Gostava de começar este meu novo artigo através da colocação da seguinte situação problemática: "O Ricardo é coleccionador de calendários de bolso. Como já é possuir de um grande número de calendários, decidiu arquivá-los segundo um critério muito interessante. Sempre que tem 6 calendários avulso adquire uma mica plástica para os guardar, ficando a mica cheia. Sempre que consegue obter 6 micas cheias, adquire um dossiê para as arquivar, ficando este cheio. Ao ter 6 dossiês completos arruma-os numa caixa que fica cheia. Por último, ao ter 6 caixas cheias consegue preencher, na íntegra, uma prateleira de um armário que concebeu para este propósito. Sabendo que o Ricardo tem uma prateleira completa, dois dossiês completos e cinco calendários avulso, qual o número de calendários da sua colecção?"

Esta situação pode facilmente ser visualizada numa tabela:

Pela análise da tabela sabemos que existe um grupo de 1296 calendários, dois grupos de 36 calendários e ainda cinco calendários avulso. Logo, fica:

1 x 1296 + 2 x 36 + 5 = 1373. Conclui-se, pois, que a colecção é formada por 1373 calendários.

Note-se que os valores 1296, 216, 36, 6 e 1 podem ser associados às seguintes potências de base seis: 6⁴, 6³, 6², 6¹ e 6⁰, respectivamente.

Logo, 1373 = 1 x 6⁴ + 2 x 6² + 5 x 6⁰.

Imagine-se, agora, que a irmã do Ricardo, de nome Maria, também é coleccionadora de calendários. Curiosamente arquiva a sua colecção segundo os mesmos critérios do seu irmão. Sabendo que a sua colecção é composta por 700 calendários, como estão arquivados?

Esta tarefa pressupõe que em primeiro lugar se procure o número de micas necessárias para arquivar este número de calendários avulso. Para tal façamos a seguinte divisão:

Conclui-se que os 700 calendários originam 116 micas cheias, sobrando 4 calendários avulso.

De seguida deveremos averiguar o número de dossiês necessários para arquivar essas 116 micas, pelo que devemos voltar a dividir por 6:

Conclui-se que as 116 micas originam 19 dossiês e sobram duas micas soltas. Resta saber agora quantas caixas são necessárias para arquivar os 19 dossiês. Uma nova divisão por 6 resolve o problema:

Em resumo: os 700 calendários da Maria estão arquivados da seguinte forma: 4 avulso, 2 micas cheias, 1 dossiê e 3 caixas.

Em contexto de sala de aula estas duas situações problemáticas poderiam servir para se abordar o sistema de numeração decimal, comparando-o com outros sistemas, como este que utiliza a base seis.

Note-se que se em vez de conheceremos os dez símbolos numéricos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, só conhecêssemos os seis primeiros: 0, 1, 2, 3, 4 e 5, a representação simbólica 10205, escrita na base seis (1 prateleira, zero caixas, 2 dossiês, zero micas e 5 calendários avulso), seria a representação da quantidade mil, trezentos e setenta e três.

Por sua vez, a representação simbólica da quantidade setecentos, na base seis, seria 3124_(seis) - 3 caixas, 1 dossiê, 2 micas e 4 calendários avulso.

Em síntese, seria interessante os alunos concluírem que para se converter para a base decimal uma representação simbólica de uma quantidade escrita numa base inferior à decimal deve-se usar a operação multiplicação, tendo em conta o número de elementos existentes em cada ordem ou posição. Por sua vez, para se converter uma quantidade, escrita na base decimal, para uma base inferior à decimal, fazem-se divisões sucessivas em que o valor do divisor é sempre o valor da base de destino, parando-se quando o último dividendo for inferior ao valor da base de destino, isto é, ao divisor.

Tendo em conta esta reflexão, como se escreverão na base dois ou binário, ou linguagem dos computadores, as quantidades inteiras compreendidas entre zero e dez?

Nota: a base dois só utiliza dois símbolos: o zero e o um.

Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.

Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:

a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

b) 1, 8, 27, 64, ... 

c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:

Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.

Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:

Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?

Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.

Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.

Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3 números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.

Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.

Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n² + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (40² + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.

Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.

Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?

Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte: 

Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:

1 = 1 x 2 - 1

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 11

19 = 4 x 5 - 1

Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.

Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.

Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?

Como é do conhecimento de muitas pessoas, designadamente dos mais ligados a questões da Matemática, não existe nenhum algoritmo ou lei geral que seja capaz de gerar todos os números primos. Talvez devido a este motivo,  este tipo de números seja muito utilizado ao nível da segurança informática, pois a encriptação de chaves numéricas tem tido uma relação muito estreita com os números primos.

Folheando um interessantíssimo livro produzido em 1984 por um grupo de professores/investigadores do Shell Centre for Mathematical Education da Universidade Nottingham, traduzido em 1993 para a lingua castelhana pela Universidade do País Vasco, sob o título Problemas con pautas y números*, deparei-me com uma situação envolvendo a operação adição, que tomo a liberdade de partilhar com os meus leitores.

Faço-o porque entendo tratar-se de uma reflexão muito interessante, feita a propósito de se obterem os números inteiros a partir da adição de vários números inteiros consecutivos. Aproveito para sugerir a leitura deste livro, pois tanto pode ser levado à sala de aula, como ser utilizado para criar situações de recreação matemática.

* - Shell Centre for Mathematical Education (1993). Problemas con pautas y números. Bilbao: Universidade del Pais Vasco.

O exemplo que decidi apresentar poderia passar por pedir para investigarem se todos os números, de 1 a 30, inclusive, se podem decompor em adições envolvendo números inteiros consecutivos.

A título de exemplo, vejam-se os seguintes casos:

Observando os casos expressos na tabela, facilmente se pode concluir que todos aqueles números que se podem obter pela adição de três números inteiros consecutivos têm a particularidade de ser múltiplos de 3.

Analise-se, também, o que se passa com dois desses números, o 15 e o 30:

O 15 e o 30, para além de serem múltiplos de três, também são múltiplos de cinco. Curiosamente ambos podem ser obtidos pela adição de cinco números consecutivos!

Note-se que o número de parcelas que tenho estado a considerar são em número ímpar: 3 ou 5, pelo que se poderá conjecturar se todos os números inteiros que resultam da decompisção de um número ímpar de parcelas, isto é, 2n + 1 parcelas, serão sempre múltiplos de 2n + 1?

Vejamos agora os números 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Têm de comum o facto de se poderem obter pela adição de apenas dois números inteiros consecutivos. Logo será legítimo conjecturar-se que qualquer número primo obedece a esta regularidade, a de se obterem pela adição de dois números inteiros consecutivos.

Como será o caso das potências de base dois? Haverá algo de comum relacionado com o tema deste artigo?

O que haverá de comum com os números que se obtêm pela adição de quatro números inteiros consecutivos?