Ao nível da recreação matemática é vulgar assistirmos à apresentação de sequências numéricas em que nos é solicitado que as continuemos ou que descubramos as leis gerais que, matematicamente, as suportam.

Um exemplo ilustrativo do que acabo de referir é a tarefa seguinte, que visa a descoberta dos números que faltam:

36     __     52     60     __

Esta tarefa pode ser facilmente resolvida, pois, o par de números 52 e 60 dá-nos a pista de que os números estão dispostos segundo um progressão aritmética de razão 8, com início no valor 36.

Esta constatação permite que associemos a primeira lacuna ao valor 44 e a última ao valor 68, pois, 44 = 36 + 8 e 68 = 60 + 8.

Em situação de sala de aula seria interessante que os alunos descobrissem a lei geral desta sequência numérica, estabelecendo um raciocínio semelhante ao que apresento a seguir:

1º termo             -     36 = 36 + 0 x 8

2º termo             -     44 = 36 + 1 x 8

3º termo             -     52 = 36 + 2 x 8

4º termo             -     60 = 36 + 3 x 8

5º termo             -     68 = 36 + 4 x 8

...

nésimo termo     -     T   = 36 + (n - 1) x 8 

Tendo em conta esta lei geral, facilmente podemos obter um qualquer número desta sequência, pois o valor em causa resulta da adição do número 36 com o produto da posição que esse número ocupa na sequência, menos uma unidade, e o valor 8.

A título de exemplo, o 11º termo desta sequência numérica é o 116, pois 116 = 36 + (11 - 1) x 8.

Analisando um pouco mais esta sequência de números, também se constata que cada um é a soma de oito números consecutivos. Veja-se o caso dos três primeiros números da sequência:

Confirma-se que 36 é o resultado da adição dos oito primeiros números naturais; 44 é a soma de oito números naturais, iniciados pelos valor 2, e o 52 também resulta da adição de oito números naturais, iniciados pelor valor 3.

Tendo em conta este novo padrão ou regularidade, poder-se-ia pensar quais seriam os oito números naturais consecutivos, cuja soma fosse 100:

Ora, igualando a lei geral [36 + (n - 1) x 8] a 100, descobre-se para "n" o valor 9. Logo, o início da sequência numérica será o número 9. De facto, 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16:

O que acontecerá se os números utilizados forem apenas os números ímpares?

Vejamos os três primeiros exemplos:

Neste caso, a identificação da lei geral dos números envolvidos nas somas passa pelo seguinte raciocínio:

1º termo             -     65 = 64 + 0 x 16

2º termo             -     80 = 64 + 1 x 16

3º termo             -     96 = 64 + 2 x 16  

...

nésimo termo     -     T   = 64 + (n - 1) x 16

Quais serão so oito números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 160?:

Experimente fazer, também, um estudo para o caso dos números pares e tire as respectivas conclusões.

Associar os números a figuras geométricas costuma ser uma opção interessante para se proporem actividades de recreação matemática. Um exemplo paradigmático é o das figuras mágicas (triângulos, quadrados, polígonos estrelados, etc), pois costumam cativar os resolvedores para a descoberta de um único valor (mágico), que se obtém pela adição de vários outros números, dependendo da posição que ocupam na respectiva figura geométrica.

O exemplo que eu escolhi para ilustrar esta ideia é ligeiramente diferente do que acabei de descrever. Trata-se de uma figura de aspecto triangular, cujos valores, exceptuando os da linha da base, resultam sempre da adição dos dois números que estão por baixo deles.

Tendo em conta que a figura seguinte só apresenta alguns dos valores, procure descobrir os restantes, de modo a que esta regra se mantenha:

A resolução da tarefa é a seguinte:

Repare-se que o início mais fácil para se resolver a tarefa é o que passa pela procura do valor que adicionado ao 30 origina o 67. Fica identificado o valor 37. De seguida, obtém-se o valor 75 por ser a soma de 37 com 38. Com estes valores já identificados, facilmente se descobre o valor do topo da figura, pois trata-se da soma de 67 com 75, isto é, 142.

Resta, agora, a identificação dos valores da linha da base e da 2ª linha. Sabe-se que ter-se-ão de identificar dois valores cuja soma é 30. Contudo, estes dois valores estão dependentes do valor a colocar entre o 5 e o 9, na linha da base.

Uma possível estratégia de resolução poderá passar pela elaboração de uma lista organizada. Assim, se associarmos ao valor 5 a letra A, ao valor 9 a letra C e ao valor a colocar entre eles a letra B, o que tem que se investigar é o valor de B de modo que (A + B) + (B + C) = 30.

Comecemos por aproximar o valor de A + B a 15, logo, B = 10. Como ficamos longe do 30, podemos passar ao estudo para o caso do B = 9. Uma vez mais, ainda não se obtém o valor 30, mas aproximamo-nos desse valor, o que indicia ser favorável associar, a seguir, o valor 8 ao B. Testando-o, confirma-se que é esse o valor que o B terá de assumir:

Fica, pois, descoberto o valor 8 para ser colocado entre o 5 e o 9, na fila de baixo e os valores 13 e 17 a colocar por baixo do 30.

Por último, já fica fácil descobrir os três valores que restam. São eles o 20, o 18 e o 11.

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como por exemplo a de se descobrir todos os valores que faltam numa figura parecida com a anterior, conhecidos apenas os quatro valores da base - quatro primeiros números naturais, colocados de forma consecutiva:

Eis como fica a figura:

Analisemos, agora, o que se passa quando substituimos os valores da base, respectivamente, por 2, 3, 4, 5 e 3, 4, 5, 6:

Note-se que quando se iniciou pelo valor 1 na base, o valor final, do topo, foi o 20; iniciando pelo 2, o valor final passou a ser o 28; iniciando no 3, o valor final foi o 36.

Seria interessante que os alunos pudessem identificar esta relação, procurando, inclusive, descobrir se existe um padrão ou uma regularidade entre o valor inicial e o final. De facto, ela existe e é a seguinte: f = 20 + (i - 1) x 8, sedo "f" o valor de topo e "i" o valor inicial, isto é, o menor dos quatro números da base, pois:

quando i = 1     =>   f = 20

quando i = 2     =>   f = 28        (20 + 1 x 8)

quando i = 3     =>   f = 36        (20 + 2 x 8)

...

quando i = n     =>   f = [20 + (n - 1) x 8]

Esta lei geral permite que nos questionemos acerca de qual será o valor de topo quando o menor valor da base é, por exemplo, o 17.

Aplicando a lei: f = 20 + (17 - 1) x 8 = 148.

Eis a confirmação:

Note-se, por outro lado, que a soma dos dois valores extremos da base (17 + 20 = 37) coincide com a quarta parte do valor do topo, pois, 148 = 4 x 37. Esta constatação também é válida para todos os casos anteriores (que envolveram 4 números consecutivos na base), pois:

20 = 4 x (1 + 4)

28 = 4 x (2 + 5)

36 = 4 x (3 + 6)

A figura seguinte explica a relação algébrica que está em causa:

De facto, 4 x (2a + 3) = 8a + 12 

Assim, qual será o valor de topo, se os dois valores extremos da base forem o 9 e o 12?

Facilmente se conclui que será o valor 84, pois (9 + 12) x 4 = 84.

Por outro lado, quais serão os dois números extremos da base de uma figura semelhante a estas se o valor de topo for 172?

Esta tarefa passa por se obter um valor que é a quarta parte de 172. Esse valor é o 43. De seguida tem que se encontrar o valor de "x" na seguinte igualdade: x + (x + 3) = 43. Desta igualdade resulta para o "x" o valor 20 e para o "x + 3" o valor 23.

Desafio os meus leitores a fazerem o estudo semelhante para o caso de na base estrem 5 números consecutivos. Será que se obterá uma nova regularidade? Será que o valor do topo é o quádruplo da soma dos dois valores extremos da base? Qual a lei geral para se obter o valor do topo a partir do valor inicial da base?

E se em vez de cinco, forem seis os valores inteiros consecutivos na base? Que conclusões podem ser encontradas?

Aparentemente a simples tarefa de arrumar ovos na respectiva caixa não tem por trás uma grande preocupação matemática, pois arruma-se se houver espaço e não se arruma se o espaço não existir, isto é, se a caixa já estiver completa.

Numa caixa onde se pode arrumar meia dúzia de ovos permite a opção de se arrumar um único ovo em 6 posições distintas (A, B, C, D, E, F):

E no caso de se pretenderem arrumar 3 ovos? Quantas possibilidades existem?

Repare-se que utilizando-se as posições A e duas das outras, existem 10 possibilidades:

Contudo, os ovos podem ser arrumados usando-se a posição B e duas das restantes, excepto a posição A. Logo, há mais 6 possibilidades:

Por sua, vez, se os ovos forrem arrumados na posição C e em duas outras posições, excepto as posições A e B, originam-se mais 3 possibilidades de arrumação:

Por fim, usando-se a posição D, a E e a F, ainda surge uma outra possibilidade de se arrumarem os três ovos:

Em síntese, existem 20 possibilidades de arrumar três ovos numa vulgar caixa com capacidade para meia dúzia de ovos. Repare-se na curiosidade matemática de as possibilidades estudadas em função da posição inicial ser a A, a B, a C ou a D estarem associadas à sequência de números triangulares (..., 10, 6, 3, 1).

E se em vez de se pretenderem arrumar 3 ovos, fossem 4? Quantas possibilidades existem? Também têm relação com os números triangulares?

Num destes dias estava eu a ler um interessante livro do autor Michael Holt*, intitulado Matemáticas recreativas 2, quando me deparei com uma actividade relacionada com um jogo tradicional com que brincava no meu tempo de recreio, na escola - o puxar de uma corda por parte de duas equipas, para se identificar a mais forte.

* - Holt, M. (1988). Matemáticas recreativas 2. Barcelona: Martínez Roca.

Muito resumidamente, a actividade divulgava que quatro rapazes puxavam a corda com uma força equivalente a cinco raparigas. Por outro lado, duas dessas raparigas e um desses rapazes puxavam a corda com tanta força como a força que um cão exercia sobre a outra extremidade da corda.

Perguntava-se, no final, quem ganhava a puxar a corda, se de um lado estivessem três raparigas e o cão, e do outro estivessem quatro rapazes:

Esta actividade pode ser resolvida da seguinte forma: se o cão tem uma força equivalente a duas raparigas e um rapaz, então, no desafio final, ter três raparigas e um cão de um lado da corda equivale à força conjunta de cinco raparigas e um rapaz. Como se sabe que cinco raparigas têm uma força equivalente aos quatro rapazes que se encontram na outra extremidade da corda, então, o rapaz que se encontra junto a estas cinco raparigas vai provocar o desequilíbrio, isto é, cinco raparigas e um rapaz (de um lado da cord) terão mais força do que os quatro rapazes (do outro lado da corda).

Em contexto de sala de aula esta actividade de recreação matemática poderia servir como motivação para o estudo das equações lineares a mais de uma incógnita, senão vejamos:

Sendo "r" as raparigas, "rz" os rapazes e "c" o cão, sabe-se que:

(a) 5r = 4rp;

(b) 2r + 1rp = 1c

Logo, perante a pergunta de qual a equipa com mais força: 4rp ou 3r + 1c, facilmente se conclui que será esta última equipa, porque fica 3r + 2r + 1rp, isto é, 5r + 1rp (5 raparigas e 1 rapaz) contra 4rp (4 rapazes).

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como esta que apresento a seguir, associada a uma balança de dois pratos:

Se:

(a) 2 cubos equilibram 1 paralelipípedo rectângulo:

(b) 3 paralelipípedos rectângulos equilibram duas pirâmides:

(c) 3 pirâmides equilibram 1 cilindro:

 Quantos cubos são necessários para equilibrar um cilindro?