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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Áreas e perímetros de figuras rectangulares

Setembro 22, 2009

Paulo Afonso

Os conceitos de área e de perímetro de uma figura geométrica costumam andar de mãos dadas quando estes conceitos são levados à sala de aula de Matemática.

Tirando partido dessa relação de proximidade, aproveito para gerar a reflexão em torno da seguinte situação de recreação matemática: Quantas serão as possibilidades de mandar construir um tampo de uma mesa, de forma rectangular, sendo que o perímetro da mesma é de 16 metros e as medidas dos seus lados são todas medidas inteiras?

Esta situação permite várias soluções, como se evidencia a seguir:

a) medida do comprimento da mesa 7 m e medida da largura 1 m:

 

b) medida de comprimento da mesa 6 m e medida da largura 2 m:

c) medida de comprimento da mesa 5 m e medida da largura 3 m:

d) medida de comprimento da mesa 4 m e medida da largura 4 m:

Imagine-se que em vez do perímetro ser 16 metros fosse 20 metros. Quais as possibilidades de construção da mesa, mantendo a condição de as medidas dos lados serem expressas em unidades inteiras?

Este desafio poderá facilmente ser resolvido por um processo recursivo, esgotando todas as possibilidades:

a) medida do comprimento da mesa 9 m e medida da largura 1 m:

b) medida do comprimento da mesa 8 m e medida da largura 2 m:

 

c) medida do comprimento da mesa 7 m e medida da largura 3 m:

d) medida do comprimento da mesa 6 m e medida da largura 4 m:

e) medida do comprimento da mesa 5 m e medida da largura 5 m:

Estes dois exemplos permitem a ilação de algumas conclusões, que podem ser levadas à sala de aula de Matemática. Desde logo, a figura rectangular com maior área é, para cada caso, o quadrado.

Por outro lado, para um perímetro de 12 metros há quatro possibilidades, enquanto que para um perímetro de 20 metros há cinco. Isto permite que nos questionemos sob vários pontos de vista:

a) Qual será o perímetro das figuras rectangulares que permitam a obtenção de dez casos distintos?

b) Para um perímetro de 44 metros, quantas e quais serão as possibilidades de construção de mesas? 

Explorando o número 666 - o número da besta!

Setembro 15, 2009

Paulo Afonso

Quem é conhecedor dos escritos biblícos, designadamente o Apocalipse de São João, conhece, certamente, o número da besta - 666.

Contudo, a minha reflexão não vai incidir em princípios mais ou menos exotéricos a que este número tem vindo a ser associado; antes prefiro associá-lo a aspectos matemáticos.

No livro de Philip Carter e Ken Russell (2006)* podemos constatar algumas curiosidades matemáticas em torno a este número, como sejam:

a) 666 = 6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63.

b) 666 = 16 - 26 + 36.

c) 666 = DCLXVI = X + C + D + V + I + L, etc.

 

* - Carter, P. e Russel, K. (2006). Matemática Divertida. Lisboa: Gradiva.

 

O desafio de recreação matemática que proponho é obter-se o o dígito que se repete no número da besta (6), usando-se as operações aritméticas básicas, os radicais ou outros conceitos matemáticos, como seja o factorial, nos seguintes casos:

a) 1   1   1 = 6

b) 2   2   2 = 6

c) 3   3   3 = 6

d) 4   4   4 = 6

e) 5   5   5 = 6

f)  6   6   6 = 6

g) 7   7   7 = 6

h) 8   8   8 = 6

i) 9   9   9 = 6

Eis uma possível solução para o primeiro caso: (1 + 1 + 1)! = 6. Quais os restantes casos?

De Mataix ao jogo do Trinca-Espinhas - Um caso de divisores

Setembro 08, 2009

Paulo Afonso

Durante este período de férias tive a oportunidade de me cruzar com o interessante livro de Mariano Mataix, intitulado "A Maçã da Discórdia"*. Constituído por 149 situações de recreação matemática, a nº 2, com o título "Uma partida do dom Félix e Arquimedes Garcia" fez-me lembrar um jogo didáctico com que trabalhei os divisores de um número aquando da minha formação inicial. O jogo chamava-se o Trinca-Espinhas.

 

* - Mataix, M. (2008). A Maçã da Discórdia. RBA Editores.

 

Mas vamos por partes. Começo por tomar a liberdade de transcrever o texto dessa actividade nº 2:

"Começa-se com os números naturais de 1 até N, escritos em fila. Primeiro joga Arquimedes e as regras a seguir são estas:

a) Arquimedes tira o número que quer da fila e apaga-o, sujeito a cumprir a condição de nunca tirar um número do qual não fique nenhum factor na fila.

b) Dom Félix joga depois, apagando dos restantes números todos aqueles que são factores do que Arquimedes escolheu.

c) O jogo termina quando Arquimedes não pode escolher mais números. neste momento Arquimedes tem de fazer com que a soma dos números que tirou seja a menor possível" (p. 9).

O exemplo que Mataix disponibilizou para os seus leitores é o caso em que N = 7. Se Arquimedes escolher o 6, dom Félix ficará com o 1, o 2 e o 3. Logo, a soma mínima é 6.

Como será para o caso de N = 20?

Porque é que eu digo que este desafio me fêz recordar do jogo do Trinca-Espinhas? Precisamente, porque este jogo baseia-se, na essência, nas regras acima enunciadas. A única alteração é que cada jogador joga contra o computador, personalizado na figura do Trinca-Espinhas e em que os números sobrantes ficam para o Trinca-Espinhas, sendo o objectivo do jogo obter uma soma maior do que a soma dos números com que o Trinca-Espinhas fica.

Eis o exemplo de se ganhar ao Trinca-Espinhas, quando N = 10:

Jogador X Trinca-Espinhas
7 1
9 3
6 2
8 4
10 5

Note-se que, neste caso, não sobrou mais nenhum número para o Trinca-Espinhas, pois todos foram envolvidos na selecção feita pelo Jogador X.

Fazendo-se as respectivas somas, o Jogador X obteve 40 pontos e o Trinca-Espinhas apenas 15 pontos.

Qual a estratégia ganhadora par N = 20?

Estes exemplos permitem, como sempre, múltiplas extensões. Uma delas passa por se conectar a decomposição do número ao conceito de número primo e aos critérios de divisibilidade.

Imaginem-se os dez primeiros números naturais:

1    2     3     4     5     6     7     8     9     10

O jogo consiste em retirar-se um número desse conjunto, de cada vez, de modo a que os respectivos números que o originam, por decomposição em parcelas, também sejam eliminados do conjuto. Quando já não se puder retirar mais nenhum número, por não haver possibilidade de se obter esse número com os números ainda restantes, estes têm que originar um soma que seja um número primo.

Exemplifiquemos:

Números retirados Sua obtenção pelo processo aditivo
3 1 + 2
9 4 + 5

Neste caso já não há mais números que possam ser esclhidos, porque os mesmos não se conseguirão obter com os restantes que ainda estão em jogo. Logo, sobram os seguintes números: 6, 7, 8 e 10. A sua soma é 31, logo é uma caso de sucesso, pois o 31 é um número primo.

Haverá mais casos de sucesso? Quais?

O cálculo de áreas e os números de Fibonacci

Setembro 01, 2009

Paulo Afonso

Como o prometido é devido, aqui estou de volta para mais um ano de dedicação a este blog, cujo tema base é a Matemática Recreativa. Aproveito a oportunidade para agradecer aos meus leitores que nestes dois meses de interregno continuaram a visitar este blog. É também para eles que continuarei a investir nas reflexões que este importante tema nos pode suscitar. A filosofia dos artigos continuará a ser a mesma de sempre, isto é, um artigo por semana, tendo uma explicação inicial, seguida de um desafio, susceptível de chegar às pessoas em geral, e à sala de aula de Matemática, em particular.

O tema que escolhi para reflexão - números de Fibonacci - já tem sido várias vezes referenciado neste blog. Nesta ocasião conectá-lo-ei ao tema do cálculo de áreas de figuras rectangulares, designadamente os quadrados.

Imaginem que uma menina, de nome Alice, decide construir, com ajuda do seu avô Artur, antigo professor de Matemática, um chão para a sua casa de bonecas apenas baseado em quadrados. Começa por construir em cartão um quadrado com um centímetro de lado, como este da figura:

Vendo o entusiasmo da sua neta, o avô Artur perguntou-lhe qual a área desse quadrado. A Alice respondeu prontamente que era um centímetro quadrado.

De seguida, construiu um quadrado igual e colocou-o ao lado do anterior, como mostra a figura:

 

Assim que o avô lhe perguntou pela medida da área deste novo quadrado, a Alice respondeu que era novamente um centímetro quadrado.

O avô pressentiu que a sua neta ia construir um novo quadrado semelhante aos dois anteriormente construídos e sugeriu-lhe que o construísse, tendo em conta que a medida do lado teria de ser igual à soma das medidas dos lados dois dois quadrados anteriores.

Eis como ficou o chão da casa de bonecas após a construção do novo quadrado:

Antes de o avô lhe perguntar pela medida da área deste novo quadrado, a Alice referiu que a mesma era de quatro centímetros quadrados. Justificou a sua observação, referindo que este novo quadrado tinha dois centímetros de lado.

Aproveitando o entusiasmo da neta, o sr. Artur continuou a desafiá-la no sentido de a construção do próximo quadrado manter a regra seguida no caso anterior, isto é, a medida do lado ser a soma das medidas dois lados dos dois últimos quadrados construídos.

Eis como ficou o chão da casa de bonecas após a inclusão do novo quadrado, respeitando as indicações do seu avô:

 

 - Avô: este novo quadrado tem nove centímetros quadrados de área - referiu a Alice.

Perante esta intervenção, o avô da Alice pediu para ela pensar em qual seria a medida da área do próximo quadrado, se mantivesse o critério de construção que estava a seguir, isto é, a medida do lado ser igual á soma das medidas dos dois últimos quadrados construídos por ela.

Prontamente ela respondeu que seria vinte e cinco centímetros quadrados, pois o próximo quadrado teria cinco centímetros de lado, pois seria (3 + 2) centímetros. Eis como ficou o chão da casa de bonecas:

Se o chão final da casa de bonecas continuar a ser formado de acordo com este critério, isto é, só por quadrados, sendo que cada quadrado novo tem de medida de lado a soma das medidas dos lados dois dois últimos quadrados construídos e sabendo que a sua área final é de quatro mil, oitocentos e noventa e cinco centímetros quadrados, qual é a figura que ilustra esse chão? Quais serão as medidas dos lados dos dois últimos quadrados construídos pela Alice?

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