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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Quadrados mágicos e progressões geométricas

Maio 25, 2009

Paulo Afonso

O tema dos quadrados mágicos já várias vezes foi objecto de reflexão neste Blog. Nesta nova ocasião pretendo associar o tema a um outro assunto matemático - as progressões geométricas.

Para iniciar a minha análise solicito que comprovemos que os seguintes 9 números, dispostos de acordo com a imagem que se segue, originam um quadrado mágico especial:

Digo quadrado mágico especial, porque em vez de se obter uma soma mágica pela adição dos valores de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, obtém-se um produto mágico: 1728. De facto:

A - 24 x 2 x 36 = 1728

B - 18 x 12 x 8 = 1728

C - 4 x 72 x 6 = 1728

D - 24 x 18 x 4 = 1728

D - 2 x 12 x 72 = 1728

E - 36 x 8 x 6 = 1728

F - 24 x 12 x 6 = 1728

G - 36 x 12 x 4 = 1728

Reflictamos, agora, acerca destes 9 números. Qual o motivo que leva a que esta magia matemática ocorra?

Estes Números podem ser associados a progressões geométricas (Dudeney, 2007)*. No caso da sua disposição em linha a razão das progressões é 2 e no caso da disposição em coluna a razão das progressões é 3:

2 4 8
6 12 24
18 36 72

 

* - Dudeney, H. (2007). Acertijos, Desafíos y Tableros Mágicos. Barcelona: RBA.

 

Note-se que na tabela anterior a multiplicação envolvendo os valores da linha central (6, 12, 24), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (4, 12, 36) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (2, 12, 72 e 18, 12, 8) já originam o produto 1728: 

A - 6 x 12 x 24 = 1728 

B - 4 x 12 x 36 = 1728 

F - 2 x 12 x 72 = 1728 

G - 18 x 12 x 8 = 1728

O que acontecerá se em vez de se iniciar o estudo pelo número 2, se iniciar pelo número 1? Será que a utilização das progressões geométricas de razão 2 (na horizontal) e razão 3 (na vertical) também possibilitam que os 9 números resultantes origem um novo quadrado mágico envolvendo apenas a operação multiplicacão?

Façamos o estudo:

1 2 4
3 6 12
9 18 36

Tal como no caso anterior, a multiplicação envolvendo os valores da linha central (3, 6, 12), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (2, 6, 18) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (1, 6, 36 e 9, 6, 4) originam um mesmo produto que, neste caso, é 216: 

A - 3 x 6 x 12 = 216 

B - 2 x 6 x 18 = 216

F - 1 x 6 x 36 = 216 

G - 19 x 6 x 4 = 216

Tendo em conta esta análise e respeitando a ordem de grandeza dos números envolvidos na primeira experiência, em termos da posição que ocupam no respectivo quadrado mágico, eis a nova figura mágica obtida:

Obtém-se, pois, um quadrado mágico cujo produto mágico é 216.

Comparando estes dois casos verificamos que este produto mágico 216 está associado à origem 1 dos nove números envolvidos na respectiva figura. Já o produto mágico 1728 está associado à origem 2. Ora, verifica-se que o valor 1728 é oito vezes maior que o valor 216.

Esta observação permite que tecemos a seguinte conjectura: será que o próximo produto mágico, associado ao valor icial 3, será o resultado de 1728 x 8?

Por outro lado, comparando os valores de ambos os quadrados mágicos, verificamos que o valor de cada posição, da figura com maior produto mágico, é sempre o dobro do respectivo valor do quadrado cujo produto mágico é oito vezes que menor que ele.

Esta observação permite uma nova conjectura: será que o próximo quadrado mágico apresentará valores que são o dobro dos que aparecem no quadrado mágico de valor mágico 1728? Esta conjectura cai logo por terra, pois o valor inicial é 3 e 3 não é o dobro de 2.

Contudo, como 3 é o triplo de 1, será que os valores envolvidos no novo quadrado mágico são, respectivamente, o triplo de cada valor do quadrado mágico iniciado pelo valor 1?

Mantendo as progressões geométricas envolvidas nestes exemplos, qual será o produto mágico do quadrado iniciado pelo valor 8?

Sequências numéricas em figuras triangulares

Maio 18, 2009

Paulo Afonso

Associar números a figuras geométricas permite a exploração de múltiplas situações de recreação matemática. Observemos o seguinte triângulo numérico, formado por 9 triângulos mais pequenos:

Numa primeira análise, podemos dividir a figura num triângulo e num trapézio isósceles. Além disto, podemos obter esses dois tipos de figuras através de três processos diferentes:

 PROCESSO A:

 

  

PROCESSO B: 


  

PROCESSO C: 

Analisando-se os três processos em simultâneo verificam-se algumas curiosidades matemáticas muito interessantes. Assim: (a) as somas dos números das figuras triangulares são as seguintes:

Processo A - 19

Processo B - 20

processo C - 21

(b) por sua vez, as somas dos números das figuras trapezoidais são as seguintes:

Processo A - 26

Processo B - 25

Processo C - 24

Existem, pois, estas duas regularidades numéricas.

Contudo, a figura inicial, em vez de ser decomposta num triângulo e num trapézio, pode ser dividida em três triângulos geometricamente iguais: 

CASO A CASO B CASO C

Uma vez mais, também agora estamos perante uma regularidade numérica, pois a soma dos números envolvidos no caso A é 19, no caso B é 20 e no caso C é 21. Tinha que ser assim, pois os triângulos da tabela anterior são os mesmos que antes foram separados dos respectivos trapézios isósceles.

Imagine-se, contudo, que o triângulo inicial não era o que deu origem a todas estas análises, mas, sim, este:

Fazendo, agora, a análise apenas através da decomposição em três triângulos, será que continua a haver regularidade numérica?

Vejamos a tabela seguinte: 

CASO A CASO B CASO C

 A soma do caso A é 21, a do caso B é 19 e a do caso C é 20. Estamos, pois, perante os mesmos valores obtidos na situação anterior.

Vejamos uma terceira possibilidade de se distribuírem os números pelos 9 triângulos da figura, bem como a respectiva divisão em três triângulos:

 

CASO A CASO B CASO C

Eis as somas:

Caso A - 20

Caso B - 21

Caso C - 19

Uma vez mais, os valores repetem-se!

Note-se que todos os casos analisados contemplam o 1, o 2 e 3 nos vértices do triângulo maior.

Será que se fizer o estudo para o caso de os números dos vértices serem o 9, o 8 e o 7, também se obtêm regularidades semelhantes?

Explorando os números de fibonacci

Maio 11, 2009

Paulo Afonso

A sucessão de números de fibonacci é propícia ao desenvolvimento de actividades de recreação matemática. Como é sabido, trata-se de um conjunto de números em que o termo seguinte é a soma dos dois termos anteriores, exceptuando-se os dois primeiros valores que são uns. Eis o início da sucessão:

 

1     1     2     3     5    8    11     19    ...

 

Basta-nos uma breve pesquisa na Internet para nos apercebermos da importância desta sequência numérica ao nível do estabelecimento de conexões entre a matemática e o quotidiano.

 

Este conjunto de números apresenta curiosidades matemáticas interessantíssimas. Uma delas é a de que a soma dos dez primeiros termos é igual ao produto do sétimo termo por 11. Vejamos:

 

1     1     2     3     5     8     13     21     34     55     ...

 

  • 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
  • 11 x 13 (7º termo) = 11 x (10 + 3) = 11 x 10 + 11 x 3 = 110 + 33 = 143

O interessante desta relação é que também funciona para quaisquer outros dez números que sejam relacionados de acordo com as regras desta sucessão, isto é, um determinado termo ser a soma dos dois que o antecedem.

 

Testemos esta ideia, por exemplo, com o seguinte conjunto de números: 3     4     7     11     18     29     47     76     123     199

 

Veja-se que:

3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 + 199 = 517

11 x 47 = 11 x 40 + 11 x 7 = 440 + 77 = 517

Confirma-se, pois, esta curiosidade matemática.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos estudassem a relação algébrica que caracteriza o crescimento desta sucessão.

 

Assim, se os dois primeiros termos forem "a" e "b", respectivamente, o 3º termo será "a + b". Por sua vez, o 4º termo será "a + 2b"; o 5º será "2a + 3b" e o 6º será "3a + 5b".

 

Note-se que se estão a utilizar nos coeficientes do "a" e do "b" os números relativos à sucessão original de fibonacci.

 

Logo, se se juntarem os dois últimos coeficientes que se obtiveram para o "a", que são o 2 e o 3, obtém-se o valor 5. Depois, se se juntarem os dois últimos coeficientes obtidos para o "b", o 3 e o 5, origina-se o valor 8. Assim, "5a + 8b" será o valor do 7º elemento. Consequentemente, o próximo número terá que resultar de "8a + 13b"; o 9º resulta de "13a + 21b" e o 10º resulta de "21a + 34b".

 

Bastava adicionar-se todas as somas que fomos descobrindo para cada um dos dez números ordinais da sequência e, ao dividir essa soma por onze dava "5a + 8b", que é o valor do 7º elemento.

 

De facto, a soma dos dez primeiros termos de qualquer sequência deste tipo origina "55a + 88b", que é, precisamente, onze vezes maior que "5a + 8b".

 

Outra curiosidade interessante deste conjunto numérico é a seguinte:

 

- escolhem-se quatro números sucessivos, como  por exemplo: 2     3     5     8;

- multiplicam-se os extremos: 2 x 8 = 16;

- subtrai-se o quadrado do 3º termo pelo quadrado do 2º: 52 - 32 = 25 - 9 = 16.

 

Será que esta curiosidade se mantém para quaisquer outros quatro números sucessivos desta sequência ou de uma outra que mantenha esta regra de construção?

Rãs de pele lisa, rãs de pele às riscas e padrões numéricos

Maio 04, 2009

Paulo Afonso

Numa recente publicação* portuguesa sobre o tema dos padrões no ensino e aprendizagem da matemática, da autoria de Isabel Vale, Ana Barbosa, António Borralho, Elsa Barbosa, Isabel Cabrita, Lina Fonseca e Teresa PImentel, deparei-me com uma interessante tarefa envolvendo sapos e rãs que pretendiam atravessar um lago. O enunciado era o seguinte: "Dois sapos e duas rãs precisam de atravessar um lago e têm cinco pedrinhas para não ter de mergulhar na água fria. Podem avançar para a pedra seguinte ou saltar por cima de um companheiro, mas não podem voltar para trás.

1. Qual é o número mínimo de movimentos necessários?

2. Resolve o mesmo problema para três animais da mesma espécie.

3. E se fossem 100 rãs?" (Vale et al., 2009, p. 62).

 

* - Vale, I. et al. (2009). Padrões no ensino e aprendizagem da matemática - propostas curriculares para o ensino básico. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo. 

 

Não vou, para já, dar resposta a esta tarefa, mas a mesma levou a que eu próprio me interrogasse com as seguintes questões:

1 - E se em vez de serem dois sapos e duas rãs, com uma única pedra vazia a separá-los, fossem apenas uma rã de pele lisa  e outra de pele às riscas, mas com duas pedras disponíveis para elas poderem avançar, como mostra a figura seguinte? Quantos seriam os movimentos para que viessem a trocar de posição, mantendo as condições do enunciado dos sapos e das rãs?

 

2 - E se fossem duas rãs de pele lisa e outras duas rãs de pele às riscas, mas continuando a ter as duas pedras a separá-las? Quantos movimentos haverá a fazer?

Vamos analisar a situação, caso a caso.

A tabela seguinte permite evidenciar o tipo de movimentos que as rãs poderão fazer, havendo apenas uma de pele lisa (rã A) e outra de pele às ricas (rã B):

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago  
Início A     B
1º movimento   A   B
2º movimento     A B
3º movimento   B A  
4º movimento   B   A
5º movimento B     A

A tabela anterior permite concluir que são necessários 5 movimentos para que as rãs troquem de posição.

Analisemos, agora, o caso de serem duas rãs de pele lisa (rãs A e B) e duas rãs de pele às riscas (rãs C e D), continuando a haver duas pedras vazias entre elas:

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago  
Início A B     C D
1º movimento A   B   C D
2º movimento A     B C D
3º movimento A   C B   D
4º movimento   A C B   D
5º movimento C A   B   D
6º movimento C A   B D  
7º movimento C A     D B
8º movimento C   A   D B
9º movimento C     A D B
10º movimento C   D A   B
11º movimento C D   A   B
12º movimento C D     A B

Esta tabela permite concluir que serão necessários mais 7 movimentos do que no caso anterior, pois só ao fim de 12 movimentos das rãs é que as suas posições ficam permutadas. 

Estes dois casos, agora analisados, permitem que se coloque a seguinte conjectura: "serão necessários mais 7 movimentos do que estes 12, para o caso de serem três rãs de pele lisa (A, B e C) e três rãs de pele às riscas (D, E e F), continuando a haver duas pedras livres entre elas?"

Testemos a conjectura com a tabela seguinte:

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago 
Início A B C     D E F
1º movimento A B   C   D E F
2º movimento A B     C D E F
3º movimento A B   D C   E F
4º movimento A   B D C   E F
5º movimento A D B   C   E F
6º movimento A D B     C E F
7º movimento A D B   E C   F
8º movimento A D   B E C   F
9º movimento A D   B E C F  
10º movimento A D   B E   F C
11º movimento A D     E B F C
12º movimento   D A   E B F C
13º movimento D   A   E B F C
14º movimento D   A E   B F C
15º movimento D E A     B F C
16º movimento D E A   F B   C
17º movimento D E A   F   B C
18º movimento D E   A F   B C
19º movimento D E F A     B C
20º movimento D E F   A   B C
21º movimento D E F     A B C

A tabela anterior não confirma a conjectura formulada, mas o estudo deste terceiro caso, associado aso anteriores, permite o estabelecimento de algumas relações numéricas entre o número de cada tipo de rãs para cada caso e o respectivo número total de movimentos:

Nº de rãs de cada tipo Total de movimentos de todas as rãs
1 5
2 12
3 21

Note-se que de 5 para 12 vão 7 e que de 12 para 21 vão 9. Logo, será de prever que para quatro rãs de cada tipo haveria 21 + 11 movimentos, o que resultava no valor 32.

Analisemos os valores da coluna do total de movimentos de todas as rãs e vejamos a seguinte constatação:

5 = 1 x 5

12 = 2 x 6

21 = 3 x 7

Logo, 4 x 8 = 32.

Por sua vez:

5 = 1 x (5 + 0)

12 = 2 x (5 + 1)

21 = 3 x (5 + 2)

Logo, 4 x (5 + 3) = 32.

Esta última análise permite que cheguemos à lei de formação destas regularidades numéricas:

Para "n" rãs de cada tipo, o número de movimentos a realizar será o seguinte: n x [5 + (n - 1)]. 

Tendo em conta esta lei geral, qual o número de movimentos a realizar por 10 rãs de cada tipo, continuando a haver duas pedras livres entre elas?

Tente fazer o estudo para o caso descrito no início deste texto, enunciado no livro dos autores supra mencionados, isto é, havendo apenas uma pedra livre entre: (a) um sapo e uma rã, (b) dois sapos e duas rãs, (c) três sapos e três rãs e, (d) a respectiva lei geral.

Consegue estimar a lei geral para o caso de haver três pedras livres entre estes seres vivos?

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