Sábado, 5 de Março de 2011

Das regularidades numéricas ao conceito de Triângulo de Pascal

O tema das regularidades numéricas tem vindo a ser objecto de reflexão neste espaço virtual. Muito associado ao tema do pensamento algébrico, as regularidades de natureza numérica e/ou geométrica contribuem decisivamente para a estruturação deste tipo de pensamento.

 

O exemplo que trago agora para partilhar passa por solicitar uma análise ao seguinte conjunto de números no sentido de se encontrar alguma regularidade entre eles:

 

 

De entre várias possibilidades de resposta, destacamos a análise a cada linha horizontal. Para cada uma das três linhas verifica-se a existência do conceito matemático "o dobro de ou 2x". Vejamos:

 

 

Existe, pois, uma regularidade segundo este nível de análise. Centremos agora a nossa atenção ao nível das colunas. Outras regularidades passam a ser evidenciadas:

 

 

Note-se que o operador aditivo em cada caso é sempre igual e de caso para caso vai dobrando o seu valor sucessivamente.

 

Se a análise incidir em alguns valores colocados não em linha nem em coluna mas, sim, em linha oblíqua, eis outras regularidades interessantes a destacar:

 

 

Analisando-se as várias igualdades numéricas, constata-se que as somas obtidas são dobros sucessivos a partir do valor 4, isto é: 4, 8 e 16. Por sua vez, os produtos obtidos também são dobros sucessivos a partir do valor 12, ou seja: 12, 24 e 48. Além disto, cada parcela envolvida em cada adição também obedece a esta regularidade do "dobro de": (1, 2 e 4; 3, 6 e 12). Já ao nível dos factores, há sempre um que se mantém, que é o valor 3 e o outro factor continua na lógica do "dobro de": (4, 8 e 16).

 

Voltando ao conjunto inicial:

 

Seria desejável que em situação de sala de aula se tentasse perceber qual a lei geral que permitia descrever o comportamento dos valores existentes em cada linha horizontal. Qual será essa lei?

 

Obviamente que se percebe facilmente que os valores da primeira linha são as cinco primeiras potências de base dois, de expoente inteiro, cuja lei geral é 2n. Uma análise mais detalhada aos restantes valores permite que se identifique uma extensão desta lei geral para 2 x 2n e 3 x 2n, respectivamente:

 

 

Ora, como ja tive oportunidade de referenciar em outros artigos, as potências de base dois podem ser associadas ao triângulo de Pascal. Recordemos esta conexão matemática:

 

 

De facto, adicionando os valores em cada linha horizontal neste tipo de triângulo, obtém-se o conjunto destas potências. Esta é, pois, uma figura triangular que pode ser associda à lei geral 2n que gera estas potências de base dois. Como será a figura triangular que poderá ser associada a lei geral seguinte: 2 x 2n?

 

Certamente que será fácil conjecturar uma figura tipo a do triângulo de Pascal em que os valores dos lados passam de 1 para 2. vejamos a figura:

 

 

Confirmam-se, pois, os valores 2, 4, 8, 16 e 32 como sendo as somas dos valores colocados em linha horizontal nesta figura. Pela mesma ordem de ideias, a lei geral 3 x 2n materializa-se na seguinte figura:

 

 

Note-se que os valores do início e do final de cada linha passaram a ser o número 3.

 

Tendo em conta este tipo de análise qual será a figura que está associada à seguinte lei geral: 10 x 2n?

publicado por Paulo Afonso às 20:08
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