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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Números tetraédricos e conexão ao triângulo de Pascal e ao tema das combinações

Junho 22, 2009

Paulo Afonso

Os números figurados já foram várias vezes objecto de reflexão neste blog. Hoje não vou escrever exclusivamente ao nível da geometria do plano mas, também, ao nível do espaço.

Assim, como actividade de recreação matemática tente dar continuidade à seguinte sequência numérica:

1     4     10     20     ____

Provavelmente descobrirá a relação numérica evidenciada na tabela seguinte:

Números da sequência Sua obtenção
1 1
4 1 + 3
10 1 + 3 + 6
20            1 + 3 + 6 + 10         

Os valores existentes na coluna da direita da tabela permitem concluir que os números da sequência inicial podem ser obtidos através de adições de um determinado tipo de números figurados, os números triangulares (1, 3, 6, 10, etc.).

Tendo em conta que o próximo número triangular é o 15, isso significa que o número que dá continuidade à sequência inicial será o resultado de 1 + 3 + 6 + 10 + 15, isto é, o 35.

Tal como no caso dos números triangulares, o triângulo de Pascal também contempla a sequência numérica aqui proposta:

Esta figura permite confirmar que é o 35 o número que dá continuidade à sequência inicial. Além disto, como a seguir ao 35 surge o 56, isto quererá dizer que o 56 é a soma dos seis primeiros números triangulares (1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21), aliás como confirma o padrão stick do triângulo de Pascal.

Note que com uma forma parecida ao stick de hóquei em patins, qualquer adição envolvendo números triangulares consecutivos origina uma soma que é um número que faz parte da nossa sequência inicial:

Em contexto de sala de aula, além das conexões agora estabelecidas envolvendo esta sequência numérica, será desejável que os alunos descubram o nome deste fascinante conjunto numérico.

As imagens seguintes pretendem ajudar nessa designação:

1 4 10

As imagens anteriores evidenciam a configuração de figuras tetraédricas, pelo que esta sequência numérica deve ser designada como sendo a sequência de números tetraédricos.

Tendo em conta a explanação agora feita, a próxima figura tetraédrica corresponde ao valor 20:

Para além do estabelecimento desta conexão numérica e geométrica, também seria desejável que os alunos pudessem associar estes números ao tema das combinações. Aliás, num artigo anterior associei o triângulo de Pascal às combinações, pelo que é fácil perceber como se obtém cada um destes números por essa via:

 

 

De facto, a lei geral que origina os números tetraédricos assenta nas combinações de "n", três a três, com "n" maior ou igual a 3.

Tendo em conta as reflexões que suportam este texto, como proceder para encontrar o valor do décimo número tetraédrico? Quais os números triangulares sucessivos que lhe darão origem?

 

Informação aos meus leitores: Como entramos em período de férias lectivas, apenas retomarei a escrita neste blog na primeira semana de Setembro de 2009. Até lá limitar-me-ei a publicar alguns comentários que entendam enviar-me, ou responder a algumas dúvidas ou sugestões de temas para o blog.

Agradeço a todos a paciência de lerem os meus escritos, produzidos ao longo deste último ano, que representou mais de 61 mil entradas no blog.

Gostaria de agradecer individualmente a todos que o visitam, desde todo o Portugal e passando por Japão, Angola, Moçambique, Polónia, Brasil, México, Espanha, Perú, Bélgica, República Dominicana, Canadá, EUA, entre outros, e, sobretudo, àqueles que me deixam comentários, sugestões, opiniões, etc.

Um grande abraço para todos e até Setembro!

Actividade numérica com exploração alargada

Junho 15, 2009

Paulo Afonso

Escolher para actividade de recreação matemática tarefas que permitem uma exploração pouco orientada costuma seduzir os resolvedores, pois nunca sabem se o desafio colocado já está totalmente resolvido após algum tempo dedicado à sua exploração.

Actividades deste tipo suscitam, pois, muito envolvimento por parte dos resolvedores.

O exemplo que escolhi para abordar este tema passa por se compararem as duas figuras seguintes e estabelecer o máximo de paralelismos ou semelhanças entre elas:

Uma primeira conclusão poderia ser a que diz respeito ao tipo de números existentes nos círculos. Em ambas as figuras esses números são ímpares e consecutivos. A única diferença a este nível é que a sequência numérica na figura da esquerda começa no 1 e a da figura da direita começa no 3.

Outra semelhança existente entre estas duas figuras é a seguinte: tendo em conta a figura triangular limitada no 1º caso pelos números 1, 7 e 11, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 70 (9 + 17 + 19 + 25). Por sua vez, tendo em conta a outra figura triangular limitada no 1º caso pelos números 3, 13 e 17, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 126 (19 + 31 + 35 + 41). Por fim, tendo em conta a outra figura triangular limitada no 1º caso pelos números 5, 15 e 19, a soma das quatro somas existentes no interior de cada triângulo unitário é 150 (25 + 37 + 31 + 47). Observando, agora, a outra figura, as três figuras triangulares respectivas à análise anterior originam somas maiores do que elas em 24 unidades. Vejamos:

A - 15 + 23 + 25 + 31 = 94. Repare-se que 94 = 70 + 24.

B - 25 + 37 + 41 + 47 = 150. Repare-se que 150 = 126 + 24.

C - 31 + 43 + 47 + 53 = 174. Repare-se que 174 = 150 + 24.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos conjecturassem que a próxima figura, iniciada pelo número 5, originaria somas maiores que as da 2ª figura, também em 24 unidades.

Eis a figura seguinte:

Vejamos as somas neste caso:

A - 21 + 29 + 31 + 37 = 118.

B - 31 + 43 + 47 + 53 = 174.

C - 37 + 49 + 53 + 59 = 198.

Confirma-se, pois, a conjectura anterior, uma vez que:

A - 118 = 94 + 24.

B - 174 = 150 + 24.

C - 198 = 174 + 24.

As três figuras anteriores permitem a obtenção de algumas conclusões, que apresento na tabela seguinte:

Figura triangular começada no número:
  Soma Menor Soma intermédia Soma maior
1 70 (70 + 0 x 24) 126 ( 126 + 0 x 24) 150 (150 + 0 x 24)
3 94 (70 + 1 x 24) 150 (126 + 1 x 24) 174 (150 + 1 x 24)
5 118 (70 + 2 x 24) 174 (126 + 2 x 24) 198 (150 + 2 x 24)

Tendo em conta os dados da tabela anterior é possível estimar as somas respectivas da próxima figura semelhante a estas, isto é, a que se inicia pelo próximo número ímpar - 7:

  Soma menor Soma intermédia Soma maior
7 70 + 3 x 24 = 142 126 + 3 x 24 = 198 150 + 3 x 24 = 222

A figura seguinte confirma a estimativa acabada de fazer:

De facto:

A - 27 + 35 + 37 + 43 = 142.

B - 37 + 49 + 53 + 59 = 198.

C - 43 + 55 + 59 + 65 = 222.

Confirmadas estas estimativas, seria interessante que os alunos conseguissem definir o termo geral desta regularidade numérica. Assim, para um qualquer número ímpar "n", as leis gerais para cada um dos três casos são as seguintes:

  Soma menor Soma intermédia Soma maior
n 70 + (n - 1) : 2 x 24 126 + (n - 1) : 2 x 24 150 + (n - 1) : 2 x 24

Tendo em conta esta generalização, como proceder para saber rapidamente as somas envolvidas numa nova figura iniciada pelo número ímpar 21? Além disto, quais a maior das nove somas dos triângulos unitários?:

Dividir quadrados em figuras equivalentes

Junho 07, 2009

Paulo Afonso

A divisão de figuras em partes com igual área pode ser um contexto interessante de recreação matemática. Em cenário de sala de aula pode servir como introdução ao estudo do conceito matemático -  figuras equivalentes.

O exemplo que escolhi para ilustrar este tema passa por se descobrir como dividir um quadrado (que pode ser um terreno de jardim) em quatro partes, todas com a mesma área, para a inserção de quatro tipos de flores.

Os círculos representam pequenas estacas colocadas no solo, por onde passa a vedação:

 Duas possíveis soluções são as seguintes: 

Contudo, outras são as possibilidades de resposta, como estas duas que apresento a seguir:

Será que haverá outras soluções possíveis?

Em contexto de sala de aula, esta simples tarefa pode servir de base para se desencadear uma importante investigação matemática. De facto, seria interessante que os alunos procurassem quatro divisões da figura em que cada uma terá um área equivalente à área de um dos quatro quadrados unitários que compõem a figura.

Eis mais quatro soluções:

Seria interessante serem os alunos a explicar o motivo pelo qual entendem que as quatro partes de cada figura dividida têm a mesma área. Como possível estratégia em sala de aula, o professor poderia aconselhar a utilização de geoplanos, elásticos coloridos e introduzir o cálculo de áreas por enquadramento, por decomposição ou o teorema de pick.

Contudo, a tarefa não deverá ser dada por terminada, pois poderão surgir outras soluções como estas duas:

Tirando partido desta tarefa, outras poderiam ser colocadas aos estudantes, como seja o caso de uma figura como a seguinte, para ser dividida em três partes iguais. Quantas serão as soluções?:

 

Quadrados mágicos e a operação divisão

Junho 01, 2009

Paulo Afonso

Tal como no artigo anterior, vou dedicar esta nova reflexão ao tema dos quadrados mágicos devido ao excelente livro que me tem ocupado ultimamente o meu tempo dedicado à Matemática Recreativa. Refiro-me à tradução para Castelhano do livro de Henry Dudeney, intitulado - Acertijos, Desafíos e Tableros Matemáticos. Este livro foi publicado em 2007 pela editora RBA e o tema dos quadrados mágicos aparece com alguma frequência. Desta vez associá-lo-ei à operação divisão. Vejamos o seguinte exemplo:

Qual a razão pela qual o quadrado anterior pode ser rotulado de quadrado mágico?

Repare-se que:

a) 6 x 4 : 2 = 12

b) 18 x 8 : 12 = 12

c) 36 x 24 : 72 = 12

d) 6 x 36 : 18 = 12

e) 2 x 72 : 12 = 12

f) 4 x 24 : 8 = 12

g) 6 x 24 : 12 = 12

h) 36 x 4 : 12 = 12

A magia existe ao multiplicarem-se os dois valores extremos de uma qualquer linha horizontal, vertical ou oblíqua e dividir o produto obtido pelo respectivo valor central dessa linha. Neste caso, o valor mágico é 12.

O que acontecerá se se duplicar cada valor das nove células desta figura? Será que o quadrado resultante também será mágico? A sê-lo, qual será o valor mágico?

Vejamos a figura resultante:

Eis a operações a fazer e os respectivos resultados:

a) 12 x 8 : 4 = 24

b) 36 x 26 : 24

c) 72 x 48 : 144 = 24

d) 12 x 72 : 36 = 24

e) 4 x 144 : 24 = 24

f) 8 x 48 : 16 = 24

g) 12 x 48 : 24 = 24

h) 72 x 8 : 24 = 24

O valor mágico ao ser 24 permite que se conclua que a duplicação de cada valor da figura inicial implica obter um valor mágico que é o dobro do valor mágico inicial.

Sendo assim, quais serão os nove valores do quadrado mágico destas características quando o valor mágico for 120? 

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