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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Descobrindo médias aritméticas

Novembro 25, 2008

Paulo Afonso

Como facilmente se pode calcular, a média dos nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) é 9, pois a sua soma (81) a dividir pelos nove elementos origina, de facto, esse valor 9.

Além disto, como se trata de uma progressão aritmética, o cálculo da média passa pela obtenção da semi-soma dos seus valores extremos (1 + 17) / 2.

Sabe-se também que, 1 + 17 = 18 e (1 + 17) / 2 = 9; 3 + 15 = 18 e (3 + 15) / 2 = 9; 5 + 13 = 18 e (5 + 13) / 2 = 9; 7 + 11 = 18 e (7 + 11) / 2 = 9.

Tendo em conta o raciocínio anterior, outra forma gráfica de se obter facilmente este valor médio passa pela  elaboração de um quadro como o seguinte:

1 3 5
7 9 11
13 15 17

Note que o valor central coincide com a média desses nove números. O mesmo é válido para quaisquer nove números ímpares consecutivos, como atesta, por exemplo, esta nova situação:

3 5 7
9 11 13
15 17 19

Tendo em conta algumas relações que se podem encontrar nos quadros anteriores, tente identificar um processo de cálculo imediato do valor médio de outros nove números ímpares consecutivos, em que o menor deles é o número 21 (faça o respectivo quadro apenas para confirmar a sua conjectura.

É do senso comum o conhecimento de que um qualquer número par também é sempre o valor médio dos respectivos números pares que o antecedem e sucedem. Sendo assim, é espectável que o estudo acabado de fazer para os números ímpares também possa ser feito para os números pares:

2 4 6
8 10 12
14 16 18

De facto, 10 é o valor médio daqueles nove números. Curiosamente verifica-se que este valor médio é também o valor médio dos dois valores médios apresentados nos dois quadros acima, envolvendo apenas números ímpares.

Tendo em conta esta relação acabada de identificar, encontre rapidamente os noves números pares consecutivos que têm como média o número 30  (faça o respectivo quadro apenas para confirmar a sua conjectura). 

Complete, também, o quadro seguinte de modo que qualquer valor colocado entre outros dois represente a sua média. No final  averigúe se o valor central é ou não coincidente com o valor médio dos nove números desse quadro:

5   17
        
25    

Explorando operações aritméticas codificadas

Novembro 18, 2008

Paulo Afonso

Resolver operações aritméticas cujos valores foram substituídos por símbolos ou por letras é uma tarefa que frequentemente está associada à Matemática Recreativa.

Tendo em conta as palavras de David Wells (1999)*, "Loyd foi o primeiro a inventar «criptaritmos», enigmas em que deve ser completada uma adição onde alguns algarismos estão apagados, mas Dudeney foi o primeiro a substituir os algarismos desaparecidos por letras, formando uma mensagem com sentido - deu-lhe o nome de Aritmética Verbal [...]" (p. 108).

 

* - Wells, D. (1999). Antologia de Puzzles. Lisboa: Replicação.

 

Veja o seguinte exemplo "SEND + MORE = MONEY", aliás muito conhecido nesta área, e a respectiva resolução: 

                      SEND

                  + MORE


                   MONEY

                      9567

                  + 1085


                   10652

Possível explicação: Como a soma tem mais um dígito do que qualquer uma das parcelas, implica que o M seja necessariamente o 1. Já o S poderia ser o 8 ou o 9. Contudo, se se experimentar o valor 8 para o S, conclui-se que isso não é possível, pelo que se escolhe para esta letra o valor 9. Para que o O seja diferente do M, o valor de O não pode ser 1, mas, sim, zero. Descoberto que estiver o valor 5 para o E, os restantes valores serão fáceis de descobrir. 

Cada número seguinte é o resultado da adição dos valores envolvidos em linha ou em coluna. Descubra, agora, o valor de cada símbolo: 

J

#

O

$

10

J

J

J

#

5

O

O

J

J

8

O

O

O

$

13

$

$

$

$

16

$

$

#

#

12

16

17

14

17

 

O início da análise da tabela anterior pode ocorrer em vários sítios. Desde logo, a linha dos quatro óculos permite concluir, de imediato, que o valor de cada par de óculos é 4. Por outro lado, a segunda linha permite concluir que cada sorriso vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, conhecendo-se os valores destes três símbolos, é fácil concluir que cada bandeira vale 3. 

Descubra, agora, o valor de cada um desses quatro símbolos se: 

 J  +  $ =  O#  $      J   $    # =  O

Note que a operação multiplicação é determinante nesta actividade, pois permite experimentar todos os casos de um factor a multiplicar por si próprio, não perfazendo uma dezena. Temos os seguintes casos: 2 x 2 = 4 e 3 x 3 = 9. Contudo, só adicionando 9 a 3 é que ultrapassa a dezena, que é o exigido na adição existente na primeira coluna da tabela. Sendo assim, os óculos valem 3, o sorriso vale 9, a bandeira vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, a operação subtracção aí existente permite confirmar que 3 - 2 = 1. 

Altere, agora, a posição de cada número em cada uma das quatro operações seguintes para que as mesmas passem a estar correctas:

ADIÇÃO

SUBTRACÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO

                  58            

                +  8


                  50

          56

         -  2


         76

            46

          x  5


            10

    41 : 64 = 6    

Uma possível estratégia de resolução passa por se fazer o estudo exaustivo das posições dos números. Faço-o apenas para o caso da adição, mas as restantes operações podem ser objecto de estudos semelhantes:

88 + 5 = 93

88 + 0 = 88

85 + 8 = 93

85 + 5 = 90

85 + 0 = 85

58 + 8 = 66

58 + 5 = 63

58 + 0 = 58

55 + 8 = 63

55 + 0 = 55

50 + 8 = 58

50 + 5 = 55

A tabela anterior permite concluir que existem três casos possíveis de a adição poder ser resolvida correctamente. Contudo, não parece razoável que uma das parcelas seja o zero, pelo que a resposta correcta é 50 + 8 = 58.

Termino com mais uma situação de Aritmética Verbal envolvendo, desta vez, as palavras AMOR e ROMA, em que a primeira é operada por um factor I (inverso), originando a segunda:

A  M  O  R

      x       I


R  O  M  A

Encontre, pois, o valor numérico de cada letra e explique o raciocínio empregue!

Explorando números ímpares

Novembro 12, 2008

Paulo Afonso

As seguintes figuras geométricas são formadas por vários triângulos. O número de triângulos existentes em cada fila é sempre ímpar:  

Continuando o padrão geométrico anterior, quantos triângulos formarão a décima figura?

Como actividade de recreação matemática, os resolvedores poderão resolvê-la através do desenvolvimento do  seguinte padrão numérico:

Figuras

Nº de triângulos envolvidos na sua construção

                                                   1

                                                   4 = 1 + 3

                                                   9 = 4 + 5

                                                 16 = 9 + 7

                                                 25 = 16 + 9

                                                 36 = 25 + 11

                                                 49 = 36 + 13

                                                 64 = 49 + 15

                                                 81 = 64 + 17

10ª

                                               100 = 81 + 19

Contudo, em contexto de sala de aula, os alunos terão que ser levados a concluir que o número de triângulos existentes em cada figura triangular coincide com o respectivo número da sequência de números quadrados, cuja lei de formação é n2, sendo n um número natural.

Sendo assim, para se encontrar de imediato o número de triângulos envolvidos numa destas figuras quaisquer, basta elevar ao quadrado o número de ordem dessa figura.

Centrando a nossa atenção nos números quadrados, podemos concluir, pois, que todos eles resultam da adição de números ímpares consecutivos:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

...

Por sua vez, cada um desses valores pode ser obtido através das mesmas parcelas, mas agrupadas de forma diferente da anterior:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + ( 1 + 5)

16 = (1 + 5) + ( 3 + 7)

25 = (3 + 7) + ( 1 + 5 + 9)

36 = (1 + 5 + 9) + ( 3 + 7 + 11)

49 = (3 + 7 + 11) + (1 + 5 + 9 + 13)

...

Se a nossa atenção passar a incidir sobre os valores das somas parcelares que originam os números quadrados, verificaremos que os valores envolvidos são os seguintes:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + 6

16 = 6 + 10

25 = 10 + 15

36 = 15 + 21

49 = 21 + 28

...

Ora, como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, os valores 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... fazem parte da fantástica sequência de números triangulares, pois originam as seguintes figuras:

Destas observações conclui-se, pois, que qualquer número quadrado também resulta da adição de números triangulares consecutivos, cuja lei geral é (n2 + n) : 2.

Voltando aos números ímpares, os mesmos podem sem escritos da seguinte forma:

1

3 + 5

7 + 9 + 11

13 + 15 + 17 + 19

21 + 23 + 25 + 27 + 29

...

Nestas circunstâncias, a soma em cada linha também origina um regularidade ou padrão muito interessante:

1

8

27

64

125

...

Trata-se da sequência dos números cúbicos, de lei geral n3, pois:

1 = 13

8 = 23

27 = 33

64 = 43

125 = 53

...

Perante este padrão como poderia resolver a seguinte situação problemática: "Quais os números ímpares consecutivos cuja soma origina o décimo número cúbico?"

Sugestão: associe a ordem de cada número cúbico ao número de parcelas de números ímpares que irá usar, bem como à forma como vários números ímpares consecutivos se relacionam entre si.

 

Triângulo de Pascal - múltiplas conexões matemáticas

Novembro 05, 2008

Paulo Afonso

O triângulo de Pascal permite o estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas, pois interliga-se com vários conceitos desta disciplina. 

No âmbito da recreação matemática, poder-se-ia desafiar os sujeitos a encontrarem regularidades ou particularidades interessantes no seguinte triângulo numérico, designado por triângulo de Pascal:

 

Não pretendendo esgotar o tema, neste artigo vou debruçar-me sobre algumas respostas possíveis para o desafio acima colocado.

Assim, uma primeira observação que se pode fazer é que este triângulo contempla, por duas vezes, a sequência dos números naturais:

 

Por outro lado, também contempla, por duas vezes, a sequência dos números triangulares, isto é, os que podem originar figuras triangulares, como tive oportunidade de abordar nos dois artigos anteriores:

 

Além disto, o triângulo de Pascal também contempla a sequência dos números tetraédricos:

 

Por seu turno, usando o modelo stick de hóquei permite encontrar-se rapidamente uma soma de várias parcelas de números sucessivos de uma mesma linha obliqua do triângulo:

O tema das probabilidades também poderá ser associado a este triângulo. Para tal, tente resolver a seguinte situação problemática: "Ao lançar ao ar uma moeda honesta três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras?"

A tabela seguinte permite sistematizar uma possível resolução, contemplando o caso de não saírem caras, sair apenas uma cara, duas caras ou saírem três caras:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras
ccc

Ccc

cCc

ccC

CCc

CcC

cCC

CCC
1 3 3 1

Em termos de resolução da situação proposta, dos 8 casos possíveis, apenas 3 são favoráveis a saírem duas caras, pelo que a probabilidade de isso  ocorrer é de apenas  0,375.

Note-se que os oito casos possíveis coincidem com os valores existentes na quarta linha do triângulo de Pascal:

Face a esta observação será interessante testar a conjectura de que os valores da linha seguinte do triângulo de Pascal possam representar os casos possíveis de saírem zero caras, uma cara, duas caras, três caras ou quatro caras ao lançar-se uma moeda honesta ao ar quatro vezes.

A tabela e o triângulo seguintes confirmam esta conjectura:

Zero caras Uma cara Duas caras Três caras Quatro caras
cccc

Cccc

cCcc

ccCc

cccC

CCcc

cCCc

ccCC

CcCc

cCcC

CccC

CCCc

CCcC

CcCC

cCCC

CCCC
1 4 6 4 1

O cálculo combinatório pode, igualmente, ser associado a este triângulo aritmético.

Tentemos resolver a seguinte situação: "O João tem um autocolante de cada um dos seguintes clubes de futebol: Sporting (S), Benfica (B), Porto (P) e Académica (A). Quais as possibilidades de os colar, de forma ordenada, no seu cacifo da escola, optando apenas por três deles?"

Esta situação pode ser resolvida através de uma tabela como a seguinte:

ABS ASB SAB SBA BAS BSA
ABP APB PAB PBA BAP BPA
BSP BPS PBS PSB SBP SPB
ASP APS PAS PSA SAP

SPA

A primeira coluna da tabela anterior evidencia que há 4 combinações possíveis, que resultam em 24 arranjos: A (4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 24. Note que as 4 combinações de quatro equipas, três a três C (4, 3) = 4! / 3! x (4 - 3)! = 4 podem ser obtidas directamente no triângulo de Pascal, pois cada valor pode ser associado a um determinado tipo de combinação:

Averigúe se é possível associar algum elemento da próxima linha do triângulo de Pascal à seguinte situação problemática: "Sabendo que existem 5 pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?" 

Outro importante exemplo a explorar com este triângulo é a sequência dos números de Fibonacci: 

 

Estando certo de que não esgotei o tema, desafio-o a encontrar outras regularidades ou curiosidades matemáticas afectas a este triângulo.

A título de exemplo poderá explorar as potências de base 2, as potências de base 11, a binomial ou até as capicuas.

Desafio-o, também, a prolongar este triângulo por mais dez linhas, numa folha de cartolina, e estudar os padrões geométricos que resultam ao pintarem-se apenas os múltiplos de 2, ou os múltiplos de 3 ou os de 5.

Se ainda não conhecia este mágico objecto matemático, de nome triângulo de Pascal, ficará, certamente, deliciado com estas variadas e interessantes conexões matemáticas que ele permite estabelecer!

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