Rãs de pele lisa, rãs de pele às riscas e padrões numéricos
Maio 04, 2009
Paulo Afonso
Numa recente publicação* portuguesa sobre o tema dos padrões no ensino e aprendizagem da matemática, da autoria de Isabel Vale, Ana Barbosa, António Borralho, Elsa Barbosa, Isabel Cabrita, Lina Fonseca e Teresa PImentel, deparei-me com uma interessante tarefa envolvendo sapos e rãs que pretendiam atravessar um lago. O enunciado era o seguinte: "Dois sapos e duas rãs precisam de atravessar um lago e têm cinco pedrinhas para não ter de mergulhar na água fria. Podem avançar para a pedra seguinte ou saltar por cima de um companheiro, mas não podem voltar para trás.
1. Qual é o número mínimo de movimentos necessários?
2. Resolve o mesmo problema para três animais da mesma espécie.
3. E se fossem 100 rãs?" (Vale et al., 2009, p. 62).
* - Vale, I. et al. (2009). Padrões no ensino e aprendizagem da matemática - propostas curriculares para o ensino básico. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo.
Não vou, para já, dar resposta a esta tarefa, mas a mesma levou a que eu próprio me interrogasse com as seguintes questões:
1 - E se em vez de serem dois sapos e duas rãs, com uma única pedra vazia a separá-los, fossem apenas uma rã de pele lisa e outra de pele às riscas, mas com duas pedras disponíveis para elas poderem avançar, como mostra a figura seguinte? Quantos seriam os movimentos para que viessem a trocar de posição, mantendo as condições do enunciado dos sapos e das rãs?
2 - E se fossem duas rãs de pele lisa e outras duas rãs de pele às riscas, mas continuando a ter as duas pedras a separá-las? Quantos movimentos haverá a fazer?
Vamos analisar a situação, caso a caso.
A tabela seguinte permite evidenciar o tipo de movimentos que as rãs poderão fazer, havendo apenas uma de pele lisa (rã A) e outra de pele às ricas (rã B):
Nº de Movimentos | Posição das rãs nas pedras do lago | |||
Início | A | B | ||
1º movimento | A | B | ||
2º movimento | A | B | ||
3º movimento | B | A | ||
4º movimento | B | A | ||
5º movimento | B | A |
A tabela anterior permite concluir que são necessários 5 movimentos para que as rãs troquem de posição.
Analisemos, agora, o caso de serem duas rãs de pele lisa (rãs A e B) e duas rãs de pele às riscas (rãs C e D), continuando a haver duas pedras vazias entre elas:
Nº de Movimentos | Posição das rãs nas pedras do lago | |||||
Início | A | B | C | D | ||
1º movimento | A | B | C | D | ||
2º movimento | A | B | C | D | ||
3º movimento | A | C | B | D | ||
4º movimento | A | C | B | D | ||
5º movimento | C | A | B | D | ||
6º movimento | C | A | B | D | ||
7º movimento | C | A | D | B | ||
8º movimento | C | A | D | B | ||
9º movimento | C | A | D | B | ||
10º movimento | C | D | A | B | ||
11º movimento | C | D | A | B | ||
12º movimento | C | D | A | B |
Esta tabela permite concluir que serão necessários mais 7 movimentos do que no caso anterior, pois só ao fim de 12 movimentos das rãs é que as suas posições ficam permutadas.
Estes dois casos, agora analisados, permitem que se coloque a seguinte conjectura: "serão necessários mais 7 movimentos do que estes 12, para o caso de serem três rãs de pele lisa (A, B e C) e três rãs de pele às riscas (D, E e F), continuando a haver duas pedras livres entre elas?"
Testemos a conjectura com a tabela seguinte:
Nº de Movimentos | Posição das rãs nas pedras do lago | |||||||
Início | A | B | C | D | E | F | ||
1º movimento | A | B | C | D | E | F | ||
2º movimento | A | B | C | D | E | F | ||
3º movimento | A | B | D | C | E | F | ||
4º movimento | A | B | D | C | E | F | ||
5º movimento | A | D | B | C | E | F | ||
6º movimento | A | D | B | C | E | F | ||
7º movimento | A | D | B | E | C | F | ||
8º movimento | A | D | B | E | C | F | ||
9º movimento | A | D | B | E | C | F | ||
10º movimento | A | D | B | E | F | C | ||
11º movimento | A | D | E | B | F | C | ||
12º movimento | D | A | E | B | F | C | ||
13º movimento | D | A | E | B | F | C | ||
14º movimento | D | A | E | B | F | C | ||
15º movimento | D | E | A | B | F | C | ||
16º movimento | D | E | A | F | B | C | ||
17º movimento | D | E | A | F | B | C | ||
18º movimento | D | E | A | F | B | C | ||
19º movimento | D | E | F | A | B | C | ||
20º movimento | D | E | F | A | B | C | ||
21º movimento | D | E | F | A | B | C |
A tabela anterior não confirma a conjectura formulada, mas o estudo deste terceiro caso, associado aso anteriores, permite o estabelecimento de algumas relações numéricas entre o número de cada tipo de rãs para cada caso e o respectivo número total de movimentos:
Nº de rãs de cada tipo | Total de movimentos de todas as rãs |
1 | 5 |
2 | 12 |
3 | 21 |
Note-se que de 5 para 12 vão 7 e que de 12 para 21 vão 9. Logo, será de prever que para quatro rãs de cada tipo haveria 21 + 11 movimentos, o que resultava no valor 32.
Analisemos os valores da coluna do total de movimentos de todas as rãs e vejamos a seguinte constatação:
5 = 1 x 5
12 = 2 x 6
21 = 3 x 7
Logo, 4 x 8 = 32.
Por sua vez:
5 = 1 x (5 + 0)
12 = 2 x (5 + 1)
21 = 3 x (5 + 2)
Logo, 4 x (5 + 3) = 32.
Esta última análise permite que cheguemos à lei de formação destas regularidades numéricas:
Para "n" rãs de cada tipo, o número de movimentos a realizar será o seguinte: n x [5 + (n - 1)].
Tendo em conta esta lei geral, qual o número de movimentos a realizar por 10 rãs de cada tipo, continuando a haver duas pedras livres entre elas?
Tente fazer o estudo para o caso descrito no início deste texto, enunciado no livro dos autores supra mencionados, isto é, havendo apenas uma pedra livre entre: (a) um sapo e uma rã, (b) dois sapos e duas rãs, (c) três sapos e três rãs e, (d) a respectiva lei geral.
Consegue estimar a lei geral para o caso de haver três pedras livres entre estes seres vivos?