Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.

O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:

1 - Introdução

2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton

3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação

4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras

5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas

6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos

7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos

8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados

9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares

10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos

11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos

12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos

13 - Conexões finais

14 - Bibliografia 

Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

B: - Sabendo que existem cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

Qual a resolução de cada um?

O desafio de se detectarem moedas falsas, de entre um conjunto de moedas, e sem a possibilidade de se utilizarem quaisquer massas para as pesar, costuma ser muito utilizado como actividade de recreação matemática.

Neste sentido, e imaginando o uso de uma balança de dois pratos, poderemos pensar numa estratégia para se descobrir a moeda falsa existente num conjunto de cinco moedas, em que apenas ela é mais pesada que as demais. O desafio é tentar fazer essa descoberta num número mínimo de pesagens.

A estratégia a usar pode ser a seguinte: associemos às moedas as seguintes letras: A, B, C, D e E. Numa primeira pesagem poderemos colocar num dos pratos da balança as moedas A e B, colocando no outro as moedas C e D, ficando a moeda E de fora da balança. Nesta pesagem pode acontecer uma de duas coisas: (a) a balança fica equilibrada e a moeda falsa é a E ou (b) a balança desequilibra onde o peso for maior. Imagine-se, por exemplo, que a balança tinha desequilibrado no sentido do prato que continha as moedas C e D. Isto implica que uma delas será a moeda falsa. Para se descobrir qual é essa moeda, basta pesar, agora, C e D, colocando uma em cada prato da balança. Como esta desequilibraria no prato onde se encontrava a moeda mais pesada, então a moeda falsa ficaria descoberta. Conclui-se pois, que com o máximo de duas pesagens, a moeda falsa seria identificada.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos investigassem quais as quantidades de moedas que também possibilitam a identificação da moeda falsa envolvendo um máximo de duas pesagens.

Seria desejável que os alunos referissem os valores 4, 5, 6, 7, 8 e 9 moedas.

Analisemos cada caso, com a excepção das 5 moedas já analisadas:

4 moedas: - colocam-se duas moedas em cada prato da balança (1ª pesagem). Esta vai desequilibrar para o prato em que o peso for maior. Logo, através de uma 2ª pesagem ficará identificada a moeda falsa, pois basta pesar as duas moedas que provocaram o desequilíbrio da balança, colocando uma em cada prato.

6 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato (1ª pesagem). A balança irá desequilibrar no sentido do prato que tiver o maior peso. Então, com uma 2ª pesagem a moeda falsa será identificada, pois basta colocar uma moeda em cada prato e deixar a terceira moeda de fora. Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que não foi à balança; se a balança desequilibrar será no sentido do prato que contém a moeda falsa.

7 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato, ficando um sétima moeda de fora (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que ficou de fora; se a balança desequilibrar faz-se uma nova pesagem igual à 2ª pesagem do caso das 6 moedas.

8 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato, ficando as outras duas moedas de fora (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será uma das que ficou de fora, pelo que uma 2ª pesagem identificá-la-á. Se a balança tiver desequilibrado na 1ª pesagem, uma das três moedas do prato que revelou ter maior peso será a falsa. Uma vez mais, coloca-se uma moeda em cada prato e a terceira fica de fora. Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que não foi pesada; se a balança desequilibrar ficará identificada a moeda falsa.

9 moedas: - para este caso, o processo é muito semelhante aos anteriores. Apenas varia o número de moedas que não é envolvido na 1ª pesagem, pois três moedas ficarão em cada prato e as restantes três moedas não serão pesadas ainda.

Quantas pesagens serão necessárias para o caso de serem 10 moedas?

Uma 1ª pesagem envolveria quatro moedas em cada prato, ficando as restantes duas moedas de fora. Se a balança equilibrasse, a moeda falsa seria uma das duas que não foram pesadas, pelo que uma 2ª pesagem identificá-la-ia; se a balança desequilibrasse, a moeda falsa estaria no prato que continha as 4 moedas que provocaram o desequilíbrio. Assim, numa 2ª pesagem colocar-se-iam duas destas moedas num prato e as outras duas no outro. A balança iria desequilibrar e as duas moedas do prato de maior peso entrariam numa 3ª pesagem, identificando-se a falsa. Para este caso usar-se-iam, pois, três pesagens.

Quais as quantidades de moedas que também obrigam a que se façam, no máximo, três pesagens para se identificar a moeda falsa?

Este novo desafio tem como resposta todas as quantidades de moedas compreendidas entre 10 e 27.

A título de exemplo vamos analisar os casos das 27 e das 28 moedas:

27 moedas: - colocam-se nove moedas em cada prato e as restantes nove moedas ficam de fora (1ª pesagem). Quer a balança equilibre ou não, ter-se-á que realizar uma 2ª pesagem envolvendo, respectivamente, as nove moedas que não foram pesadas agora ou as nove que provocaram o equilíbrio. Assim, cada prato da balança teria três moedas, ficando também três moedas por pesar. Uma vez mais, só com uma 3ª pesagem se iria descobrir a moeda falsa, pois colocava-se uma moeda em cada prato e ficava uma de fora, moedas estas afectas ao grupo que provocou um novo desequilíbrio da balança ou afectas ao grupo que não foi pesado, tendo a balança permanecido em equilíbrio.

28 moedas: - colocam-se treze moedas em cada prato da balança e ficam apenas duas moedas por pesar (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será uma das que não se pesou agora, pelo que uma 2ª pesagem ajuda a identificá-la; se a balança equilibrou, então há que se dividir as treze moedas em dois grupos de seis para serem novamente pesadas, deixando apenas uma de fora. Se houver equilíbrio, a moeda falsa é a que não foi pesada; se houver desequilíbrio, as seis moedas que o provocaram irão formar três grupos de duas moedas cada. Um destes fica de fora e os outros vão ser novamente pesados (3ª pesagem). Com esta pesagem fica-se a saber o grupo onde está a moeda falsa, pelo que uma última pesagem ajudará a identificá-la.

Estes valores deveriam suscitar em nós a interrogação de quais serão as quantidades de moedas que necessitam a realização de quatro pesagens para se conhecer a moeda falsa.

Contudo, olhando-se com "olhos de ver" para os valores já investigados, pode-se concluir que:

- com uma pesagem podem-se pesar até 3 moedas;

- com duas pesagens podem-se pesar até 9 moedas;

- com três pesagen podem-se pesar até 27 moedas.

Será legítimo conjecturar que com quatro pesagens poder-se-ão pesar até 81 moedas? Porquê? Que conceito matemático suporta esta regularidade ou padrão numérico?

A Matemática Recreativa pode recorrer a múltiplos aspectos do quotidiano das pessoas para a criação de actividades. Desde logo, as idades dos sujeitos, os mostradores de relógios, os calendários, a actividade de se fazerem compras, são apenas alguns exemplos, dos muitos que podem ser utilizados para esse fim. O exemplo que escolhi para ilustrar o tema deste artigo aborda os números colocados nas portas das casas das pessoas.

Imagine uma pequena rua, de uma determinada aldeia, cujo nome pode ser a rua da figueira, formada apenas por oito casas, cujos números das portas vão desde o número 1 ao número 8. Sabe-se que em cada casa existe uma criança, de idades compreendidas entre os nove e os treze anos, cujos nomes estão na figura seguinte:

Note-se a curiosidade de as raparigas morarem num dos lados da rua e os rapazes morarem no outro. Entretanto o Henrique, o mais velho das oito crianças fez o seguinte comentário: - Já repararam que quando eu adiciono o número da minha porta aos números de outras três casas, o resultado dá exactamente igual à soma dos números das outras quatro portas? O fascinante é que isso ocorre em quatro possibilidades diferentes. Quais são?

Como situação de recreação matemática, permite as seguintes soluções:

Esta situação, quando transportada para a sala de aula, deveria ser objecto da seguinte análise:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 e (a) 1 + 8 = 9; (b) 2 + 7 = 9; (c) 3 + 6 = 9; (d) 4 + 5 = 9, pelo que permite as seguintes associações:

 Além disto, decompondo o número 18 em quatro parcelas diferentes, em que uma é o 8, origina os seguintes quatro casos:

(a) 8 + 7 + 2 + 1; (b) 8 + 6 + 3 + 1; (c) 8 + 5 + 4 + 1; (d) 8 + 5 + 3 + 2, pelo que se confirmam as quatro soluções já anteriormente expostas:

Como extensão desta tarefa, poder-se-ia imaginar a intervenção da Ana dizendo que quando adicionava o número da sua casa ao de três outras, o resultado obtido era metade da soma dos números das outras quatro casas. A que casas se referia?

Este desafio implica que o valor total (36) seja dividido em três parte iguais (12). Juntando duas delas obtêm-se dois valores em que um é o dobro do outro (24 e 12, respectivamente). Ora, isto acontece nos seguintes dois casos:

Faça o estudo para o caso de um grupo de quatro casas originar uma soma que seja quatro quintos da soma do outro grupo de quatro casas. Quantas soluções consegue obter?

Um dos jogos que mais se apropria a múltiplas explorações de recreação matemática é o famoso dominó. De entre essas explorações vou destacar apenas duas: (a) as molduras numéricas e (b) os quadrados mágicos.

A título de exemplo, com as seguintes quatro peças do dominó:

consegue-se fazer a seguinte moldura numérica:

Repare-se que a soma em cada lado da moldura é sempre 3.

O que acontecerá se as quatro peças utilizadas forem as seguintes?

Provavelmente a sua conjectura apontará para uma nova moldura numérica de soma 6, pois o número de pintas de cada monominó, isto é, de cada parte de cada peça do dominó aumentou uma unidade. Como cada lado do quadrado é formado por um triminó, estima-se que a respectiva soma de pintas seja 6.

Testando esta conjectura, verifica-se a sua veracidade:

O mesmo será válido se dermos continuidade a este padrão, isto é, voltando a aumentar o número de pintas em cada monominó em uma unidade. As peças a utilizar seriam as seguintes:

A respectiva moldura numérica passaria a ter soma 9 em cada um dos seus lados:

Tendo em conta as quatro peças iniciais, que moldura numérica resultará se se multiplicar o número de pintas de cada monominó por dois?

O interessante deste material é que permite a obtenção de mais do que uma resposta para algumas tarefas a serem colocadas, como por exemplo a obtenção de uma nova moldura numérica de soma 6 envolvendo outro conjunto de quatro peças.

Uma possível solução passaria pelas peças seguintes:

Eis a respectiva moldura numérica:

Apresente mais duas molduras numéricas cuja soma seja 9.

Ao nível dos quadrados mágicos, o exemplo seguinte evidencia um possível quadrado mágico de soma 15:

Com as peças seguintes tente obter um quadrado mágico de soma 21:

Como actividade de Matemática Recreativa é comum contactarmos com a situação de se pretender obter uma determinada quantidade de um qualquer líquido usando-se apenas três recipientes com capacidades diferentes da quantidade de líquido requerida.

Veja-se o seguinte exemplo em que, tendo à nossa disposição apenas rês recipientes com a capacidade de 8 litros, 5 litros e 1 litro, pretende-se obter a quantidade exacta de 4 litros de um determinado líquido. Sabe-se que apenas o recipiente com maior capacidade contém esse líquido e está cheio. Como deveremos proceder?

A resolução desta tarefa pode assumir, à priori, dois caminhos. Desde logo, podemos começar por encher o menor recipiente ou optar, antes, por encher o recipiente médio.

Exploremos o 1º caso. A tabela seguinte permite evidenciar a quantidade de líquido em cada um dos recipientes, tendo em conta cada passagem de líquido entre dois recipientes:

Conclui-se, pois, que ao fim de quatro passos se obtém a quantidade de líquido solicitada.

Vejamos, também, o caso de se iniciar a resolução pelo enchimento do recipiente de capacidade média:

Conclui-se que se trata de uma estratégia mais vantajosa do que a anterior, pois permite a obtenção da resposta desejada em metade dos passos dados antes. De facto, ao fim de dois passos obtém-se a quantidade de líquido desejada.

Imaginemos, agora, o que aconteceria se em vez de termos os recipientes anteriores tivéssemos três novos recipientes com as capacidades de 10 litros, 7 litros e 1 litro e desejássemos obter a quantidade exacta de 5 litros do líquido que apenas existe no maior recipiente. Sabe-se que este recipiente está cheio.

Seguindo-se, agora, a estratégia que anteriormente envolveu o menor número de passos:

Concluímos que a estratégia funcionou. Contudo, em vez de se resolver através de dois passos foram necessários quatro passos.

Em termos de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem conjecturar que se resolveria uma situação semelhante a esta através de seis passos se as capacidades dos recipientes envolvidas fossem 12 litros, 9 litros e 1 litro e se pretendesse obter exactamente 6 litros de um determinado líquido.

A tabela seguinte ajuda a confirmar esta conjectura:

Tendo em conta algumas regularidades existentes nas capacidades dos recipientes envolvidos na resolução das tarefas anteriores, indique quais seriam as medidas dos três recipientes envolvidos na medição exacta de 11 litros de um determinado líquido e justifique, também, qual o número mínimo de passos usados na sua obtenção.