = (a/2)2 + (a/2)2 = a2/4 + a2/4 = 2a2/4 = a2/2. Em síntese, a igualdade b2 = a2/2 significa que a área do quadradado de lado "b" é metade da área do quadrado  de lado "a".

 

Qual será a área do quadrado de lado "c", comparativamente à área do quadrado de lado "a"?:

 

 

O Quadrado de lado "c" tem de lado 7 quadrículas unitárias. Logo, a sua área é 72 = 49 unidades de área. Note-se que esta área é metade da área do quadrado de lado "b" e quarta parte da área do quadrado de lado "a".

 

 

Em termos algébricos, e tal como a figura sugere, o comprimento do lado "c" é metade do comprimento do lado "a", isto  é: c = a/2. Logo, o cálculo da área do quadrado de lado "c" é a seguinte: a/2 x a/2 = a2/4. Daqui conclui-se que a área do quadrado de lado "c" é a quarta parte da área do quadrado de lado "a". Logo 196 : 4 = 49 unidades de área.

 

Analisando-se estes três casos, consta-se a existência de um padrão ou regularidade:

 

quadrado de lado "a" - sua área é a2

quadrado de lado "b" - sua área é a2/2

quadrado de lado "c" - sua área é a2/4

 

Tendo em conta esta regularidade, é admissível que surja a estimativa de que a próxima figura terá de área a/8, isto é, será um oitavo da área da figura do quadrado de lado "a" ou metade da área da quadrado de lado "c". Eis a figura respectiva:

 

 

Confirma-se, pois que a área do quadrado de lado "d" é metade da área do quadrado de lado "c", isto é, 24,5 unidades de área, como mostra a decomposição seguinte:

 

 

Note-se que conseguimos identificar 14 quadrículas inteiras, mais 10 por junção de quadrículas adjacentes, mais meia quadrícula que é a que resulta dos quatro triângulos assinalados a vermelho. Logo, a área da figura de lado "d" é 24,5 unidades de área.

 

Voltando à regularidade acima assinalada, podemos acrescentar esta nova linha:

 

quadrado de lado "a" - sua área é a2

quadrado de lado "b" - sua área é a2/2

quadrado de lado "c" - sua área é a2/4

quadrado de lado "d" - sua área é a2/8

 

Dando continuidade a esta regularidade, qual será a área do oitavo quadrado? 

publicado por Paulo Afonso às 00:16
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