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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Investigações matemáticas envolvendo os números pares e os números ímpares

Setembro 25, 2008

Paulo Afonso

Quem não gostaria de dizer que tem jeito para ser investigador matemático? Provavelmente aqueles que são apaixonados pela Matemática têm investido bastante no sentido de irem desenvolvendo a sua postura de permanente indagação, aspecto indispensável a quem pretende ser investigador matemático.

As situações de recreação matemática são propícias ao desenvolvimento deste tipo de postura para com esta apaixonante ciência. Conjecturar, procurar regularidades, testar hipóteses, reflectir, questionar, são, pois, aspectos inerentes ao acto de investigar.

Por vezes, ao tentar resolver-se uma determinada tarefa ou desafio matemático, perfeitamente delimitado ao nível do que é dado e do que é pedido, surge a possibilidade de se pensar em possíveis extensões dessas tarefas ou desafios, de modo a criarem-se verdadeiros cenários de investigação matemática, onde apenas sabemos de onde vimos mas não temos certezas relativamente aonde vamos chegar.

O exemplo que escolhi para ilustrar este tema tem por base um desafio matemático que encontrei num maravilhoso livro* de Henry Dudeney, recentemente publicado em Portugal pela RBA Editores. Eis o enunciado:

Um comerciante de Bagdade tinha à venda dez barris de um valioso bálsamo. Estavam numerados e dispostos em duas filas, uma sobre a outra […]. Quanto menor era o número do barril, maior era o seu valor. Deste modo, a melhor qualidade estava numerada com um «1» e a pior estava numerada com um «10»; os outros números respeitavam esta escala de qualidade.

Ora bem, a regra de Ahmed Assan, era este o nome do comerciante, consistia em não pôr um barril debaixo ou à direita de um de menor valor […]. O enigma consiste em descobrir de quantas maneiras diferentes pôde o comerciante de Bagdade ter acomodado os seus barris nas duas filas, sem quebrar a regra. Consegue calcular a quantidade de maneiras?” (Dudeney, 2008, pp. 87-88).

* - Dudeney, Henry (2008). O mistério do cais. Divertimentos matemáticos (III). Barcelona: RBA Editores.

 Esta situação tem várias resoluções, de entre as quais destaco as seguintes: 

1     2     4     6     8

 3     5     7     9   10

1     3     5     7     9

 2     4     6     8   10

1     2     3     4     5

6     7     8     9   10

Como o autor explica, é fácil descobrir-se o número de possibildades de resposta correcta, bastando para tal multiplicar-se os valores de cada fila, seguindo-se a divisão do maior valor obtido pelo menor. Este processo permite encontrar as 252 combinações de dez objectos, tomando cinco de cada vez. Este valor deve, ainda, ser dividido por 6 (sucessor do número de barris por fila) e obtém-se a resposta à tarefa, que é 42 maneiras possíveis.

Testando esta regra para o caso de os valores dos barris serem apenas 1, 2, 3 e 4, a mesma confirma-se, pois originam-se duas possibilidades, que são os seguintes: 

1 x 2 = 2; 3 x 4 = 12; 12 : 2 = 6; 6 : (2 + 1) = 2,

1     2

3     4

1     3

2     4

Confirme a regra para o caso de os barris terem os seguintes rótulos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Ora, ao colocar em campo a nossa vontade de se dar resposta a este último desafio, constatamos que se obtiveram, entre outros, estes dois casos de sucesso:

1     2     5

3     4     6

1     3     4

2     5     6

"Olhando com olhos de ver" para estes dois casos em concreto, verificamos a seguinte curiosidade: a soma dos valores da fila de cima é igual nos dois casos. Por sua vez, a soma dos valores da fila de baixo também, ainda que diferente daquela. Refiro-me, respectivamente, aos valores 8 e 13.

Será interessante verificar se ocorrerão mais casos como este...

Apelando ao nosso sentido de indagação, podemos tentar investigar se esta situação também ocorre no caso dos seis primeiros números pares ou no caso dos seis primeiros números ímpares.

Eis o resultado surpreendente:

Números pares:  

Números ímpares:

 

2     4     10

6     8     12

2     6     8

4     10   12

1     3     9

  5     7    11

1     5     7

 3      9    11

Para além de se confirmar a conjectura, consta-se uma nova curiosidade: em todos os casos, a diferença entre as duas somas é sempre 10 unidades!

(a) Será que a posição dos valores nas respectivas sequências influencia os resultados desta investigação?

(b) Será que também resulta para a seguinte progressão aritmética: 20, 24, 28, 32, 36, 40?

(c) Será que a razão da progressão, isto é, a diferença entre dois números consecutivos da sequência numérica, influencia a diferença de valores entre a soma dos valores da fila de cima e a soma dos valores da fila de baixo?

Uma boa estratégia de resolução para problemas de Lógica

Setembro 20, 2008

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa é usual sugerirem-se problemas que apelam ao raciocínio lógico e que implicam a utilização de uma boa estratégia de resolução, sob pena de os resolvedores sentirem algumas dificuldades em organizarem o seu processo de pensamento. O exemplo que apresento a seguir, retirado de uma obra* que tive a felicidade de publicar em 2001, transporta-nos para um cenário deste tipo:

Pedro, André, Cláudio, Dinis e Bernardo estão a ensaiar uma peça de teatro, onde os personagens são um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro.

Sabe-se que:

1 - Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis;

2 - nos intervalos, o soldado joga às cartas com o Dinis;

3 - Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda;

4 - o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o Bernardo, mas detesta ver o soldado.

Qual o papel desempenhado na peça por cada um?

* - Afonso, Paulo (2001). Uma aventura matemática na Internet. Porto: ASA.

Este desafio tem a seguinte resolução: (a) O rei é o André, (b) o soldado é o Pedro, (c) o bobo é o Dinis, (d) o guarda é o Bernardo e, (e) o prisioneiro é o Cláudio.

Contudo, a utilização de uma boa estratégia de resolução permite perceber-se, durante o processo de resolução e ao fim do mesmo, o tipo de raciocínio empregue, evitando a resolução em círculos viciosos. Sugiro, pois, a utilização de uma tabela de dupla entrada, associada a uma legenda e à escrita minuciosa dos passos que forem sendo dados:

 

Pedro

André

Cláudio

Dinis

Bernardo

Rei

 

 

 

 

 

Soldado

 

 

 

 

 

Bobo

 

 

 

 

 

Guarda

 

 

 

 

 

Prisioneiro

 

 

 

 

 

Legenda: X - é; O - não é

Vamos interpretar a 1ª premissa:

Se Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis, então o Pedro e o André não são o prisioneiro:

  Pedro André Cláudio Dinis Bernardo
Rei          
Soldado          
Bobo          
Guarda          
Prisioneiro

O(1)

O(1)

     

 Após interpretação das restantes premissas, a tabela assume a seguinte configuração: 

  Pedro André Cláudio Dinis Bernardo
Rei          
Soldado  

O(4)

O(4)

O(2)

O(4)

Bobo  

O(4)

O(4)

 

O(4)

Guarda

O(3)

O(3)

O(3)

   
Prisioneiro

O(1)

O(1)

     

Como acabei de registar os dados provenientes de todas as premissas, resta-me saber tirar partido desta potente tabela, pois podemos ver que o soldado já só pode ser o Pedro e o André já só pode ser o rei. Registemos, então, estas conclusões:

 

Pedro

André

Cláudio

Dinis

Bernardo

Rei

 

X

 

 

 

Soldado

X

O(4)

O(4)

O(2)

O(4)

Bobo

 

O(4)

O(4)

 

O(4)

Guarda

O(3)

O(3)

O(3)

 

 

Prisioneiro

O(1)

O(1)

 

 

 

Se o Pedro é o soldado e o André é o rei, podemos trancar a coluna do Pedro e a linha do rei, porque cada pessoa só desempenha um papel:

  Pedro André Cláudio Dinis Bernardo
Rei O X O O O
Soldado X

O(4)

O(4)

O(2)

O(4)

Bobo O

O(4)

O(4)

 

O(4)

Guarda

O(3)

O(3)

O(3)

   
Prisioneiro

O(1)

O(1)

     

Verifica-se, agora, que o bobo só pode ser o Dinis e o Cláudio só pode ser o prisioneiro, pelo que se deve trancar o resto da coluna do Dinis e o resto da linha do prisioneiro, ficando o Bernardo a ser o guarda:

  Pedro André Cláudio Dinis Bernardo
Rei O X O O O
Soldado X

O(4)

O(4)

O(2)

O(4)

Bobo O

O(4)

O(4)

X

O(4)

Guarda

O(3)

O(3)

O(3)

O X
Prisioneiro

O(1)

O(1)

X O O

Fica, pois, demonstrado o poder desta estratégia de resolução para problemas deste tipo.

Faça o teste com o seguinte problema análogo:

Quatro corredores de fundo - Artur, Bento, Carlos e Daniel - são especialistas, não necessariamente por esta ordem, da maratona, dos 1000 metros, dos 5000 metros e dos 3000 metros obstáculos.

Sabe-se que:

1 - O Artur e o especialista dos 3000 metros obstáculos correm pelo mesmo clube.

2 - Bento e o maratonista nasceram no norte.

3 - Bento passou o seu 21º aniversário na Madeira.

4 - O especialista dos 5000 metros nunca foi à Madeira.

5 - A irmã do maratonista namora o Artur.

6 - O especialista dos 3000 metros obstáculos esteve nos Jogos Olímpicos com o Bento e o Daniel.

Qual a especialidade de cada um?

Conexões numéricas

Setembro 15, 2008

Paulo Afonso

A Matemática é fértil em situações que possibilitam o estabelecimento de várias conexões, seja entre vários dos seus conteúdos, seja com conteúdos de outras ciências ou até mesmo com a realidade do nosso dia a dia. O exemplo que seleccionei para este artigo, com carácter de recreação matemática, fica-se pela própria Matemática.

Imagine-se desafiado a tentar perceber a relação que existe nas seguintes "frases matemáticas", dando continuidade à regularidade, eventualmente, encontrada:  

5 x 1 + 02 5 x 2 + 12 5 x 3 + 22

Provavelmente não terá dúvidas em afirmar que para cada caso estamos na presença de números primos, pois, 5, 11 e 19 são números apenas divisíveis pela unidade e por eles próprios: 

5 x 1 + 02 = 5 5 x 2 + 12 = 11 5 x 3 + 22 = 19

Aliás, ao prolongar-se esta regularidade, confirma-se a obtenção de novos números primos, pois:

5 x 4 + 32 = 29

5 x 5 + 42 = 41

Contudo, nem sempre o nosso pensamento intuitivo nos leva por caminhos matematicamente válidos, pois basta encontrarmos um contra-exemplo para que caia por terra a nossa melhor conjectura!

De facto, basta seguir o padrão anterior e acrescentar-lhe um novo valor para se perceber que o resultado já não faz parte do conjunto dos números primos:

5 x 6 + 52 = 55.

Quem sabe se o seu sentido de observação não o terá levado, antes, a ver os números destacados em negrito como sendo o resultado do produto de dois números consecutivos, subtraído de uma unidade: 

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 1

19 = 4 x 5 - 1

29 = 5 x 6 - 1

41 = 6 x 7 - 1

55 = 7 x 8 - 1

Na perspectiva do conhecimento matemático trata-se de uma boa conclusão, pois, de facto, essa sequência numérica pode resultar da diferença entre o produto de dois números consecutivos e a unidade. Sendo assim, seria fácil propor o próximo número, que seria o resultado de 8 x 9 - 1, isto é, o 71, que, por acaso, volta a ser um número primo.

Contudo, o estabelecimento de relações pode passar, também, por se perceber o sentido do incremento desta sequência numérica. Ora, centrando a nossa atenção nessa sequência:

5     11     19     29     41     55     71     ...

Verificamos que do 1º para o 2º termo há um incremento de 6 unidades. Depois, do 2º para o 3º termo há um incremento de 8 unidades, seguindo-se um incremento de 10 unidades, e assim sucessivamente.

A tabela seguinte ajuda a perceber a passagem do 1º termo para qualquer dos seguintes, evidenciando um nova regularidade: 

Termo Incremento
1º - 5  
2º - 11 5 + 6
3º - 19 5 + 6 x 2 + 2 x 1
4º - 29 5 + 6 x 3 + 2 x 3
5º - 41 5 + 6 x 4 + 2 x 6
6º - 55 5 + 6 x 5 + 2 x 10

Confirma-se que o próximo termo, 71, resultará de 5 + 6 x 6 + 2 x 15. Analisando-se a coluna respeitante ao incremento a partir do 1º termo da sequência, destaca-se o facto de um dos factores da última múltiplicação em cada linha ser um número triangular (1, 3, 6 , 10, 15,...), cuja lei geral que os origina é a seguinte: (n2 + n) : 2.

Logo, daqui resulta fácil a construção da lei geral que origina a sequência dos números em análise, que será: 5 + 6 (n -1) + 2 x [(n -2)2 + (n - 2)] : 2.

Vimos, pois, que esta sequência de números, como tantas outras que poderíamos analisar, permite o estabelecimento de conexões muito interessantes entre vários conceitos matemáticos, como sejam os números primos, os números sucessivos ou, ainda, as potências de expoente dois ou os números quadrados e o conceito de raiz quadrada.

Analise-se a relação entre a sequência dada e estas novas frases matemáticas:

5 1 x 2 x 3 x 4 + 1
11 2 x 3 x 4 x 5 + 1
19 3 x 4 x 5 x 6 + 1

 Que ilações consegue retirar a partir dos valores da tabela? Dê continuidade a ambas as colunas!

Produtos curiosos

Setembro 11, 2008

Paulo Afonso

A Matemática é fértil no que respeita ao estabelecimento de relações entre os seus entes. Algumas dessas relações conseguem deixar-nos completamente surpreendidos e levam a que o nosso gosto para com esta ciência não pare de aumentar.

Como actividade de recreação matemática poderia colocar-se a questão de se investigarem possíveis relações existentes nas seguintes propostas de multiplicação:

84 x 24 64 x 23 42 x 12

Uma relação possível seria, por exemplo, que cada algarismo das dezenas do factor da esquerda representa o dobro de cada algarismo das unidades do factor da direita. Por sua vez, cada algarismo das unidades do factor da esquerda também representa o dobro de cada algarismo das dezenas do factor da direita.

Aparentemente, esta relação, apesar de existir, parece não ter muita relevância em termos matemáticos.

Contudo, se olharmos com mais atenção para estas mesmas multiplicações, e para estas três novas que apresento a seguir, outras relações, matematicamente mais interessantes, poderão surgir.

Relacione, pois, estes novos factores com os anteriores e reflicta nas possíveis causas de obtenção dos produtos respectivos.

48 x 42 46 x 32 24 x 21

Esta nova tarefa representa, pois, um desafio mais interessante e as conclusões a que chegamos não nos podem deixar indiferentes. De facto, surge uma conclusão matematicamente poderosa, que é a seguinte: no caso específico destas multiplicações, envolvendo a inversão das ordens de cada factor, permitiu, para cada par de multiplicações, a obtenção de produtos iguais:

84 x 24 = 48 x 42 64 x 23 = 46 x 32 42 x 12 = 24 x 21

Será que existem mais casos que confirmem este tipo de relação?

Note-se que estamos perante dois números formados por dois algarismos: yz e tw, de modo que (10y + z ) x (10t + w) = (10z + y) x (10w + t). Resolvendo esta igualdade, resulta que: 100yt + 10yw + 10tz + zw = 100zw + 10tz + 10yw + yt. Simplificando, fica: 99yt = 99zw, ou seja: yt = zw.

Esta relação matemática permite que se conclua que o produto dos algarismos das dezenas seja igual ao produto dos algarismos das unidades.

Ora, com base nesta conclusão, vários são os casos de sucesso, como os seguintes:

62 x 13 = 26 x 31 82 x 14 = 28 x 41 86 x 34 = 68 x 43

Descubra os restantes casos!

Alvo matemático

Setembro 08, 2008

Paulo Afonso

Vários são os casos de recreação matemática que recorrem a alguns jogos do nosso quotidiano, como fonte de motivação extra. O exemplo que apresento a seguir foi adaptado de uma tarefa existente num dos magníficos livros e Brian Bolt*, envolvendo o conhecido jogo de dardos:

 

* - Bolt; Brian (1997). Uma Paródia Matemática. Lisboa: Gradiva. 

 

Cada um de três amigos lançou um conjunto de seis dardos e obteve a mesma pontuação final. Contudo, apesar de os seis dardos terem acertado no alvo em cada caso, a sua distribuição pontual parcial não coincidiu entre os jogadores. Sabendo-se que cada jogador acertou pelo menos um dardo na pontuação parcial 2, que soma final obtiveram?

  

Uma possível resolução deste desafio pode ser o que apresento a seguir: 

SOMA 32:

Jogador A:

 

2, 2, 3, 3, 11, 11

Jogador B:

 

2, 2, 3, 7, 7, 11

Jogador C:

 

2, 2, 7, 7, 7, 7

 

Contudo, em situação, transportada para o contexto de sala de aula, permite que se faça uma investigação muito exaustiva, no sentido de se averiguar se existem mais soluções válidas, para além desta. Podemos começar por estudar o caso em que cinco lançamentos caíram na pontuação 2, depois o caso em que nesta pontuação apenas caíram quatro dardos, depois três, seguindo-se o estudo para o caso de apenas dois dardos calharem na posição 2 e, finalmente, o caso de apenas um dardo calhar nesta posição. O estudo, apesar de ser moroso, merece ser feito pelas múltiplas conexões que podem surgir, como seja o caso de se verificar que o número de possibilidades para cada caso mencionado coincidir com a sequência de números triangulares.

Averigúe, pois, quantos casos mais existem, que conferem uma resposta correcta para este desafio.

Averigúe, também, se este enunciado poderia ser colocado com a condição de que pelo menos um dardo acertou na pontuação parcial 2 e outro na pontuação parcial 3. 

Sequências mágicas

Setembro 05, 2008

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa as sequências numéricas suscitam actividades muito motivadoras quando associadas a determinadas disposições geométricas. Este tipo de conexão matemática podemos encontrá-la em múltiplas publicações da especialidade, como seja o magnífico livro de Brian Bolt (1996)*. Vejamos o seguinte exemplo que adaptamos dessa obra:

Colocar na figura seguinte os algarismos de 1 a 8, de modo a que a soma em cada linha e em cada coluna seja sempre a mesma:

 

Por tentativa e erro, esta tarefa poderia ser resolvida da seguinte forma, não esgotando, contudo, todas as possibilidades que existem:

Como explicação teórica sabemos que cada uma das quatro somas (S) é sempre a mesma, isto é, a + b + c = e + d + h = f + e + b = g + c + d. Logo, também sabemos que:

4S = a + b + c + e + d + h + f + e + b + g + c + d, isto é,

4S = a + 2b + 2c + 2d + 2e + f + g + h, ou

4S = (b + c + d + e) + (a + b + c + d + e + f + g + h)

Por outro lado sabemos que a + b + c + d + e + f + g + h = 36, logo:

4S = b + c + d + e + 36

Sabemos ainda que no mínimo b + c + d + e = 10 e no máximo será 26.

Logo, 4S estará compreendido entre 10 + 36 e 26 + 36, isto é, entre 46 e 62. Daqui podemos concluir que S estará entre 12 e 15.

Admitindo que S possa ser 12, sabe-se que b + c + d + e = 4 x 12 - 36, isto é, b + c + d + e = 12.

Sabemos também que a + b + c + e + d + h = 24. Logo, a + h = 24 - 12 = 12. Por sua vez, g + f = 12. Com base nestas conclusões torna-se fácil apresentar a solução aqui ilustrada.

Consegue fazer os estudos respectivos para as somas 13, 14 e 15?

* - Bolt. Brian (1996). Puzzles de Matemática. Lisboa: Terramar.

Esta interessante tarefa permite várias extensões, de entre as quais destaco o estudo semelhante para o caso de os oito números envolvidos serem os seguintes: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

Será que a soma mínima é 24, como mostro na figura seguinte? Haverás mais somas? Quantas?

Outra extensão possível é tentar distribuir os oitos números originais, de modo que as quatro somas sejam quatro números inteiros consecutivos.

Um caso possível é da figura seguinte, contudo o desafio é o de se investigar se existem mais casos como este, isto é, envolvendo quatro somas consecutivas, diferentes destas ou, então, que configurem uma progressão aritmética de razão 2.

Apenas deixo a pista de se analisar os quatro números colocados nas quadrículas a, f, g e h. De que números se tratam?

Potências e padrões numéricos

Setembro 04, 2008

Paulo Afonso

O tema das potências de expoente natural é um dos temas propícios a adoptar em actividades de Matemática Recreativa. Por um lado permitem várias conexões a temas do quotidiano e permitem, por outro lado, a realização de investigações interessantes ao nível dos padrões de natureza numérica. Veja-se o seguinte caso:

De uma forma rápida, encontre a soma seguinte, que dê continuidade ao padrão numérico das somas apresentadas, resultantes da adição de várias potências de base 2:

1 + 2 =                                                                       3

1 + 2 + 4 =                                                                 7

1 + 2 + 4 + 8 =                                                         15

..... =                                                                           ?

Uma resposta possível ao desafio colocado podia passar pela escrita da próxima sequência, efectuando-se a respectiva soma:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 =                                                  31

Contudo, ao nível da sala de aula de matemática, este desafio poderia ser utilizado para que os alunos pudessem propor uma estratégia de resolução matematicamente mais elegante, passando pela descoberta da regra que atravessa todos estes casos. Seria interessante que os alunos pudessem descobrir que a soma para cada sequência apresentada passa pela descoberta do próximo termo, subtraindo-se uma unidade.

Note que se a sequência envolver as potências de base 3, o critério é ligeiramente diferente:

1 + 3 =                                                                        4

1 + 3 + 9 =                                                                13

1 + 3 + 9 + 27 =                                                        40

... =                                                                              ?

No caso vertente, a estratégia de resolução passa pela identificação do termo seguinte, subtraindo-se uma unidade a esse valor e calculando-se a metade deste valor final.

E no caso das potências de base 4 ou no caso das potências de base 5? Qual a estratégia adequada para a descoberta rápida de uma qualquer soma envolvendo potências consecutivas?

Potência de base 4 Potências de base 5
1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 
1 + 4 + 16 = 21 1 + 5 + 25 = 31 
1 + 4 + 16 + 64 = 85 1 + 5 + 25 + 125 = 165
... =  ? ... = ?

 

Brincar com os números

Setembro 02, 2008

Paulo Afonso

Os números são de vários tipos e permitem o estabelecimento de múltiplas relações matemáticas.

Num cenário de recreação matemática imagine-se desafiado a utilizar apenas os seis primeiros números naturais, de modo a colocá-los nas seguintes seis células, segundo determinado tipo de regras, envolvendo cinco tarefas diferentes:

           

1 - A soma dos números colocados nas duas primeiras células tem que ser igual à soma dos números colocados nas duas células seguintes e igual à soma dos números colocados nas duas células da direita.

2 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que ser números consecutivos.

3 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 2.

4 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 3.

5 - As somas dos números colocados nas duas primeiras células, nas duas células seguintes e nas duas células da direita têm que pertencer a uma progressão aritmética de razão 4.

Como possíveis resoluções podíamos ter os seguintes cinco casos:

1:

1 6 3 4 5 2

2:

2 4 1 6 3 5

3:

1 4 2 5 6 3

4:

1 3 5 2 6 4

5:

1 2 3 4 5 6

Em contexto de sala de aula de matemática, estes desafios poderiam ser interessantes para o estudo do conceito de progressão aritmética. Contudo, muitas outras extensões poderiam ser feitas a partir do posicionamento destes seis números naturais:

A título de exemplo, tente colocá-los nestas seis células tendo em conta, em simultâneo, todas as condições seguintes:

a) os dois primeiros números formam um número que é múltiplo de 6;

b) o 2º e o 3º números formam um número que é múltiplo de 5;

c) o 3º e o 4º números formam um número que é múltiplo de 4;

d) o 4º e o 5º números formam um número que é múltiplo de 3;

e) o 5º e o 6º números formam um número que é múltiplo de 2.

Mostre a solução e evidencie o raciocínio utilizado.

 

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