Se nos lembrarmos do nosso tempo de escola, recordaremos que se falava em vários tipos de números. Havia os pares, os ímpares, os que eram primos, os primos entre si, os compostos, os perfeitos, os quadrados, os triangulares, os naturais, os inteiros, os relativos, os racionais, os reais, os irracionais, etc., etc. Destes, havia alguns que se distinguiam pela sua importância histórica, como seja o 1, o zero, o pi, ou o de ouro. 

Não obstante isto, tem vindo a descobrir-se coisas fantásticas acerca de outros bem mais "modestos", em termos da sua importância relativa como entes da História da Matemática, como seja o 9, o 1089, o 3037 ou o 142857. Basta uma consulta rápida na Internet para nos apercebermos das suas magníficas propriedades matemáticas.

Contudo, não é acerca destes números que eu vou incidir a minha reflexão. Decidi escolher um que, porventura, tem merecido menos elogios, mas que me agrada imenso, por permitir um leque variado de conexões a alguns conceitos matemáticos. Refiro-me ao 120.

Pois é, se eu o desafiasse a reflectir acerca da importância deste valor nas nossas vidas, facilmente o associaríamos a aspectos do tempo (sistema sexagesimal), ou ao limite de velocidade nas auto-estradas. Quantos de nós não pagaram já coimas de 120 euros por excesso de velocidade?

Já relativamente a outros conceitos matemáticos podemos associá-lo, por exemplo, ao conceito de amplitude de ângulos, designadamente aos ângulos externos de um qualquer triângulo equilátero.

Mas vejamos as seguintes propriedades mágicas deste número.

(a) Tem o privilégio de ser formado pelos três primeiros números inteiros (0, 1 e 2).

(b) Como qualquer outro número inteiro, pode ser obtido pela adição de alguns números da sequência de Finonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Eis alguns exemplos:

(c) Como se trata de um número que não é primo, pois é composto, pode ser obtido através da multiplicação de vários factores primos: 120 = 2³ x 3 x 5.

(d) Também pode ser obtido através da adição de oito dos dez primeiros números primos: 120 = 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29. Aliás, tendo em conta a conjectura de Goldbach, que diz que qualquer número par maior ou igual a quatro pode ser obtido pela adição de dois números primos, o 120 resultaria da adição de 103 com 17, ou de 113 com 7 ou de 117 com 3.

(e) É um número triangular, o que significa que existem dois números inteiros consecutivos que multiplicados entre si originam um produto que é o dobro desse valor 120. Refiro-me aos números 15 e 16, pois 15 x 16 = 240. De facto, o 120 é o 15º número triangular, pois 120 = [n x [n + 1)] : 2, quando n = 15.

(f) Ao adicionarmos os seus dígitos constatamos que a soma é 3, logo o 120 é divisível por 3. Este facto permite que nos questionemos acerca de quais serão os nove números inteiros consecutivos que permitem transformar a figura seguinte num quadrado mágico, de ordem três, com soma mágica 120?

Eis uma possível solução, envolvendo os seguintes números consecutivos 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44:

(g) Será que também pode ser afecto a um quadrado mágico de ordem quatro, isto é, será que existem dezasseis números inteiros consecutivos que permitem tornar a figura seguinte num quadrado mágico de soma 120?

Através dos três exemplos seguintes podemos perceber que existe uma regularidade neste tipo de figuras: 

Quando a sequência se inicia pelo valor 1, a soma é 34; quando se inicia pelo valor 2, a soma é 38; quando se inicia pelo valor 3, a soma é 42. Prolongando este padrão, resulta o seguinte:

O padrão anterior permite concluir que não é possível obter-se um quadrado mágico, de ordem 4, envolvendo dezasseis números inteiros consecutivos cuja soma seja 120. O máximo que se obtém por defeito é 118 e o mínimo que se obtém por excesso é 122.

Ora se formalizarmos este padrão, percebemos que:

1 --- 34 = 34 + 0 x 4

2 --- 38 = 34 + 1 x 4

3 --- 42 = 34 + 2 x 4

4 --- 46 = 34 + 3 x 4

5 --- 50 = 34 + 4 x 4

...

n        = 34 + (n - 1) x 4

Se igualarmos este lei de formação ao valor 120, concluímos que "n" terá que ser 22,5, que será o início da seguinte sequência numérica: 22,5; 23,5; 24,5; 25,5; 26,5; 27,5; 28,5; 29,5; 30,5; 31,5; 32,5; 33,5; 34,5; 35,5; 36,5; 37,5.

Façamos o quadro:

Confirma-se, pois, que se pode construir um quadrado mágico, de ordem 4, cuja soma mágica 120 resulta da utilização dos dezasseis números decimais acima enunciados.

(h) A terminar, seria interessante investigar se o 120 resulta ou não da adição de quatro potências de base dois consecutivas.

A tabela seguinte evidencia esse possível estudo:

Note-se, pois, que as potências envolvidas são 2³, 2⁴, 2⁵ e 2⁶.

Através de uma exploração algébrica, a resolução da equação seguinte: x² + 2x² + 4x² + 8x² = 120 dar-nos-ia a resposta "8" como sendo a primeira das potências a considerar.

Faça um estudo semelhante para o caso de quatro potências consecutivas de base 3 e verá que ficará surpreendido!

Num dos artigos anteriores tive a oportunidade de me pronunciar acerca de um determinado tipo de números que tinham a particularidade de originar figuras triangulares. Referia-me, na altura, aos números triangulares, cujos seis primeiros termos da sequência são os seguintes: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

De entre várias conexões matemáticas que este tipo de números permite estabelecer*, como seja aos números quadrados ou ao triângulo de Pascal, irei associá-los ao conceito de média aritmética, ao conceito de número primo e ao conceito de potência de expoente natural.

* - Afonso, P. (2006). A Magia Conexões Matemáticas - Um caso envolvendo números triangulares. Educação e Matemática, 90, Novembro/Dezembro, 35-38.

Sendo assim, imagine que era desafiado a dividir aqueles seis primeiros elementos da sequência de números triangulares em dois grupos de igual valor numérico e em que cada um dos dois grupos era formado por metade desses elementos.

A figura seguinte permite auxiliar a visualização desta proposta, pois sugere-se que as parcelas de cada um dos grupos sejam colocadas nos triângulos azuis, e as respectivas somas ao centro de cada hexágono amarelo:

Como actividade de recreação matemática, esta situação poderia ser resolvida por tentativas:

Obviamente que em termos de sala de aula de matemática seria desejável que os alunos adicionassem esses seis termos da sequência, cujo valor é 56 e dividissem por dois para encontrarem o valor de cada metade, que é 28.

Ora, baseando-nos neste tipo de imagem, verifica-se que mantendo-se a média no valor 28, estes seis números triangulares permitem a constituição de outros pares de somas, em que cada uma delas continua a resultar da adição de três parcelas:

Note-se que as somas envolvidas nestas figuras são sempre pares.

Será que os restantes valores pares, agrupados segundo os seguintes pares ordenados [(22, 34); (20, 36); (18, 38); (16, 40); (14, 42); (12, 44); (10, 46); (8, 48); (6, 50)] permitem também casos de sucesso em figuras semelhantes às que acabo de mostrar? Será, certamente, uma investigação interessante a fazer-se...

O mesmo será dizer-se relativamente aos pares de números envolvendo somas ímpares, mas mantendo-se a mesma média de 28 valores. Use a figura seguinte para fazer este novo estudo:

Note-se a curiosidade de para o par de somas (19, 37) se conseguirem obter dois casos de sucesso:

É, pois, desafiador fazer-se o estudo para os restantes pares de somas ímpares e de média 28, usando-se apenas figuras semelhantes às anteriores, isto é, que envolvam três parcelas para cada soma.

Como tenho feito em outros artigos, este tema também permite múltiplas extensões.

Veja o exemplo de se sentir desafiado a dividir estes seis números triangulares em dois novos grupos, formado cada um por três elementos, de modo que uma soma seja o triplo da outra...

Uma vez mais, eis um possível caso de sucesso, envolvendo as somas 42 e 14:

Divida agora esses seis números, de modo a formar dois grupos cujas somas são dois números primos.

Se investigar este caso, provavelmente irá concluir que o número de termos envolvido em cada soma não será igual, o que obrigará a recorrer a outro tipo de figuras. Eis uma solução possível:

Conclui-se, pois, que este conjunto de números revela ter grandes possibilidades de exploração pedagógica.

Termino com o seguinte desafio: usar uma figura semelhante à anterior para se obterem duas somas em que uma é o quadrado da outra. 

A decomposição de números pode servir de motivação para se abordarem múltiplos aspectos da Matemática, como seja a distinção entre número e numeral, bem como a operação adição e a sua inversa - operação subtracção - ou até mesmo algumas propriedades da adição, como seja a comutativa ou a associativa.

Pegando neste tema da decomposição dos números, imagine que é solicitado a descobrir quais os números que são possíveis decompor, tendo em conta as seguintes regras:

a) a decomposição será feita através de adições envolvendo apenas três parcelas;

b) como parcelas da dição pode utilizar apenas os nove primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

c) numa mesma adição não pode haver repetição de números. 

Quais os números susceptíveis de serem decompostos e quais as decomposições possíveis para cada um desses números?

Esta situação pode ser resolvida por tentativas ou, então, através de um processo mais sistematizado, isto é, envolvendo um critério específico como o que apresento a seguir:

Soma máxima: 24 e só permite uma decomposição: 9 + 8 + 7

Soma mínima: 6 e só permite uma decomposição: 3 + 2 + 1

As restantes dezassete somas e as respectivas decomposições encontram-se nas tabelas seguintes:

Analizando-se as dezanove somas possíveis de ser decompostas de acordo com as regras do enunciado desta tarefa, constata-se a curiosidade de o número de decomposições para cada caso originar uma distribuição de tendência normal, como evidencia o gráfico seguinte:

Trata-se, pois, de um distribuição simétrica, em que a frequência absoluta mais elevada é 8, correpondendo às decomposições dos valores 14, 15 e 16.

Ora, tendo em conta as oito decomposições do número 15:

poderse-á analisar o número de vezes que cada um dos valores surge nessas adições. Assim, o valor mais utilizado é o 5, pois aparece em quatro decomposições. De seguida há quatro números que aparecem três vezes. São eles o 2, o 4, o 6 e o 8. Por último, os números 1, 3, 7 e 9 apenas surgem duas vezes. 

Com base nesta análise, seria interessante poder colocar estes mesmos números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nas nove células seguintes, de modo que o quadrado seguinte assumisse o atributo de quadrado mágico de soma 15, isto é, as somas em quaisquer linha, coluna ou diagonal ser sempre 15. Nota: como há nove células para nove números, todos deverão ser usados e apenas uma vez:

Espera-se que a solução encontrada possa confirmar o número de vezes em que cada número é utilizado na decomposição do número 15, segundo as regras impostas por esta tarefa:

Ora, o tema dos quadrados mágicos é dos temas mais fascinantes ao nível da recreação matemática, por permitir múltiplas explorações e conexões a outros temas.

Repare que se a sequência numérica for outra, como por exemplo esta: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, a soma mágica já terá outro valor:

Note-se que quando a sequência numérica se iniciou no 1, a soma mágica foi 15; iniciando-se no 6 passou a ser 30.

Qual será a próxima sequência de nove números, designadamente o seu valor inicial, para que a soma mágica passe a ser 45? Consegue explicar o seu raciocínio?

A Geometria e a Medida são duas áreas afins da Matemática, de onde têm sido produzidas muitas actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para abordar o tema das conexões matemáticas, envolvendo a Geometria e a Medida, tem a ver com o conceito de polígono regular e com o conceito de diagonal de um polígono regular, cujas definições são do domínio comum.

Imagine que era desafiado a identificar o número de segmentos de recta que unem dois vértices não consecutivos em cada uma das seguintes figuras geométricas 

Facilmente se apercebia que no caso do triângulo não existe nenhum segmento de recta deste tipo, no caso do quadrado existem 2, no caso do pentágono existem 5, no caso do hexágono existem 9 e no caso do heptágono existem 14: 

Sem desenhar a respectiva figura seria interessante que se conseguisse descobrir o número de segmentos de recta deste tipo para o caso de se tratar de um polígono regular de doze lados, isto é, um dodecágono.

Seria desejável que os resolvedores tentassem olhar para o número de segmentos de recta deste tipo em cada figura, no sentido de perceberem se existe ou não algum tipo de regularidade.

Ora, constata-se que o número se segmentos de recta para cada caso é, respectivamente, o seguinte: 0, 2, 5, 9, 14. Se se reparar, de 0 para 2 há um incremento de duas unidades; de 2 para 5 o incremento é de três unidades; de 5 para 9 é de quatro e de 9 para 14 é de cinco. Seguindo-se este critério, facilmente se conclui que para o caso do dodecágono existem 54 segmentos de recta deste tipo.

Se esta situação for transportada para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos pudessem pensar numa lei geral que relacionasse o número deste tipo de segmentos de recta  - diagonais dos polígonos - com o número de lados de cada polígono.

A tabela seguinte sistematiza os dados: 

Analisando-se ambas as colunas que contêm valores numéricos, deduz-se a lei geral de obtenção do número de diagonais de um polígono regular a partir do número de lados desse polígono: d = l x (l - 3) : 2, sendo "d" o número de diagonais de um polígono regular e "l" o número de lados desse polígono.

Neste caso qualquer pergunta que vise a obtenção do número de diagonais de um determinado polígono regular, facilmente será resolvida pela aplicação directa da fórmula anterior.

Sendo assim, qual o número de diagonais do icoságono, isto é, do polígono regular formado por 20 lados?

Tal como temos vindo a fazer em artigos anteriores, este tema também pode suscitar algumas extensões e conexões a outros assuntos matemáticos, como seja o dos números triangulares.

Repare na soma do número de lados de cada polígono, supra analisado, e o respectivo número de diagonais:

Os números 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., por permitirem a obtenção de figuras triangulares, designam-se de números triangulares:

3	6	10

A fórmula que gera este tipo de números pode ser deduzida a partir da lei geral que gera o número de diagonais de um polígono regular em função do seu número de lados e é a seguinte t_n =  n x (n + 1) : 2, sendo "t" um número triangular e "n" a ordem desse número triangular na respectiva sequência de números triangulares. Como primeiro número triangular há que se considerar o 1, pois t₁ = 1 x 2 : 2 = 1.

Esta conexão matemática permite que se desafiem os alunos com várias tarefas interessantes, às quais dedicarei um próximo artigo.

Para já desafio-os a responder à seguinte tarefa: Qual o polígono regular cuja soma do número de lados com o número das suas diagonais origina o 15º número triangular?

Como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, a Matemática é propícia à descoberta de regularidades que, em última instância, deveriam despertar no resolvedor a vontade de procurar uma lei geral para todo e qualquer caso que se investigue.

Imagine que era desafiado, em contexto de recreação matemática, a encontrar semelhanças nos números existentes nas seguintes figuras rectangulares, compostas por quatro elementos cada: 

Eventualmente poderia constatar que se trata dos seis primeiros números naturais, distribuídos em conjuntos de quatro elementos, dispostos em progressão  aritmética, em que a linha de baixo dá continuidade à linha de cima.

Outra possível conclusão será a que analisa que o início de cada novo conjunto de quatro elementos é sempre um número sucessor do número que inicia o conjunto anterior, isto é, o que está colocado à sua esquerda.

Por outro lado também poderá concluir algo em termos da adição dos números existentes em cada linha, em cada coluna ou em diagonal. Vejamos:

(a) de uma linha para a outra, a soma dos dois dígitos aumenta 4 unidades [(3,7); (5, 9); (7,11)];

(b) de uma coluna para a outra, a soma dos dois dígitos aumenta 2 unidades, isto é, metade do que ocorria com as linhas [(4, 6); (6,8); (8,10)];

(c) a soma dos dois dígitos em cada diagonal é sempre a mesma [(5,5); (7,7); (9,9)];

(d) lendo os dois dígitos em cada linha, como sendo um número por eles formado, de uma linha para a outra há um aumento de 22 unidades [(12,34); (23,45); (34,56)];

(e) lendo os dois dígitos em cada coluna, como sendo um número por eles formado, de uma coluna para a outra há um aumento de 11 unidades, isto é, metade do que ocorria com as linhas [(13,24); (24,35); (35,46)].

Que outras conclusões poderia retirar a partir dos valores apresentados?

Ora, transportando em situação para o cenário de uma aula de Matemática, seria interessante explorar-se as conclusões agora indicadas. 

Além disto, seria muito interessante desafiar os alunos a investigarem, para cada um dos três conjuntos de quatro números, o que se passa se considerarmos cada par de dígitos, adjacentes na horizontal e na vertical, como sendo um único número. Quantos números se obtêm? Qual a soma dos seus valores? Haverá uma regularidade que contempla os três casos?

Observando-se a tabela, verifica-se que:

(a) os primeiros quatro números permitem as seguintes adições: 12 + 34 + 13 + 24 = 83;

(b) os segundos quatro números permitem as seguintes adições: 23 + 45 + 24 + 35 = 127;

(c) os terceiros quatro números permitem as seguintes adições: 34 + 56 + 35 + 46 = 171.

Analisando-se estas três somas, constata-se que há uma regularidade, pois a diferença entre duas consecutivas é sempre 44. Ora isto poderá levar-nos a conjecturar que o próximo conjunto de quatro dígitos implicará a soma 215, pois 171 + 44 = 215. Ao testarmos esta conjectura, confirmamos a sua veracidade:

De facto, 45 + 67 + 46 + 57 = 215.

Analisando-se racionalmente o que está matematicamente em causa, podemos tecer a seguinte explicação:

Logo: 10x + (x + 1) + 10 (x + 2) + (x + 3) + 10x + (x + 2) + 10 (x + 1) + (x + 3) = 44x + 39, que é a lei geral para esta interessante situação. Realmente, testando a lei para cada caso, isto é, substituindo o "x" pelo número que inicia uma sequência de quatro números consecutivos, verificamos:

(a) se x = 1, então 44 x 1 + 39 = 83;

(b) se x = 2, então 44 x 2 + 39 = 127;

(c) se x = 3, então 44 x 3 + 39 = 171.

Conhecendo-se esta lei poder-se-á desafiar os alunos a descobrir a soma para o caso de o primeiro de quatro números consecutivos ser o 10.

Aplicando-se a lei geral, obtém-se a soma 479, pois: 44 x 10 + 39 = 479.

Contudo, olhando para a tabela respectiva, como proceder de modo a obter-se este valor?

Provavelmente descobrirá que teremos que aplicar o conceito de "aí vai um", isto é, a ideia de transporte envolvendo as ordens do nosso sistema de numeração decimal. Sendo assim, a dezena do 11 ao passar para a ordem das dezenas, onde já existe o 10, fará com que a linha de cima esteja a representar o número 111. De igual modo, a dezena do 13 juntar-se-á às 12 dezenas da segunda fila, originando-se o número 133. Fazendo-se um raciocínio semelhante para cada coluna, obtém-se, respectivamente o valor 112 e 123. Logo, adicionando-se estes quatro valores, obtemos o tão esperado 479, pois: 111 + 133 + 112 + 123 = 479.

Esta interessante actividade permite, como sempre, múltiplas extensões. De aí que o convide a fazer um estudo semelhante para o caso de se usarem somente os 6 primeiros números ímpares ou os 6 primeiros números pares. Será que as regularidades se mantêm?

Um dos temas comuns em actividades de recreação matemática é a idade das pessoas. Em muitos casos os resolvedores são solicitados a identificar a idade de alguém, tendo que saber tirar partido dos dados ou das pistas fornecidas pelo enunciado. O exemplo que escolhi para abordar este tema é o seguinte:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem quatro vezes a idade da pessoa B?"

Por tentativas, este desafio de recreação matemática pode ser resolvido de forma afirmativa, pois, se a pessoa B tiver agora 10 anos e a pessoa A tiver 40, quando a pessoa B tiver 30 anos, a pessoa A terá 60. Ora, 40 = 4 x 10 e 60 = 2 x 30.

Outro caso de sucesso é, por exemplo, o seguinte: se a pessoa B tiver agora 12 anos e a pessoa A tiver 48, quando a pessoa B tiver 36 anos, a pessoa A terá 72. Uma vez mais, 48 = 4 x 12 e 72 = 2 x 36.

Se se transportar esta situação para contexto de sala de aula, será desejável que os alunos analisem algebricamente este tipo de relações matemáticas. Inicialmente, se a pessoa B tiver b anos, a pessoa A terá 4b anos. No final, se a pessoa B passar a ter b + 2b anos, isto é, 3b anos, a pessoa A terá 4b + 2b anos, isto é, 6b anos. Logo, terá o dobro da idade da pessoa B. Esta constatação pode ser obtida através da resolução de um simples sistema de duas equações lineares, a duas incógnitas, que me dispenso de apresentar aqui.

O quadro seguinte evidencia esta constatação algébrica, com a respectiva generalização: 

Face à relação algébrica evidenciada no quadro anterior, poder-se-ão desafiar os alunos a resolver a seguinte situação:

Se uma pessoa B tiver agora 9 anos, com que idade é que uma pessoa A, que tem agora o quadruplo da idade da pessoa B, poderá dizer que passou a ter o dobro da idade dessa pessoa B?

Esta situação permite, necessariamente, múltiplas extensões, como a que apresento a seguir:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem o triplo da idade da pessoa B?"

Faça a investigação respectiva e verá que vai ficar, porventura, surpreendido!