Como referi no artigo anterior, as figuras geométricas, quando associadas a determinados números, permitem uma viagem fascinante ao mundo das figuras mágicas. O exemplo que a seguir apresento pode encontrar-se em dois magníficos livros do autor Capó Dolz*:

Na figura seguinte, alusiva aos Jogos Olímpicos, colocar nos 8 círculos cor-de-laranja os algarismos de 1 a 8, inclusive, de modo a que a soma de cada círculo maior central seja sempre a mesma e seja o dobro da soma de cada um dos dois círculos maiores laterais:

Uma possível resolução, com recurso à estratégia da tentativa e erro, poderia ser uma das duas que apresento:

Contudo, esta tarefa recreativa, levada para contexto de sala de aula exigia uma estratégia mais matematicamente sustentada.

Note-se que em ambas as soluções apresentadas, cada círculo lateral contém um par de números cuja soma é sempre 9. Por sua vez, cada círculo central, ao conter dois pares de números, igualmente com esta soma 9, possibilita que se dê resposta favorável à tarefa, pois a sua soma é 18. De facto, como se trata de um número par de algarismos consecutivos, permite que se observe a seguinte regularidade:

1 + 8 = 9; 2 + 7 = 9; 3 + 6 = 9; 4 + 5 = 9. Logo, colocando em várias possíveis posições os pares encontrados (1, 8), (2, 7), (3, 6) e (4, 5), obtém-se a resposta ao desafio colocado.

Note-se que se aos quatro primeiros círculos cor-de-laranja associarmos os números a, b, c e d e aos quatro seguintes, os números e, f, g e h, sabemos que a + b + c + d = c + d + e + f = e + f + g + h.

Por sua vez, também sabemos que a + b + c + d = 2 (a + b) e que e + f + g + h = 2 (g + h). Logo, resulta que a + b = c + d e g + h = e + f, sendo estas somas todas iguais. Ora isto só acontece para o caso de cada par de parcelas originar a soma 9.

* - Capó Dolz, Miquel (2007). Atrévete con las mates! Madrid: elrompecabezas.

- Capó Dolz, Miquel (2007). 101 Juegos de Lógica para Novatos. Tres Cantos: nívola.

Esta tarefa, permite algumas extensões, como seja o seguinte:

Colocar na figura original os mesmos 8 números, mas de acordo com as seguintes regras:

1 - A soma dos círculos laterais A e E ser a mesma

2 - A soma dos círculos B e D ser a mesma

3 - A soma do círculo C ser a maior de todas

Eis uma possível solução:

Encontre outra e explique o seu raciocínio!

As operações aritméticas costumam ser motivo de várias actividades de recreação matemática. Desde as operações lacunadas, passando pelos famosos quadrados e triângulos mágicos, até outro tipo de contextos lúdico-matemáticos, podemos encontrar essas operações. Centremos, contudo, a atenção na operação adição e vamos associá-la a uma figura já nossa conhecida, que é a de um calendário de bolso:

Na figura acima vamos seleccionar, por exemplo, um conjunto de 16 números, formando um quadrado de quatro por quatro números, iniciado no 2 e terminando no 26.

Como justificar a magia de se obter sempre a soma 56, ao seleccionarem-se apenas quatro desses dezasseis números, de acordo com as seguintes regras: (1) seleccionar um desses 16 números e eliminar todos os restantes números da linha e da coluna a que esse número seleccionado estado afecto; (2) dos restantes números não seleccionados nem eliminados, seleccionar um segundo número, eliminando, tal como no primeiro caso, todos os números da respectiva linha e da respectiva coluna; (3) seleccionar um novo número ainda não seleccionado e proceder como nos dois casos anteriores; (4) como ainda há um número por seleccionar, este será seleccionado e adicionado aos restantes três anteriormente seleccionados.

Confirma-se, ou não, a soma 56? Porque será?

Em contexto de sala de aula, esta tarefa pode ser utilizada para se fazer um estudo de natureza investigativa. Seria interessante que os alunos concluíssem que os quatro números seleccionados, independentemente das suas posições no quadrado numérico, estão a representar todas as linhas e todas as colunas desse quadrado, e apenas uma vez. Dois casos exemplificativos deste tipo de selecção são as duas diagonais do quadrado. Note-se que em ambos os casos a soma é 56. Analisando mais em pormenor, nem é necessário adicionar esses quatro números, pois basta adicionar os extremos e multiplicar por dois.

De facto analisemos os seguintes números: 2, 10, 18 e 26. Se atribuirmos ao 2 o valor a, temos a, a + 8, a + 16 e a + 24. Tudo adicionado dá 4a + 48. Logo, basta até multiplicar o menor dos números do quadrado por 4 e adicionar o valor 48. O resultado coincidirá, pois, com a soma de quaisquer quatro números seleccionados de acordo com as regras aqui estipuladas.

Será que este estudo é válido para um quadrado formado por 9 números, em que a quantidade de números a seleccionar é 3? Como fazer nestes casos?

A Matemática é fértil na utilização de artifícios que se revelam bastante úteis na explicação teórica de determinados conceitos. Contudo, em situações de recreação matemática pode haver um uso abusivo ou incorrecto desses artifícios, levando a conclusões curiosas, mas erradas. Veja-se o exemplo seguinte:

Imaginem-se dois números inteiros, não consecutivos “x” e “y”, sendo o primeiro maior que o segundo (x > y). Admitamos a existência de um número inteiro “z” compreendido entre “x” e “y”, de modo que “x = z + y”. Desta igualdade conclui-se que “z = x – y”. Analise-se, agora, os seguintes procedimentos algébricos e procure-se encontrar o artifício matemático que foi utilizado de forma incorrecta, levando a uma resposta absurda:

z = x – y <=>

<=> z (x – y) = (x – y)² <=>

<=> zx – zy = x² – 2xy + y² <=>

<=> xy – y² – zy = x² – xy – zx <=>

<=> y (x – y – z) = x (x – y – z) <=>

<=> y = x

Levando esta situação para o contexto de sala de aula, poder-se-á constatar que se “x = z + y”, implica que “x – y – z = 0”. Assim sendo, o penúltimo passo da resolução apresentada não pode ser feito, pois está a usar-se a divisão por zero, o que é impossível.

A título de brincadeira poderíamos analisar outros casos, como os seguintes:

A - Tentar justificar que a diferença entre 45 e 45 não é 45, pois a seguinte resolução evidencia a igualdade:

                                   9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

        -  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

                                   8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2 = 45

B - Tentar justificar que o produto de 7 por 13 não é 28, pois a resolução seguinte mostra que sim:

13        7 vezes 3 é igual a 21

x 7       7 vezes 1 é igual a 7

 21

+ 7

 28

Que outros casos semelhantes conhece e pode disponibilizar neste blog?

Muitos são os casos de recreação matemática que envolvem a utilização de um normal baralho de cartas. De facto, as cartas são um recurso muito interessante para o desenvolvimento do raciocínio lógico, bem como para ocupação lúdica de alguns momentos de lazer.

Veja-se o seguinte exemplo onde se pede para se encontrar uma explicação para esta enigmática magia (adaptada de Muñoz, 2006)*:

Divida um baralho de cartas (52 cartas) mais ou menos ao meio. De seguida, escolha apenas um dos dois montes obtidos, deixando o outro de parte. Conte as cartas do monte escolhido e adicione os algarismos desse número de cartas. Retire para cima da mesa tantas cartas quantas a soma agora obtida, observando apenas a última carta que sair. Junte agora todo o baralho, tendo em conta as seguintes regras: (a) a última carta saída vai ser colocada por baixo do restante monte de onde ela saiu, sempre viradas para baixo; (b) as cartas que saíram antes dela vão ficar por baixo dela, também viradas para baixo, bem como as restantes cartas que compõem o baralho.

À medida que for lendo a frase: ESTA É A CARTA QUE EU VI, vá retirando uma carta do baralho (uma por cada letra que ler), começando de cima para baixo, continuando as cartas voltadas para baixo. Após ter retirado todas as cartas afectas à leitura da frase, retire a próxima carta do baralho e certifique-se que é a que efectivamente tinha visto antes.

Transportando esta situação para a sala de aula, permite abordar o conceito de múltiplo de 9 ou o critério de divisibilidade de um número por 9. De facto, esta magia ocorre porque ao retirar-se de um número formado por dois dígitos (10a + b, correspondendo a cerca de metade das cartas), em que o das dezenas é 2 (a = 2), a soma desses dígitos (a + b), obtém-se um valor que é múltiplo de 9. De facto: 10a + b – (a + b) = 9a. Como no caso vertente, o a é 2, significa que o múltiplo de 9 que está em jogo é o 18. Ora, isto ocorre sempre que um número seja formado por dois dígitos, sendo 2 o dígito das dezenas.

Tendo presente este conhecimento matemático, facilmente se percebe o porquê da magia anterior ocorrer. Se se reparar, o número de letras envolvido na frase desta tarefa é 18. Como ficam por cima da carta seleccionada precisamente 18 cartas, ao retirar-se a próxima carta (19ª), fica identificada a carta que foi vista inicialmente. Como será o estudo para o caso do número de cartas de um dos montes oscilar entre os valores 30 e 39?

*  - Muñoz, José (2006). Ernesto, el aprendiz de matemago. Tres cantos: Nívola, 2ª Ed. 

Como referi num outro artigo deste Blog, em actividades de Matemática Recreativa, o tema dos padrões costuma despertar muita atenção por parte dos resolvedores. Veja-se o seguinte exemplo e tente dar continuidade ao padrão:

225, 625, 1225, 2025, 3025, 4225, 5625, 7225, 9025

A resolução desta situação pode passar pela seguinte estratégia: isolar o número 25 em cada caso e centrar a atenção apenas no que resta:

2     25

6     25

12     25

20     25

30     25

42     25

56     25

72     25

90    25

Ora, os valores da coluna da esquerda podem ser vistos como sendo o produto de dois números consecutivos, isto é:

Sendo assim, a solução desta tarefa envolve o produto de 10 por 11, acrescido do valor 25, isto é, o valor 11025.

Transportando esta tarefa para a sala de aula, seria interessante levar os alunos a concluir que cada valor da sequência numérica inicial não é mais do que o quadrado de um número terminado em 5:

15² = 225

25² = 625

35² = 1225

45² = 2025

55² = 3025

65² = 4225

75² = 5625

85² = 7225

95² = 9025

Recorrendo à teoria dos números, pode-se pensar num número formado por dois dígitos (w5), em que o das unidades é 5. Se se elevar este número ao quadrado, isto é, (10w + 5)², implica o seguinte desenvolvimento: 100w² + 100w + 25. Isolando o 25 e colocando o 100 em evidência, obtém-se o seguinte: 100 (w² + w) + 25, ou seja: 100 x [w x (w + 1)] + 25. Logo, multiplicando-se o valor situado à esquerda do 5 pelo seu sucessor, obtém-se o valor da ordem das centenas do resultado final, seguido do 25.

Face a esta explicação, seria interessante desafiar os alunos a fazer um estudo semelhante para o caso dos quadrados dos números formados por dois dígitos, cujo algarismo das unidades seja diferente do 5, como seja o caso, por exemplo, do 3.

A Matemática Recreativa é fértil em apresentar desafios cujos enunciados requerem uma atenção especial. Muitas são as investigações em Educação Matemática onde se tem vindo a constatar que algum do insucesso na resolução de problemas passa por uma incorrecta interpretação dos respectivos enunciados. Veja-se um caso bem conhecido, como o seguinte:

"Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa tijolo e meio?"

Esta situação, transportada para a sala de aula pode servir de base para a exploração de vários conceitos matemáticos, como seja a estratégia do esquema ou figura ou a introdução às equações lineares. Tudo depende do público-alvo em questão.

No caso vertente, este desafio requer uma atenção muito cuidada ao nível da leitura e interpretação do enunciado, aliás, recomendação primeira no modelo de resolução de problemas proposto por Polya.

Uma primeira preocupação do resolvedor deverá ser a identificação do peso de um tijolo. Ora, esta informação está no enunciado, pois refere que "um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo".

No fundo, o recurso a um bom esquema ou a uma boa figura pode ilustrar esta igualdade:

De seguida importa ver se há coisas iguais nos dois pratos da balança. De facto, se se considerar que um tijolo inteiro é formado pelas suas duas metades, há metade de um tijolo em cada prato da balança, que pode ser retirado:

Retirando essa componente comum aos dois pratos, constata-se que a balança continua em equilíbrio, pelo que metade de um tijolo pesa um quilo:

Assim, se metade de um tijolo pesa um quilo, um tijolo inteiro pesa dois quilos e tijolo e meio pesa três quilos.

Fica, pois, provado que este desafio pode servir para introdução do conceito de equação linear e permite, por outro lado, valorizar uma das muitas e importantes estratégias de resolução de problemas, que é a do esquema ou figura.

Este exemplo permite pensar-se em outros do mesmo tipo, como seja: "Se um animal pesa 140 quilos mais um terço do seu peso, qual é o seu peso total?"