O tema dos quadrados mágicos já várias vezes foi objecto de reflexão neste Blog. Nesta nova ocasião pretendo associar o tema a um outro assunto matemático - as progressões geométricas.

Para iniciar a minha análise solicito que comprovemos que os seguintes 9 números, dispostos de acordo com a imagem que se segue, originam um quadrado mágico especial:

Digo quadrado mágico especial, porque em vez de se obter uma soma mágica pela adição dos valores de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, obtém-se um produto mágico: 1728. De facto:

A - 24 x 2 x 36 = 1728

B - 18 x 12 x 8 = 1728

C - 4 x 72 x 6 = 1728

D - 24 x 18 x 4 = 1728

D - 2 x 12 x 72 = 1728

E - 36 x 8 x 6 = 1728

F - 24 x 12 x 6 = 1728

G - 36 x 12 x 4 = 1728

Reflictamos, agora, acerca destes 9 números. Qual o motivo que leva a que esta magia matemática ocorra?

Estes Números podem ser associados a progressões geométricas (Dudeney, 2007)*. No caso da sua disposição em linha a razão das progressões é 2 e no caso da disposição em coluna a razão das progressões é 3:

* - Dudeney, H. (2007). Acertijos, Desafíos y Tableros Mágicos. Barcelona: RBA.

Note-se que na tabela anterior a multiplicação envolvendo os valores da linha central (6, 12, 24), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (4, 12, 36) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (2, 12, 72 e 18, 12, 8) já originam o produto 1728: 

A - 6 x 12 x 24 = 1728 

B - 4 x 12 x 36 = 1728 

F - 2 x 12 x 72 = 1728 

G - 18 x 12 x 8 = 1728

O que acontecerá se em vez de se iniciar o estudo pelo número 2, se iniciar pelo número 1? Será que a utilização das progressões geométricas de razão 2 (na horizontal) e razão 3 (na vertical) também possibilitam que os 9 números resultantes origem um novo quadrado mágico envolvendo apenas a operação multiplicacão?

Façamos o estudo:

Tal como no caso anterior, a multiplicação envolvendo os valores da linha central (3, 6, 12), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (2, 6, 18) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (1, 6, 36 e 9, 6, 4) originam um mesmo produto que, neste caso, é 216: 

A - 3 x 6 x 12 = 216 

B - 2 x 6 x 18 = 216

F - 1 x 6 x 36 = 216 

G - 19 x 6 x 4 = 216

Tendo em conta esta análise e respeitando a ordem de grandeza dos números envolvidos na primeira experiência, em termos da posição que ocupam no respectivo quadrado mágico, eis a nova figura mágica obtida:

Obtém-se, pois, um quadrado mágico cujo produto mágico é 216.

Comparando estes dois casos verificamos que este produto mágico 216 está associado à origem 1 dos nove números envolvidos na respectiva figura. Já o produto mágico 1728 está associado à origem 2. Ora, verifica-se que o valor 1728 é oito vezes maior que o valor 216.

Esta observação permite que tecemos a seguinte conjectura: será que o próximo produto mágico, associado ao valor icial 3, será o resultado de 1728 x 8?

Por outro lado, comparando os valores de ambos os quadrados mágicos, verificamos que o valor de cada posição, da figura com maior produto mágico, é sempre o dobro do respectivo valor do quadrado cujo produto mágico é oito vezes que menor que ele.

Esta observação permite uma nova conjectura: será que o próximo quadrado mágico apresentará valores que são o dobro dos que aparecem no quadrado mágico de valor mágico 1728? Esta conjectura cai logo por terra, pois o valor inicial é 3 e 3 não é o dobro de 2.

Contudo, como 3 é o triplo de 1, será que os valores envolvidos no novo quadrado mágico são, respectivamente, o triplo de cada valor do quadrado mágico iniciado pelo valor 1?

Mantendo as progressões geométricas envolvidas nestes exemplos, qual será o produto mágico do quadrado iniciado pelo valor 8?