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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Explorando hexágonos regulares

Janeiro 26, 2009

Paulo Afonso

À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: www.maismat.blogspot.com. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:

Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?

Por tentativas a resposta poderá ser a seguinte:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem associar este desafio ao conceito de média aritmética, que neste caso é o valor 4, pois o total (28) a dividir pelo número de elementos da sequência numérica (7) origina esse valor.

Contudo, caso os alunos ainda não estejam na posse desse conceito, podem ser levados a concluir que a sequência numérica é susceptível de ter a seguinte interpretação:

- O valor central é o 4.

- 1 + 7 = 8.

- 2 + 6 = 8.

- 3 + 5 = 8.

Logo, a soma da linha vertical e de cada linha oblíqua, de três parcelas, seria sempre 12, pois 4 + 8 = 12.

Tendo em conta o raciocínio anterior, os alunos também poderiam ser desafiados a realizar tarefas semelhantes para os dois casos seguintes: (a) sequência numérica composta pelos sete primeiros números ímpares e (b) sequência numérica composta pelos sete primeiros números pares.

Eis as possíveis soluções:

NÚMEROS ÍMPARES NÚMEROS PARES
SOMA MÁGICA --- 21 SOMA MÁGICA --- 24

De facto, uma possível explicação passa pelos esquemas seguintes: 

Pense, agora, em como distribuir os sete primeiros números naturais de modo a que a soma dos três valores centrais, indicados pela seta, seja a terça parte da soma dos quatro valores envolvidos nas linhas oblíquas acima e abaixo dessa linha central:

Fazendo-se o estudo, equivale a encontrar-se uma soma para a linha central que é a terça parte da soma envolvendo os restantes quatro números dos quatro restantes hexágonos. Por outras palavras, a soma desses quatro valores tem de ser um valor que é triplo do valor da soma da linha central. Por outro lado sabemos que o total dos sete números implica uma soma de 28. Logo, basta resolver-se a seguinte igualdade: 3x + x = 28 para se saber o valor da soma da linha central, que é 7. Consequentemente, a soma dos outros quatro valores terá de ser 3 x 7 = 21. 

Ora, o valor 7 só pode ser obtido através das seguintes parcelas: 1, 2 e 4, pois 1 + 2 + 4 = 7.

Já o valor 21 pode ser decomposto em 10 + 11, que é, respectivamente, (7 + 3) e (6 + 5). Por outro lado também pode ser decomposto em 9 + 12, que é, respectivamente, (6 + 3) e (7 + 5). Logo, os dois casos de resolução correcta são os seguintes:

Um estudo semelhante a este pode ser feito para o seguinte desafio: As duas figuras seguintes são uma mesma e usando apenas os sete primeiros números naturais procure distribuí-los nos sete hexágonos de modo a que a soma das duas linhas centrais seja sempre a mesma e igual à soma dos valores dos restantes quatro hexágonos:

Eis duas possíveis resoluções: 

Haverá mais alguma solução? Encontre-a, justificando o seu raciocínio.

A terminar esta reflexão distribua os dezanove primeiros números naturais nos seguintes dezanove hexágonos, de modo a que a soma de quaisquer hexágonos adjacentes (3, 4 ou 5), perfazendo uma linha completa, seja sempre 38. Repare que alguns desses números já se encontram na posição correcta:

Optimizar a gestão do tempo através do auxílio da Matemática

Janeiro 19, 2009

Paulo Afonso

Nas mais variadas situações da vida quotidiana podemos ser confrontados com determinados desafios em que o recurso aos nossos conhecimentos matemáticos pode ser uma mais-valia para a sua resolução. O caso que escolhi para ilustrar esta ideia é bastante conhecido no seio da recreação matemática e poder-nos-á levar a reflectir acerca da expressão "nem sempre o que parece é"!

Imagine-se diante de um pequeno grelhador eléctrico com a capacidade para grelhar dois belos bifes em simultâneo. Sabendo que o grelhador demora cerca de cinco minutos a grelhar metade de um bife, qual o tempo mínimo necessário para grelhar três bifes? (Nota: parte-se do princípio que o tamanho dos bifes é mais ou menos igual e que basta a presença de dois deles em simultâneo para esgotar a capacidade do grelhador).

Um "olhar menos atento" perante este desafio levar-nos-ia a sugerir o tempo de 20 minutos para os três bifes estarem grelhados, pois os primeiros 5 minutos seriam gastos a grelhar metade de dois bifes, os 5 minutos seguintes seriam gastos a grelhar a outra metade destes dois bifes e, ficando um terceiro bife para grelhar, este implicaria o gasto de mais 10 minutos, pois cada lado demoraria 5. Feitas as contas: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 minutos.

Ora, se reflectirmos um pouco mais no desafio colocado, podemos poupar cerca de 5 minutos; senão vejamos: admitindo que podemos rotular teórica e respectivamente os lados de cada bife (A, B e C) por A1, A2, B1, B2, C1 e C2 e admitindo, também, que não há problema no facto de os bifes poderem sair e voltar a entrar no grelhador:

- 1º passo: A1 + B1 - gastos 5 minutos:

- 2º passo: A2 + C1 - gastos 5 minutos;

- 3º passo: B2 + C2 - gastos 5 minutos.

Com este procedimento gastar-se-iam, pois, só 15 minutos, havendo uma economia de 5 minutos relativamente a primeira resolução apresentada.

Repare-se que se a estratégia escolhida for a primeira, o tempo gasto para grelhar 5 bifes (A, B, C, D e E) será de meia hora. Se a escolha incidir nesta última estratégia optimizada, voltar-se-ão a poupar 5 minutos, pois:

- 1º passo: A1 + B1 - gastos 5 minutos;

- 2º passo: A2 + B2 - gastos 5 minutos;

- 3º passo: C1 + D1 - gastos 5 minutos;

- 4º passo: C2 + E1 - gastos 5 minutos;

- 5º passo: D2 + E2 - gastos 5 minutos.

O total de tempo gasto foi de apenas 25 minutos.

Ora, este desafio parece ser um pouco irreal, mas posso confessar que um amigo meu, que trabalhou numa pastelaria, recorreu a esta estratégia quando a sua máquina de fazer torradas ficou avariada numa das suas resistências. Tenho de acrescentar que, tal como o grelhador que é objecto destas palavras, também a sua torradeira admitia um máximo de duas torradas de cada vez. De facto, nas horas de maior afluência de pedidos, o que lhe valeu foi saber tirar partido dos seus vastos conhecimentos matemáticos, designadamente estes que são objecto desta minha reflexão.

Percebida esta estratégia, e voltando ao tema dos bifes, quantos serão grelhados se se gastar um tempo mínimo de  45 minutos, usando este tipo de grelhador (uma vez mais, tem de admitir-se que dois bifes esgotam a sua capacidade de grelhar).

Haverá alguma relação entre o número de bifes a grelhar e o tempo gasto no total?

Imagine um grelhador maior e mais potente, que tem a capacidade máxima de grelhar 11 bifes em simultâneo, com um gasto de 3 minutos em cada metade de um bife. Quanto tempo demorará, no mínimo, este grelhador a grelhar 56 bifes? 

Regularidades envolvendo números quadrados

Janeiro 12, 2009

Paulo Afonso

Como tenho vindo a referir em artigos anteriores, as regularidades, sequências ou padrões numéricos são um tema muito apreciado no âmbito da recreação matemática.

O exemplo que escolhi para reflexão, a propósito deste tema, é adaptado, e expandido, a partir de uma tarefa proposta por Carlo Fabretti, no livro intitulado "El libro del genio matemático", publicado pelas Ediciones Martínez Roca (Barcelona) em 1999.

Imagine-se solicitado(a) a interpretar o padrão numérico que a seguir apresento. Como prova da sua compreensão dê-lhe continuidade: 

11 - 2 = 9

1111 - 22 = 1089

111111 - 222 = 110889

11111111 - 2222 = 11108889

...

Num contexto de recreação matemática a resposta correcta  (111111111 - 22222 = 1111088889) para esta tarefa poderia surgir com maior ou menor fundamentação teórica.

Parece-me que uma aproximação interessante, e que não exigia grandes conhecimentos matemáticos, passaria pela análise da disposição dos três conjuntos de algarismos envolvidos em cada igualdade. Assim, (a) percebe-se que o aditivo é sempre formado por um número par de uns; (b) o subtractivo, formado exclusivamente por números dois, vai aumentando uma unidade em cada nova igualdade que surge; (c) o resto, excesso ou diferença, com a excepção do primeiro caso, apresenta sempre o valor zero como ponto médio entre o conjunto de uns e o conjunto de oitos, ambos com o mesmo número de elementos, seguidos sempre do número nove.

A tabela seguinte pode evidenciar as regularidades envolvidas: 

ADITIVO SUBTRACTIVO RESTO, EXCESSO OU DIFERENÇA
Nº de uns Nº de dois Nº de uns Nº de zeros Nº de oitos Nº de noves
2 11 1 2 0   0   0   1 9
4 1111 2 22 1 1 1 0 1 8 1 9
6 111111 3 222 2 11 1 0 2 88 1 9
8 11111111 4 2222 3 111 1 0 3 888 1 9
10 1111111111 5 22222 4 1111 1 0 4 8888 1 9

A última linha da tabela anterior evidencia, pois, a continuidade do padrão aí descrito: 1111111111 - 22222 = 1111088889.

Remetendo esta situação para o contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos pudessem constatar que o número de dois de cada subtractivo é sempre metade do número de uns do respectivo aditivo, pelo que este valor tem sempre um número par de elementos.

Além disto, também seria interessante concluir que o resultado de cada subtracção representa sempre um número que é múltiplo de nove.

Contudo, porventura o mais interessante seria concluírem que cada um desses resultados se trata de um número quadrado, pois: 9 = 32, 1089 = 332, 110889 = 3332, 11108889 = 33332.

De facto, pegando-se no exemplo 111 - 22, podemos estabelecer o seguinte desenvolvimento numérico:

1111 - 22 =

= 1111 - 2 x 11 =

= 1111 - 11 - 11 =

= 1100 - 11 =

= 11 x (100 - 1) =

= 11 x 99 =

= 11 x 9 x 11 =

= 11 x 11 x 9 =

= 112 x 9 =

= 112 x 32 =

= (11 x 3)2 =

= 332 = (número quadrado)

= 1089

Percebida esta demonstração, facilmente se percebe o caso seguinte:

111111 - 222 =

= 111111 - 2 x 111 =

= 111111 - 111 - 111 =

= 111000 - 111 =

= 111 x (1000 - 1) =

= 111 x 999 =

= 111 x 9 x 111 =

= 1112 x 32 =

= (111 x 3)2 =

= 3332 (número quadrado)

= 110889

Como extensão deste desafio os alunos poderiam ser desafiados a comparar os resultados obtidos agora com estes novos que apresento a seguir:

18

2178

221778

22217778

...

Admitindo que descobriam facilmente que este novo padrão numérico representava o dobro de cada resultado da tarefa acabada de analisar, investigue quais seriam, para cada caso, os respectivos aditivos e subtractivos?

Voltando ao número 120 - um caso de divisibilidade

Janeiro 05, 2009

Paulo Afonso

Num dos artigos anteriores tive oportunidade de fazer uma reflexão acerca de algumas conexões matemáticas envolvendo o número 120. Na altura associei-o a questões do quotidiano, aos números triangulares, aos números de Fibonacci, à conjectura de Goldbach, aos quadrados mágicos, às potências de base dois e às potências de base três. Desta vez vou associar o número 120 às operações aritméticas, aos divisores de um número, bem como às regularidades algébricas.

Inicio esta nova reflexão a partir de uma actividade proposta por Pierrre Berloquim (1991), no fantástico livro intitulado "100 Jogos Numéricos", publicado em Portugal pela Editora Gradiva.

O enunciado original remetia para o valor 100, mas vou adaptá-lo para o número 120.

Assim, tente encontrar dois números inteiros de modo a obter-se o valor 120 pela adição da sua soma com a sua diferença e com o seu produto.

Ora, por via da experimentação ou da tentativa e erro, uma possível solução seria a que envolve os valores 30 e 2, pois a sua soma é 32, a sua diferença é 28 e o seu produto é 60; logo, 32 + 28 + 60 = 120.

Transportando este desafio para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos tentassem investigar se ainda seria possível obter-se outras soluções.

O desejável era estruturar a resolução em termos algébricos, pois poder-se-ia pensar em dois números inteiros "x" e "y", sendo "x > y". O enunciado da tarefa permite a seguinte escrita matemática: x + y + (x - y) + xy = 120. Resolvendo esta equação, resulta que x = 120 / (2 + y). Ora, este resultado implica que se tenha que pensar num valor inteiro para o "y" de modo que ao adicionar-se ao valor 2, o resultado divida exactamente o valor 120. Assim, obter-se-á um valor inteiro para o "x".

Tendo em conta esta análise, seria interessante que os alunos encontrassem todos os divisores do 120, podendo fazê-lo pelo processo de decomposição em factores primos (factorização): 120 = 23 x 3 x 5. O conjunto dos divisores de 120 seria formado pelos seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Voltando novamente à fórmula: x = 120 / (2 + y), obter-se-ão sete respostas:

y

x

x + y

x - y

xy

x + y + (x - y) + xy

0

60

60

60

0

60 + 60 + 0 = 120

1

40

41

39

40

41 + 39 + 40 = 120

2

30

32

28

60

32 + 28 + 60 = 120

3

24

27

21

72

27 + 21 + 72 = 120

4

20

24

16

80

24 + 16 + 80 = 120

6

15

21

9

90

21 + 9 + 90 = 120

8

12

20

4

96

20 + 4 + 96 = 120

Logo, as sete respostas possíveis envolvem os seguintes pares ordenados (60, 0); (40, 1); (30, 2); (24, 3); (20, 4); (15, 6) e (12, 8).

Note-se que ao adicionar-se o valor de "y" ao valor 2, obtém-se um divisor de 120, que ao multiplicar pelo respectivo valor de "x", outro divisor de 120, obtém exactamente o produto 120, isto é: (2, 60); (3, 40); (4, 30); (5, 24); (6, 20); (8, 15); (10, 12).

Pensemos agora no seguinte enunciado: tente encontrar dois números inteiros de modo a obter-se o valor 120 pela adição da soma do dobro do maior dos dois valores com o outro e com a diferença do dobro do maior com o outro e com o produto do dobro do maior com o outro.

Neste caso estamos perante a seguinte equação: 2x + y + (2x - y) + 2xy = 120. A sua resolução permite chegar-se à seguinte igualdade: x = 120 / (4 + 2y).

Fazendo-se uma tabela semelhante à anterior:

y

x

2x + y

2x - y

2xy

2x + y + (2x - y) + 2xy

0

30

60

60

0

60 + 60 + 0 = 120

1

20

41

39

40

41 + 39 + 40 = 120

2

15

32

28

60

32 + 28 + 60 = 120

3

12

27

21

72

27 + 21 + 72 = 120

4

10

24

16

80

24 + 16 + 80 = 120

resultam cinco possíveis soluções: (30, 0); (20, 1); (15, 2); (12, 3) e (10, 4).

Fazendo-se um paralelismo entre as duas tarefas acabadas de analisar, qual será o enunciado que permite, para o resultado 120, as seguintes soluções: (15, 0); (10, 1); (6, 3) e (5, 4)? Justifique o raciocínio utilizado.

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