Numa perspectiva de recreação matemática, o tema da descoberta de um conjunto de números, supostamente secretos, costuma atrair bastantes resolvedores para a tentativa de perceber a razão mágica de tal suceder.

Imagine que era solicitado a descobrir um conjunto de cinco números inteiros, múltiplos de quatro e consecutivos. Além disto sabia que cada um deles havia sido multiplicado por um mesmo valor numérico, que pode ser, por exemplo, o valor três e sabia a soma dos respectivos produtos obtidos. Como procederia para descobrir esse conjunto de cinco números?

Esta situação, transposta para a sala de aula, poderia servir para se explorar o conceito de progressão aritmética, de média aritmética ou para reforçar a ideia de que a Matemática pode ser encarada com a ciência dos padrões. Veja-se o exemplo formado pelos seguintes cinco números, múltiplos de quatro, o que implica que a razão da progressão seja o valor quatro: 20, 24, 28, 32 e 36.

Ora, multiplicando cada valor por três, origina os seguintes produtos: 60, 72, 84, 96 e 108. A soma destes produtos é 420. Conhecendo-se apenas os dados fornecidos pelo enunciado da tarefa, o que poderá fazer-se é a divisão da soma dos produtos pelo valor três, para se obter a soma dos cinco valores da sequência numérica, que neste caso é 140. Depois, para se encontrar o valor central, basta dividir-se o número 140 por cinco, obtendo-se o valor 28. Sendo este o valor central da progressão aritmética, terá dois valores a antecedê-lo e outros dois a sucedê-lo, todos múltiplos de quatro e consecutivos . Logo, a sequência é a seguinte: 20, 24, 28, 32, 36. Imagine que usava uma qualquer sequência numérica, formada por cinco valores, dispostos em progressão aritmética e que os multiplicava por um determinado valor constante "x", obtendo-se uma soma de todos os produtos "y". Como procederia para descobrir a sequência de números inicial?

Como situação de Matemática Recreativa poder-se-ia pedir a um interlocutor para escolher três números seguidos, em linha ou em coluna, existentes num calendário, tipo o que se evidencia a seguir:

De seguida poder-se-ia pedir que pesquisasse como é que é possível descobrirem-se rapidamente esses três números.

Em situação de sala de aula esta situação seria muito interessante ser analisada, pois só exige que se conheça se os números seleccionados pertencem a uma mesma semana ou a semanas consecutivas. O que há a fazer é dividir a sua soma por três para se obter o valor central. Depois, no caso de os números pertencerem à mesma semana, facilmente se ficam a conhecer os dois números restantes, pois trata-se do antecessor e do sucessor desse valor central. No caso de os números pertencerem a semanas consecutivas, para se descobrir o menor dos três valores somente há que se subtrair sete unidades ao valor central. Por sua vez, adicionando-se sete unidades a esse valor central descobre-se o maior dos três números seleccionados. Trata-se de um desafio envolvendo explicitamente o conceito de média aritmética.

O caso dos calendários permite muitas outras explorações matemáticas, como por exemplo pedir para os alunos seleccionarem um conjunto de dezasseis números, formando um quadrado de quatro por quatro e descobrirem muito rapidamente a sua soma. Quer dar uma sugestão de possível resolução?

O tema das potências de base dois costuma aparecer implicitamente em algumas tarefas de Matemática Recreativa. Um exemplo interessante a explorar é o que apresento a seguir:

Pedir a um colega seu para escolher um número inteiro, de 1 a 31, inclusive, e referir o cartão ou cartões onde esse número se encontra. Depois vai ter que lhe dizer o número secreto que ele escolheu.

Levando esta tarefa para contexto de sala de aula, poderemos recorrer ao conceito matemático de que qualquer número inteiro é uma potência de base dois ou uma soma de potências de base dois. Este conceito permite explorar pedagogicamente os cartões acima ilustrados, pois cada um está afecto a uma potência de base dois: O A está afecto ao valor 1, o B está afecto ao valor 2, o C está relacionado com o valor 4, o D está relacionado com o 8 e o E está afecto ao 16 (veja-se em cada cartão o número que está posicionado na quadrícula central da linha de baixo). A título de exemplo, se um interlocutor nosso referir que o número por si escolhido está nos cartões B, C e D, isso significa que escolheu o valor 14, pois 14 = 2 + 4 + 8. Consegue propor outras tarefas envolvendo as potências de base dois?

Em Matemática Recreativa existem muitas situações rotuladas como sendo verdadeiros quebra-cabeças. Por norma são situações que aparentemente não têm uma resolução imediata e exigem a procura de um caminho. Para estes casos, o conhecimento de várias estratégias de resolução, como sejam a procura de um padrão ou regularidade, a elaboração de um esquema ou figura, a decomposição do problema em problemas mais simples, a tentativa e erro, a resolução do fim para o princípio, entre outras, poderá ser muito útil na hora de se atacar o desafio colocado. O exemplo seguinte transporta-nos para uma situação deste tipo:

Dividir o mostrador do relógio seguinte em seis partes iguais, de igual valor numérico, não ficando nenhum número excluído:

Por tentativa e erro, este desafio poderá ser resolvido com sucesso. Contudo, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos procurassem resolvê-lo através de uma estratégia de resolução mais sistematizada. De facto, uma possível estratégia poderia passar pela divisão do total numérico existente no mostrador pela quantidade seis, por ser o número de partes em que se pretende dividir esse total. Ora 78 a dividir por 6 dá 13. Agora só teremos que encontrar seis conjuntos de números cuja soma seja treze, não deixando nenhum de fora:

 Tendo em conta esta estratégia, seria interessante dividir este mesmo mostrador em apenas três partes de igual valor numérico, sem exclusão de qualquer dos seus valores.

As figuras mágicas, como sejam os triângulos ou quadrados, costumam surgir muitas vezes associadas ao tema da Matemática Recreativa. Veja-se o exemplo seguinte:

Usando os números de 1 a 6, inclusive, colocá-los nos círculos existentes no seguinte triângulo, de modo que a soma seja igual em cada um dos três lados desta figura:

Usando-se a estratégia da tentativa e erro, este desafio possibilita várias soluções como as seguintes:

Soma 9	Soma 10	Soma 11	Soma 12

Em contexto de sala de aula, esta tarefa pode ser encarada como uma tarefa de investigação muito rica em termos matemáticos. Após a obtenção destas quatro resoluções, será interessante desafiar os alunos a estabelecerem relações entre os números colocados nos vértices de cada triângulo e as respectivas somas mágicas. Além disto, também poderá servir para a exploração do tema - composição e decomposição de números, pois os alunos podem ser solicitados a investigar todas as adições envolvendo três parcelas, cuja soma seja o valor 9, usando apenas os números em questão, isto é, do 1 ao 6, inclusivamente. No caso de haver números que apareçam em duas adições, serão estes a colocar nos vértices do triângulo.

Será que este estudo também pode ser feito com os números: 4, 5, 6, 7, 8 e 9? As novas relações numéricas a obter confirmarão as conclusões da tarefa anterior?

O jogo é um instrumento motivacional, por excelência. Sendo bem aproveitado pedagogicamente, pode servir de contexto para a realização de aprendizagens matemáticas bastante significativas. A sua presença em contextos de Matemática Recreativa é frequente, como seja o exemplo seguinte:

Dois jogadores pretendem atingir o valor vinte e jogam alternadamente de acordo com as seguintes regras: o primeiro a jogar pode iniciar o jogo referindo o número um ou o número dois. De seguida, e de forma alternada, cada jogador pode acrescentar mais uma ou duas unidades ao valor dito pelo seu adversário. Quem referir o valor vinte ganha. Qual a estratégia vencedora?

Em contexto de sala de aula, este jogo pode servir para o estudo de regularidades ou de leis de formação de sequências numéricas, conectando com o tema dos múltiplos de um número. A título de exemplo, atente-se no conjunto de números referidos por um determinado jogador A, em confronto com o jogador B:

Note-se que o Jogador A decidiu referir números num padrão de três em três. Contudo, seria interessante desafiar os alunos a averiguar se os números referidos por esse jogador obedecem ou não à sequência dos múltiplos de três. É desejável que eles refiram que se trata dos múltiplos de três menos uma unidade, isto é, a lei de formação é a seguinte: 3n - 1, pertencendo "n" ao conjunto dos números naturais.

Tente agora descobrir as estratégias ganhadoras para o caso do valor trinta e para o caso do valor cinquenta. Depois reflicta sobre o caso do valor quarenta:

A - Dois jogadores pretendem atingir o valor trinta e jogam alternadamente de acordo com as seguintes regras: o primeiro a jogar pode iniciar o jogo referindo o número um, o número dois ou o número três. De seguida, e de forma alternada, cada jogador pode acrescentar mais uma, mais duas ou mais três unidades ao valor dito pelo seu adversário. Quem referir o valor trinta ganha. Qual a estratégia vencedora?

 B - Dois jogadores pretendem atingir o valor cinquenta e jogam alternadamente de acordo com as seguintes regras: o primeiro a jogar pode iniciar o jogo referindo o número um, o número dois, o número três, o número quatro ou o número cinco. De seguida, e de forma alternada, cada jogador pode acrescentar mais uma, mais duas, mais três, mais quatro ou mais cinco unidades ao valor dito pelo seu adversário. Quem referir o valor cinquenta ganha. Qual a estratégia vencedora?

Ao nível da Matemática Recreativa, muitos são os exemplos que permitem levar os nossos interlocutores a referir, após a realização de simples cálculos aritméticos, um número que nós queremos que eles refiram. Veja-se o exemplo seguinte, cujo valor final será sempre o número três:

Pensar num número e adicionar-lhe cinco unidades. Encontrar o dobro do valor agora obtido. Retirar quatro unidades e obter metade deste novo valor obtido. Por fim, subtrair o número inicialmente pensado. Efectuar estes cálculos começando com números diferentes e encontrar uma explicação para os valores finais obtidos.

Em contexto de sala de aula, esta situação pode ser resolvida em termos algébricos, através dos seguintes cálculos:

[2 (x + 5) - 4] : 2 - x =

= (2x + 10 - 4) : 2 - x =

= (2x + 6) : 2 - x =

= x + 3 - x =

= 3

Contudo, esta situação também pode ser resolvida com recurso a uma estratégia muito mais simples e figurativa:

Como terá que ser o enunciado deste desafio mágico para que o resultado final seja o número 6?

Como refere Devlin (2002*), a Matemática é a Ciência dos Padrões. Em actividades de Matemática Recreativa, o tema dos padrões costuma despertar muita atenção por parte dos resolvedores, pois conseguem sentir-se motivados para descobrir as regularidades mais ou menos explícitas neles existentes. Por outro lado costumam sentir-se desafiados a dar-lhes continuidade. Os exemplos seguintes, adaptados do interessante livro de Santos (1997**), evidenciam a magia matemática e a estética matemática inerentes a este assunto.

Dar continuidade aos seguintes padrões e justificar a resolução:

 * - Devlin, Keith (2002). Matemática – A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.

** - Santos, Nunes (1997). Curiosidades Numéricas. Porto: Menabel

Multiplicar o número 37037 pelo número preferido, de um a nove, que é o seu número secreto. O resultado agora obtido deve ser multiplicado por três. Qual foi o valor final? Tem alguma relação com o número inicial secreto? Qual a razão da seguinte magia matemática?:

Escrever em seis cartões os seis primeiros números naturais, conforme a figura seguinte:  

Depois, no verso de cada cartão deve-se dar continuidade à sequência numérica, iniciando no último cartão agora escrito e terminando no primeiro.

Fazer uma situação semelhante, escrevendo em seis novos cartões os primeiros seis números pares, conforme a figura: 

Depois, no verso de cada cartão devem-se escrever os primeiros seis números ímpares, iniciando no último cartão agora escrito e terminando no primeiro. Escolher um cartão ao acaso, adicionar os dois números nele escritos. Multiplicar a soma por sete e o produto agora obtido por onze. Porque dá sempre 1001?

Esta situação pode ser utilizada na sala de aula para se compararem os cartões dos dois tipos e concluir-se que em cada cartão existem sempre dois números cuja soma é treze, independentemente de só se usarem os cartões formados com a sequência dos números naturais ou de se usarem os números pares e os números ímpares. Esta valor mágico 1001 pode conectar-se a outros exemplos de Matemática Recreativa. Quais?