Aparentemente desligada de qualquer conceito matemático, a figura seguinte visa obter um resultado final a partir de um número dado e de dois critérios operativos numéricos, um na horizontal e outro na vertical:

Este desafio, pela sua simplicidade, permite que rapidamente seja encontrado o valor 11 para a célula final:

Em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que cada valor colocado numa linha oblíqua resulta da combinação das duas operações a realizar, respectivamente, em linha e em coluna. Neste caso, trata-se da adição de 5 unidades. Como isto ocorre duas vezes na linha diagonal máxima desta figura, significa que o resultado final (F) será a soma do valor de partida (P) com duas vezes a adição de 5 unidades: F = P + 5 + 5. Simplificando, F = P + 2 x 5:

Esta tarefa permite que os alunos sejam desafiados a identificar todos os percursos desde o valor 1 inicial até ao valor 11 final. Com esta questão estar-se-á a trabalhar o conceito matemático da decomposição do número, pois identificar-se-ão algumas decomposições do valor 11:

Estas são, pois, 13 possibilidades de decompor o valor 11.

Voltando à situação inicial, constata-se que a fórmula identificada (F = P + 2 x 5) funciona para outros casos, como os seguintes:

No 1º caso: 2 + 2 x 5 = 12. No 2º caso: 10 + 2 x 5 = 20.

Se se mudarem os critérios aditivos, quer em linha, quer em coluna, será que a regularidade, agora identificada, também se mantém?

Vejamos os seguintes casos: 

No 1º caso: 1 + 2 x 7 = 15. No 2º caso: 10 + 2 x 11 = 32. Confirma-se, pois, que o valor final resulta sempre da adição do valor inicial com o dobro da soma dos operadores aditivos envolvidos em em linha e em coluna.

Será que a operação multiplicação também permite uma analise semelhante a este caso da adição?

Iniciemos o estudo através da figura seguinte:

Note-se que, neste caso, também poderemos avançar com um algoritmo que servirá para vários casos envolvendo estes valores operativos: F = P + 6 x 6, isto é, F = P x 6²:

Concluimos, pois, que esta operação envolve o conceito de potenciação, pois o valor final resulta do produto do valor inicial com o quadrado do valor envolvido no produto dos operadores em linha e em coluna.

Esta nova lei geral também se aplica no caso se se substituir o valor inicial 1 pelo valor 2:

Confirma-se que 2 x 6² = 72.

Tendo em conta estas análises, recorra ao esquema seguinte para confirmar a sua identificação do valor final para um novo caso como estes, em que os critérios multiplicativos  passam a ser "x 5" na horizontal e "x 6" na vertical e cujo valor inicial é 100:

Se este mesmo quadro de 3 por 3 passasse à forma 5 x 5, qual seria o valor final? Como se deve obter esse valor sem se recorrer à elaboração do esquema?

Em contexto de recreação matemática as tarefas que apelam ao uso do raciocínio lógico têm algum impacto junto de um determinado tipo de público, aquele que gosta de exercitar as suas capacidades cognitivas de nível superior, como sejam: analisar, reflectir, estimar, conjecturar, testar, inferir, entre outras.

O exemplo que escolhi para ilustrar esta ideia propõe que se analise um conjunto de informação fornecida, com o intuito de se estabeleer algum tipo de relação lógico-matemática.

Como se trata de uma situação muito aberta, é natural que cada sujeito encontre uma solução diferente para a interrogação proposta:

A tabela seguinte ilustra algumas respostas possíveis:

SITUAÇÃO A	SITUAÇÃO B
SITUAÇÃO C	SITUAÇÃO D

A resposta relativa à situação A baseia-se na análise de que metade do cículo é formado por potências de base dois: 2², 2⁴ e 2⁶. Por sua vez, a outra metade já apresenta dois valores associados a potências de base três: 3² e 3⁴. Sendo assim, o valor que poderá substituir o ponto de interrogação será o 729, por ser o valor relativo à seguinte potência de base três com expoente par: 3⁶.

No caso da situação B o valor 78 pode resultar da seguinte análise: 4 + 16 + 64 = 84. Por seu turno, a outra metade do círculo numérico tem o dobro da soma deste anteriormente somado. Logo, o valor que falta acrescentar a 9 + 81 para se obter a soma 168 é o valor 78.

Já a situação C pode ser vista da seguinte forma: 4 + ? = 64 + 9. Logo, para a soma 73, o valor do símbolo "?" será 69. Neste caso, a soma de 16 com 81 não interfere nas somas dos valores extremos.

Por último, a situação D pode ser vista da seguinte forma, 4 = 4; 1 + 6 = 7; 6 + 4 = 10 (utilização de potências de base dois), isto é, há sempre um incremento de 3 unidades entre cada duas somas. Por sua vez, na outra parte do círculo numérico, 9 = 9 (usando um símbolo e uma potência de base três); 8 + 1 = 9 (usando dois símbolos e uma potência de base três); 243 (usando três símbolos e um potência de base três).

Estas são apenas algumas relações lógicas que se poderiam estabelecer a partir dos valores apresentados.

Veja-se, agora, a situação seguinte e procurem-se também algumas relações lógicas:

 Uma possível solução é a seguinte:

A relação identificada é a seguinte: 1 + 5 é metade de 1 + 11. Logo, 1 + 25 também será metade de 1 + 51.

Haverá outras soluções? Explique o seu racioicínio.

Imaginemos que o módulo de mosaico quadrado, formado por quadrados, representado na figura seguinte, servia como unidade de pavimentação:

Uma possível pavimentação seria criada  a partir da junção de quatro desses módulos:

Se em vez de quatro se juntassem dezasseis módulos, a pavimentação resultante seria a seguinte:

Analisando-se o número de quadrados azuis (Z) e de quadrados amarelos (A) envolvidos em cada caso, bem como o total de quadrados (Q), constatam-se algumas regularidades:

1ª - o número de quadrados azuis é sempre maior do que o número de quadrados amarelos;

2ª - o total de quadrados é sempre um número quadrado (9 = 3²; 36 = 6² e 144 = 12²);

3ª - de caso para caso o número de quadrados azuis ou amarelos aumenta quatro vezes;

4ª - o nº de quadrados amarelos é sempre uma potência de base dois, com expoente par (4 = 2²; 16 = 2⁴ e 64 = 2⁶).

Com base nestas regularidades qual será o aspecto de uma pavimentação semelhante a estas, que tenha 2¹⁰ quadrados amarelos, isto é, quantos serão os quadrados azuis e qual o total de quadrados envolvidos?

Imagine-se um outro tipo de pavimentação que também recorre aos quadrados amarelos e azuis, cujo modelo é o seguinte:

Uma pavimentação ligeiramente maior pode ser a seguinte:

Tendo em conta o número de quadrados amarelos (A), quadrados azuis (Z) e o total de quadrados (Q) em cada caso, refira estes valores para uma nova pavimentação, semelhante a estas, cuja linha central é formada por 11 quadrados amarelos e 10 azuis.

Os temas das permutações, arranjos ou combinações costumam ser o suporte de algumas actividades de recreação matemática. Contudo, nem sempre o domínio desses conteúdos matemáticos é condição necessária para que essas actividades de recreação matemática sejam resolvidas, pois pode haver o recurso a outro tipo de estratégias de resolução, como seja a tentativa e erro ou a utilização de uma lista organizada.

O exemplo que escolhi para me auxiliar a reflectir sobre este tema tem a ver com um caçador e com os seus dois cães e três cadelas.

Os cães chamam-se Gorbi e Júpiter; as cadelas chamam-se Bianca, Upi e Violeta.

No respectivo canil, o caçador não gosta de colocar os cinco animais sempre no mesmo compartimento ou divisão. Como sabe que as três cadelas, quando presas no canil, estão sempre a ladrar umas para as outras, costuma intervalá-las com um dos cães.

Sabendo que os cinco compartimentos ou divisões estão colocados uns ao lado dos outros, como mostra o esquema seguinte, averigue como podem ser distribuídos os cinco animais de modo a que as três ou duas cadelas nunca fiquem juntas:

Esta actividade obriga a que se faça um estudo exaustivo de todas as possibilidades que existem de se distribuírem os cinco animais nos cinco compartimentos.

A opção pela realização de uma lista organizada iria permitir obter 120 casos de distribuição diferente dos cinco animais, pois estamos perante o conceito matemático das permutações, que envolve o conceito de número factorial (5!). De facto, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Contudo, somente 12 desses casos permitem que as três cadelas tenham um cão entre elas, de forma a que não ladrem umas para as outras. Esses 12 casos são os seguintes:

Um amigo deste caçador quando tinha apenas um cão (Bigodes) e duas cadelas (Laica e Felpuda) também os colocava em compartimentos individuais, semelhantes aos do seu amigo, pois as cadelas só sossegavam quando tinham o cão no compartimento situado entre os seus. Para não colocar sempre os animais nos mesmos compartimentos, costumava mudá-los de sítio, de modo utilizar as duas possíbilidades que tinha:

Uma vez mais, 3! = 3 x 2 x 1 = 6, mas destas seis possibilidades, apenas as duas evidenciadas na tabela anterior satisfaziam as condições de entendimento das cadelas...

Quando a este caçador lhe deram um novo cão (Piloto), mandou fazer um novo compartimento junto aos dos outros animais e viu aumentadas as possibilidades de colocar as cadelas em várias posições, sempre tendo entre elas pelo menos um dos cães. Feitas as contas, conseguia distribuir os quatro animais por 24 possibilidades diferentes (4!), mas somente em 12 desses casos não teria problemas com as cadelas, como mostra a seguinte tabela: 

Entretando a Bianca e o Júpiter acasalaram e o seu amigo ofereceu-lhe o mais belo cachorro desta ninhada, a que deu o nome de Forasteiro. De imediato mandou fazer um novo compartimento junto aos dos outros animais e quando este cresceu também o envolveu neste tipo de rotatividade de posição por entre os cinco compartimentos. Neste caso, das 120 permutações possíveis (5!), verificou que havia 72 casos em que as duas cadelas nunca ficariam em compartimentos adjacentes.

Ao verificar estas possibilidades interrogou-se quantas seriam se em vez de ter duas cadelas e três cães, tivesse duas cadelas e quatro cães. Qual será a resposta, de modo a que as cadelas continuem a não ficar em compartimentos adjacentes?

Como material não estruturado, os fósforos adaptam-se bastante à exploração de múltiplos conceitos matemáticos. Desde a iniciação ao conceito de dezena, com o recurso a um vulgar elástico para a criação de um grupo de dez unidades, até ao estudo de propriedades de várias figuras geométricas, muitas explorações matemáticas podem ser feitas.

De entre alguns autores que têm dedicado alguma atenção a este recurso, destaco Baifang (1995)* e Berloquin (1991)**, por proporem actividades muito interessantes, que apelam ao prazer de se fazer matemática pela via do raciocínio e da ludicidade.

* - Baifang, L. (1995). Puzzles com fósforos. LIsboa: Gradiva.

** - Berloquin, P. (1991). 100 jogos geométricos. Lisboa: Gradiva.

Para reflexão desta semana decidi associar os fósforos ao tema das regularidades geométricas, com o estabelecimento de conexões às respectivas regularidades de natureza numérica. 

Como actividade de recreação matemática analise a seguinte sequência geométrica e tente estimar o número de fósforos necessários para se obterem 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às seguintes figuras rectangulares: 

Este desafio não representará, certamente, uma grande dificuldade, pois poder-se-á estabelecer facilmente o seguinte raciocínio:

1 quadrado - 4 fósforos

2 quadrados - 7 fósforos

3 quadrados - 10 fósforos

4 quadrados - 13 fósforos, isto é, mais três fósforos do que na construção geométrica anterior. Seguindo este padrão ou regularidade, descobrir-se-á a quantidade de fósforos necessária para a obtenção de 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às figuras rectangulares propostas inicialmente. Esse valor será de 91 fósforos.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem descobrir  a lei geral que suporta esta regularidade numérica de fósforos, associada ao respectivo número de quadrados que formam.

Observe-se, novamente, a quantidade de fósforos envolvida em cada uma das três construções iniciais, e estabeleçamos a respectiva interpretação numérica:

1 quadrado - 4 fósforos (4)

2 quadrados - 7 fósforos (4 + 3)

3 quadrados - 10 fósforos (4 + 3 + 3)

...

n quadrados - [4 + (n - 1 x 3)] = 4 + 3n - 3 = 3n +1

Conclui-se, pois, que para a construção de um determinado número de quadrados (n), e nas mesmas condições enunciadas nesta tarefa, o número de fósforos (f) será igual ao triplo desse número de quadrados mais uma unidade.

Logo, confirma-se que para o caso de 30 quadrados, o número de fósforos envolvidos seria 3 x 30 + 1 = 91.

Uma extensão deste desafio poderia passar pela construção de figuras quadradas, como ilustram os exemplos seguintes:

As três figuras quadradas da tabela permitem a seguinte contagem:

1 quadrado - 4 fósforos

4 quadrados - 12 fósforos

9 quadrados - 24 fósforos

Note-se a seguinte regularidade:

1 quadrado - 1 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura);

4 quadrados - 2 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 1 x 2 fósforos (linha vertical do interior) + 1 x 2 fósforos (linha horizontal do interior);

9 quadrados - 3 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 2 x 3 fósforos (linhas verticais do interior) + 2 x 3 fósforos (linhas horizontais do interior).

Em síntese, temos:

1 quadrado - 1 x 4

4 quadrados - 2 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados - 3 x 4 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n quadrados (sempre figura quadrada):

Logo, a próxima figura quadrada, formada por 16 quadrados, seria formada por 2 x (4 + 16) = 40 fósforos. Eis a respectiva figura:

Outra análise que pode ser feita para estas figuras quadradas pode passar por nos concentrarmos no número de fósforos empregues no lado de cada uma delas. Assim:

1 quadrado (1ª figura) - 4 x 1

4 quadrados (2ª figura) - 4 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados (3ª figura) - 4 x 3 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n-ésima figura - 4 x n + (n -1) x n + (n - 1) x n = 4n + 2(n² - n) = 4n + 2n² - 2n = 2n² + 2n = 2n (n + 1).

A título de exemplo, a próxima figura quadrada, com quatro fósforos de lado, necessitará de 2 x 4 (4 + 1) = 40 fósforos. 

Tendo em conta a seguinte nova sequência de figuras triangulares, descubra a lei geral de formação e teste-a para o caso de querer saber o número de fósforos necessários para se construir uma nova figura semelhante a elas, contendo 36 triângulos: