Saltar para: Posts [1], Pesquisa [2]

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Descoberta de números

Julho 25, 2008

Paulo Afonso

Numa perspectiva de recreação matemática, o tema da descoberta de um conjunto de números, supostamente secretos, costuma atrair bastantes resolvedores para a tentativa de perceber a razão mágica de tal suceder.

Imagine que era solicitado a descobrir um conjunto de cinco números inteiros, múltiplos de quatro e consecutivos. Além disto sabia que cada um deles havia sido multiplicado por um mesmo valor numérico, que pode ser, por exemplo, o valor três e sabia a soma dos respectivos produtos obtidos. Como procederia para descobrir esse conjunto de cinco números?

 

Esta situação, transposta para a sala de aula, poderia servir para se explorar o conceito de progressão aritmética, de média aritmética ou para reforçar a ideia de que a Matemática pode ser encarada com a ciência dos padrões. Veja-se o exemplo formado pelos seguintes cinco números, múltiplos de quatro, o que implica que a razão da progressão seja o valor quatro: 20, 24, 28, 32 e 36.

Ora, multiplicando cada valor por três, origina os seguintes produtos: 60, 72, 84, 96 e 108. A soma destes produtos é 420. Conhecendo-se apenas os dados fornecidos pelo enunciado da tarefa, o que poderá fazer-se é a divisão da soma dos produtos pelo valor três, para se obter a soma dos cinco valores da sequência numérica, que neste caso é 140. Depois, para se encontrar o valor central, basta dividir-se o número 140 por cinco, obtendo-se o valor 28. Sendo este o valor central da progressão aritmética, terá dois valores a antecedê-lo e outros dois a sucedê-lo, todos múltiplos de quatro e consecutivos . Logo, a sequência é a seguinte: 20, 24, 28, 32, 36. Imagine que usava uma qualquer sequência numérica, formada por cinco valores, dispostos em progressão aritmética e que os multiplicava por um determinado valor constante "x", obtendo-se uma soma de todos os produtos "y". Como procederia para descobrir a sequência de números inicial?

Alguma matemática nos calendários

Julho 22, 2008

Paulo Afonso

Como situação de Matemática Recreativa poder-se-ia pedir a um interlocutor para escolher três números seguidos, em linha ou em coluna, existentes num calendário, tipo o que se evidencia a seguir:

  

De seguida poder-se-ia pedir que pesquisasse como é que é possível descobrirem-se rapidamente esses três números.

 

Em situação de sala de aula esta situação seria muito interessante ser analisada, pois só exige que se conheça se os números seleccionados pertencem a uma mesma semana ou a semanas consecutivas. O que há a fazer é dividir a sua soma por três para se obter o valor central. Depois, no caso de os números pertencerem à mesma semana, facilmente se ficam a conhecer os dois números restantes, pois trata-se do antecessor e do sucessor desse valor central. No caso de os números pertencerem a semanas consecutivas, para se descobrir o menor dos três valores somente há que se subtrair sete unidades ao valor central. Por sua vez, adicionando-se sete unidades a esse valor central descobre-se o maior dos três números seleccionados. Trata-se de um desafio envolvendo explicitamente o conceito de média aritmética.

O caso dos calendários permite muitas outras explorações matemáticas, como por exemplo pedir para os alunos seleccionarem um conjunto de dezasseis números, formando um quadrado de quatro por quatro e descobrirem muito rapidamente a sua soma. Quer dar uma sugestão de possível resolução?

 

A ludicidade inerente às potências de base dois

Julho 21, 2008

Paulo Afonso

O tema das potências de base dois costuma aparecer implicitamente em algumas tarefas de Matemática Recreativa. Um exemplo interessante a explorar é o que apresento a seguir:

 

Pedir a um colega seu para escolher um número inteiro, de 1 a 31, inclusive, e referir o cartão ou cartões onde esse número se encontra. Depois vai ter que lhe dizer o número secreto que ele escolheu.

 

Levando esta tarefa para contexto de sala de aula, poderemos recorrer ao conceito matemático de que qualquer número inteiro é uma potência de base dois ou uma soma de potências de base dois. Este conceito permite explorar pedagogicamente os cartões acima ilustrados, pois cada um está afecto a uma potência de base dois: O A está afecto ao valor 1, o B está afecto ao valor 2, o C está relacionado com o valor 4, o D está relacionado com o 8 e o E está afecto ao 16 (veja-se em cada cartão o número que está posicionado na quadrícula central da linha de baixo). A título de exemplo, se um interlocutor nosso referir que o número por si escolhido está nos cartões B, C e D, isso significa que escolheu o valor 14, pois 14 = 2 + 4 + 8. Consegue propor outras tarefas envolvendo as potências de base dois?

 

Os quebra-cabeças e a matemática

Julho 15, 2008

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa existem muitas situações rotuladas como sendo verdadeiros quebra-cabeças. Por norma são situações que aparentemente não têm uma resolução imediata e exigem a procura de um caminho. Para estes casos, o conhecimento de várias estratégias de resolução, como sejam a procura de um padrão ou regularidade, a elaboração de um esquema ou figura, a decomposição do problema em problemas mais simples, a tentativa e erro, a resolução do fim para o princípio, entre outras, poderá ser muito útil na hora de se atacar o desafio colocado. O exemplo seguinte transporta-nos para uma situação deste tipo:

 

Dividir o mostrador do relógio seguinte em seis partes iguais, de igual valor numérico, não ficando nenhum número excluído:

 

Por tentativa e erro, este desafio poderá ser resolvido com sucesso. Contudo, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos procurassem resolvê-lo através de uma estratégia de resolução mais sistematizada. De facto, uma possível estratégia poderia passar pela divisão do total numérico existente no mostrador pela quantidade seis, por ser o número de partes em que se pretende dividir esse total. Ora 78 a dividir por 6 dá 13. Agora só teremos que encontrar seis conjuntos de números cuja soma seja treze, não deixando nenhum de fora:

 Tendo em conta esta estratégia, seria interessante dividir este mesmo mostrador em apenas três partes de igual valor numérico, sem exclusão de qualquer dos seus valores.

O poder matemático dos triângulos mágicos

Julho 14, 2008

Paulo Afonso

As figuras mágicas, como sejam os triângulos ou quadrados, costumam surgir muitas vezes associadas ao tema da Matemática Recreativa. Veja-se o exemplo seguinte:

 

Usando os números de 1 a 6, inclusive, colocá-los nos círculos existentes no seguinte triângulo, de modo que a soma seja igual em cada um dos três lados desta figura:

 

Usando-se a estratégia da tentativa e erro, este desafio possibilita várias soluções como as seguintes:

 

Soma 9 Soma 10 Soma 11 Soma 12

Em contexto de sala de aula, esta tarefa pode ser encarada como uma tarefa de investigação muito rica em termos matemáticos. Após a obtenção destas quatro resoluções, será interessante desafiar os alunos a estabelecerem relações entre os números colocados nos vértices de cada triângulo e as respectivas somas mágicas. Além disto, também poderá servir para a exploração do tema - composição e decomposição de números, pois os alunos podem ser solicitados a investigar todas as adições envolvendo três parcelas, cuja soma seja o valor 9, usando apenas os números em questão, isto é, do 1 ao 6, inclusivamente. No caso de haver números que apareçam em duas adições, serão estes a colocar nos vértices do triângulo.

Será que este estudo também pode ser feito com os números: 4, 5, 6, 7, 8 e 9? As novas relações numéricas a obter confirmarão as conclusões da tarefa anterior?

Do jogo aos conceitos matemáticos

Julho 13, 2008

Paulo Afonso

O jogo é um instrumento motivacional, por excelência. Sendo bem aproveitado pedagogicamente, pode servir de contexto para a realização de aprendizagens matemáticas bastante significativas. A sua presença em contextos de Matemática Recreativa é frequente, como seja o exemplo seguinte:

 

Dois jogadores pretendem atingir o valor vinte e jogam alternadamente de acordo com as seguintes regras: o primeiro a jogar pode iniciar o jogo referindo o número um ou o número dois. De seguida, e de forma alternada, cada jogador pode acrescentar mais uma ou duas unidades ao valor dito pelo seu adversário. Quem referir o valor vinte ganha. Qual a estratégia vencedora?

 

Em contexto de sala de aula, este jogo pode servir para o estudo de regularidades ou de leis de formação de sequências numéricas, conectando com o tema dos múltiplos de um número. A título de exemplo, atente-se no conjunto de números referidos por um determinado jogador A, em confronto com o jogador B:

Jogador A 2 5 8 11 14 17 20
Jogador B 3 7 10 12 16 18  

Note-se que o Jogador A decidiu referir números num padrão de três em três. Contudo, seria interessante desafiar os alunos a averiguar se os números referidos por esse jogador obedecem ou não à sequência dos múltiplos de três. É desejável que eles refiram que se trata dos múltiplos de três menos uma unidade, isto é, a lei de formação é a seguinte: 3n - 1, pertencendo "n" ao conjunto dos números naturais.

Tente agora descobrir as estratégias ganhadoras para o caso do valor trinta e para o caso do valor cinquenta. Depois reflicta sobre o caso do valor quarenta:

 

A - Dois jogadores pretendem atingir o valor trinta e jogam alternadamente de acordo com as seguintes regras: o primeiro a jogar pode iniciar o jogo referindo o número um, o número dois ou o número três. De seguida, e de forma alternada, cada jogador pode acrescentar mais uma, mais duas ou mais três unidades ao valor dito pelo seu adversário. Quem referir o valor trinta ganha. Qual a estratégia vencedora?

 

 B - Dois jogadores pretendem atingir o valor cinquenta e jogam alternadamente de acordo com as seguintes regras: o primeiro a jogar pode iniciar o jogo referindo o número um, o número dois, o número três, o número quatro ou o número cinco. De seguida, e de forma alternada, cada jogador pode acrescentar mais uma, mais duas, mais três, mais quatro ou mais cinco unidades ao valor dito pelo seu adversário. Quem referir o valor cinquenta ganha. Qual a estratégia vencedora?

O poder de adivinhar números

Julho 11, 2008

Paulo Afonso

Ao nível da Matemática Recreativa, muitos são os exemplos que permitem levar os nossos interlocutores a referir, após a realização de simples cálculos aritméticos, um número que nós queremos que eles refiram. Veja-se o exemplo seguinte, cujo valor final será sempre o número três:

 

Pensar num número e adicionar-lhe cinco unidades. Encontrar o dobro do valor agora obtido. Retirar quatro unidades e obter metade deste novo valor obtido. Por fim, subtrair o número inicialmente pensado. Efectuar estes cálculos começando com números diferentes e encontrar uma explicação para os valores finais obtidos.

 

Em contexto de sala de aula, esta situação pode ser resolvida em termos algébricos, através dos seguintes cálculos:

[2 (x + 5) - 4] : 2 - x =

= (2x + 10 - 4) : 2 - x =

= (2x + 6) : 2 - x =

= x + 3 - x =

= 3

Contudo, esta situação também pode ser resolvida com recurso a uma estratégia muito mais simples e figurativa:

 

Pensar num número Adicionar 5 unidades Encontrar o dobro Retirar 4 unidades Encontrar metade Subtrair o número inicial
x x     +++++ xx    ++++++++++ xx    ++++++ x     +++      +++

Como terá que ser o enunciado deste desafio mágico para que o resultado final seja o número 6?

A magia dos padrões numéricos

Julho 11, 2008

Paulo Afonso

Como refere Devlin (2002*), a Matemática é a Ciência dos Padrões. Em actividades de Matemática Recreativa, o tema dos padrões costuma despertar muita atenção por parte dos resolvedores, pois conseguem sentir-se motivados para descobrir as regularidades mais ou menos explícitas neles existentes. Por outro lado costumam sentir-se desafiados a dar-lhes continuidade. Os exemplos seguintes, adaptados do interessante livro de Santos (1997**), evidenciam a magia matemática e a estética matemática inerentes a este assunto.

  

Dar continuidade aos seguintes padrões e justificar a resolução:

 

111111= 6 + 12345 x 9
11111= 5 + 1234 x 9
1111= 4 + 123 x 9
111 = 3 + 12 x 9
               …             

Quanto será 10 + 123456789 x 9?

111111 x 24 = 2666664
11111 x 32 = 355552
11111 x 13 = 144443
11111 x 21 = 233331

Quanto será 111111111 x 72?

 * - Devlin, Keith (2002). Matemática – A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.

** - Santos, Nunes (1997). Curiosidades Numéricas. Porto: Menabel

 

O mágico número 37037

Julho 10, 2008

Paulo Afonso

Multiplicar o número 37037 pelo número preferido, de um a nove, que é o seu número secreto. O resultado agora obtido deve ser multiplicado por três. Qual foi o valor final? Tem alguma relação com o número inicial secreto? Qual a razão da seguinte magia matemática?:

  

37037 x 1 = 37037

37037 x 3 = 111111

37037 x 2 = 74074

74074 x 3 = 222222

37037 x 3 = 111111

111111 x 3 = 333333

37037 x 4 = 148148

148148 x 3 = 444444

37037 x 5 = 185185

185185x 3 = 555555

37037 x 6 = 222222

222222 x 3 = 666666

37037 x 7 = 259259

259259 x 3 = 777777

37037 x 8 = 296296

296296 x 3 = 888888

37037 x 9 = 333333

333333 x 3 = 999999

Cartões mágicos

Julho 09, 2008

Paulo Afonso

Escrever em seis cartões os seis primeiros números naturais, conforme a figura seguinte:  

1 2 3 4 5 6

Depois, no verso de cada cartão deve-se dar continuidade à sequência numérica, iniciando no último cartão agora escrito e terminando no primeiro.

Fazer uma situação semelhante, escrevendo em seis novos cartões os primeiros seis números pares, conforme a figura: 

 2 4 6 8 10 12

Depois, no verso de cada cartão devem-se escrever os primeiros seis números ímpares, iniciando no último cartão agora escrito e terminando no primeiro. Escolher um cartão ao acaso, adicionar os dois números nele escritos. Multiplicar a soma por sete e o produto agora obtido por onze. Porque dá sempre 1001?

 

 

Esta situação pode ser utilizada na sala de aula para se compararem os cartões dos dois tipos e concluir-se que em cada cartão existem sempre dois números cuja soma é treze, independentemente de só se usarem os cartões formados com a sequência dos números naturais ou de se usarem os números pares e os números ímpares. Esta valor mágico 1001 pode conectar-se a outros exemplos de Matemática Recreativa. Quais?

Pág. 1/2

Mais sobre mim

foto do autor

Subscrever por e-mail

A subscrição é anónima e gera, no máximo, um e-mail por dia.

Arquivo

  1. 2013
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2012
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2011
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2010
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2009
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2008
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"