Tal como prometido no artigo anterior, vou voltar a reflectir acerca do importante material manipulativo para o ensino-aprendizagem da Matemática - o minicomputador papy. Desta feita irei explorá-lo para o cálculo aritmético elementar envolvendo adições com e sem transporte.

Vejamos um primeiro caso de adição sem transporte em que se pretende calcular a soma de 65 com 32. Comecemos por representar a primeira parcela (65):

Vejamos agora a outra parcela (32):

O procedimento a seguir é colocar numa terceira linha, a da soma, todas as marcas existentes nas linhas afectas às parcelas. Assim, o esquema inicial será este:

Como vimos no artigo anterior, cada célula de cada calculador papy só pode ter uma marca. Logo, enquanto que na ordem das unidades não há alterações a fazer, na ordem das dezenas teremos de movimentar algumas marcas. As duas marcas na "célula dos vinte" originam uma nova marca na "célula dos quarenta". Como aí já existe uma marca, então as duas marcas do quarenta originarão uma marca na "célula dos oitenta". Vejamos o esquema explicativo:

Logo, a resolução correcta seria a seguinte:

Vejamos, pois, que 65 + 32 = 97.

Testemos este material para uma adição com transporte. O exemplo poderá ser o seguinte: 67 + 44.

Eis as parcelas e a deslocação das marcas dessas paracelas para a soma:

Vejamos, agora, as movimentações necessárias:

Explicação:

4 + 4 = 8

8 + 2 = 10

40 + 40 = 80

80 + 20 = 100

Logo, o resultado final é 111:

Imagine-se, agora, numa situação de recreação matemática a tentar usar este material estrururado para o cálculo da soma de 345 + 256. Qual o seu procedimento?

Enquanto professor de Didáctica da Matemática sou um fiel adepto da utilização de materiais manipuláveis para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Geoplanos, tangrans, calculadores multibásicos, material Cuisenaire, blocos lógicos, polidrons, poliminós, blocos padrão, etc., costumam fazer parte das minhas aulas. Contudo, hoje vou dedicar a minha reflexão a um outro material manipulável, pouco conhecido em Portugal, a avaliar pelos escritos que existem. Refiro-me ao minicomputador Papy. Trata-se de um material didáctico estruturado para o ensino do cálculo aritmético elementar e foi concebido por Geoges Papy, professor da Faculdade de Ciências na Universidade de Bruxelas. Nos próximos artigos irei explorá-lo para o cálculo, mas desta vez irei apenas demonstrar como é o seu funcionamento ao nível do registo de quantidades inteiras.O seu aspecto é o seguinte:

Em homenagem ao matemático Cuisenaire, Papy utilizou estas quatro cores para representar os mesmos valores numéricos que o material Cuisenaire.

Assim, se uma peça ou uma marca estiver posicionada na quadrícula branca estará a representar a quantidade 1; se estiver na quadrícula vermelha representará a quantidade 2; se estiver na rosa representará a quantidade 4 e se estiver na castanha representará a quantidade 8. Logo, trata-se de um material que se baseia na base 2 ou binário:

Quantidade 1	Quantidade 2	Quantidade 4	Quantidade 8

Este material serve, pois, para se representarem as restantes quantidades inteiras até ao 9 inclusive:

3 = 1 + 2	5 = 1 + 4	6 = 2 + 4	7 = 1 + 2 + 4	9 = 1 + 8

Este material só permite, pois, a existência de uma marca em cada quadrícula, como se pode observar acima. Por outro lado, caso exista uma marca na quadrícula castanha (valor 8) já não pode haver marca na quadrícula vermelha (valor 2) ou na quadrícula rosa (valor 4). De facto, estar-se-ia para cada caso anterior a atingir a ordem das dezenas, pelo que seria necessário juntar uma nova placa. Veja-se como se representa, então, o valor 10 e o valor 12:

Quantidade 10 (10 + 0)	Quantidade 12 (10 + 2)

Percebendo-se estas regras básicas, como se representa, por exemplo, a quantidade 357?

A resolução passa por se usar uma nova placa para representar a ordem das centenas. Ora, como sabemos que 357 = 300 + 50 + 7 e que 300 = 100 + 200; 50 = 10 + 40; 7 = 1 + 2 + 4, então fica assim:

Imagine-se que um pastor pretendia representar a quantidade de ovelhas do seu rebanho usando este tipo de material. Ao utilizá-lo obteve a seguinte representação. Está bem preenchido? Quantas ovelhas terá o pastor?

Podemos constatar que o calculador foi usado incorrectamente. Por isso vamos dispor as marcas de forma precisa e correcta. Convém fazê-lo por etapas ou por partes:

1º - dois grupos de 2 origina um grupo de 4:

Tendo sido substituídos esses dois grupos de 2 por um de 4, resulta que temos um grupo de 8 e um grupo de 4, pelo que a quantdade resultante 12 deverá ser convertida numa dezena e em duas unidades:

Constata-se agora que há duas dezenas, pelo que têm que ser substituídas por um grupo de 20:

 Por sua vez, dois grupos de 40 terão de ser substituídos por um grupo de 80:

Um grupo de 80 e um grupo de 20 deverão dar origem a uma centena:

Por sua vez, duas centenas originarão um grupo de 200:

Eis o resultado final de 203 ovelhas:

Em síntese e fazendo-se todas as alterações num mesmo esquema, o seu aspecto gráfico deverá ser o seguinte:

Faça uma resolução do mesmo tipo para a seguinte disposição incorrecta de marcas:

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, exigem uma observação atenta, criterial ou, se quisermos, uma observação apaixonada pelas questões matemáticas que as sustentam.

O exemplo que trago para ilustrar a importância de uma observação intencional e reveladora de sentido de indagação baseia-se no seguinte conjunto de números:

Dedicando-se alguns minutos a observar a tabela numérica anterior, facilmente podemos descobrir relações matemáticas entre os seus elementos ou até recordar alguns conceitos matemáticos.

Sendo assim, um exemplo a destacar pode ser o conjunto de alguns múltiplos do 3. Exceptuando o valor zero, a tabela abaixo evidencia um padrão de natureza geométrica envolvendo alguns dos primeiros múltiplos do 3:

Repare-se que todos os valores seleccionados têm a particularidade da soma dos seus dígitos ser sempre um múltiplo do 3. Com isto poder-se-ia, em contexto de sala de aula, abordar o critério de divisibilidade por 3: "um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 3".

Repara-se, também, que o tema do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números também poderia ser explorado com esta figura:

A título de exemplo, de entre os múltiplos do 3 e os múltiplos do 5 existentes na tabela, com excepção do zero, como é óbvio, o mínimo múltiplo comum entre eles é o 15. Já entre o 3 e o 6 é o 12; por sua vez, entre o 5 e o 6 é o 30. Este valor 30 volta a ser o mínimo múltiplo comum entre o 3, o 5 e 6, como se pode observar na figura.

Este último exemplo poderia servir de base para se abordar o tema da factorização de números compostos em factores primos. Se o 3 e o 5 já são números primos, o 6 não o é; aliás é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores próprios coincide com ele mesmo (1 + 2 + 3 = 6). Logo, o 6 pode ser decomposto num produto de factores primos, sendo um exemplo que prova o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que "qualquer número inteiro maior do que 1 é primo ou resulta num produto de factores primos".

Voltando à tabela inicial, a mesma permite outras explorações matemáticas, como sendo a evidência da propriedade comutativa da operação multipliação:

Veja-se que 3 x 10 = 30 e 10 x 3 = 30. Por sua vez, 5 x 6 = 30 e 6 x 5 = 30. Logo, estes casos podem servir de exemplos para que se conclua que o produto não se altera quando se permutam os respectivos factores.

O tema dos números figurados também pode ser associado a esta tabela. Veja-se o caso dos números quadrados:

Consta-se, pois, que uma das diagonais da figura é formada exclusivamente por números quadrados, logo poder-se-ia explorar essa sequência para se chegar à respectiva lei geral (n²), sendo "n" um número inteiro.

Veja-se a próxima figura e observe-se o que ela sugere:

Cada secção colorida pode ser objecto da seguinte análise:

a) 1

b) 2 x 4 = 8

c) 3 x 9 = 27

d) 4 x 16 = 64

e) 5 x 25 = 125

f) ...

Fixando a nossa atenção nos produtos apresentados nas alíneas anteriores, os mesmos são outro tipo de números figurados, neste caso os números cúbicos (n³):

a) 1 = 1³

b) 8 = 2³

c) 27 = 3³

d) 64 = 4³

e) 125 = 5³

f) ... 

Sendo assim quer os números quadrados quer os números cúbicos, quer a relação entre ambos, poderão ser objecto de análise através desta tabela numérica.

Que tipo de números estão assinalados a seguir e qual o critério para se ver rapidamente se outros quaisquer pertencem a essa mesma família ou conjunto numérico?:

Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Martin Gardner, quando me deparei com uma enigmática situação envolvendo alguns números naturais consecutivos, organizados de acordo com a figura seguinte:

* - Kordemsky, B. (1992). The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. New York: Dover Publications.

Uma primeira apreciação que aí é feita pelo autor é a que refere que o último número de cada coluna é um número quadrado:

De seguida é referido que o produto de dois números adjacentes numa mesma linha encontra-se nessa linha:

A título de exemplo, veja-se que 5 x 11 = 55 ou 2 x 6 = 12 ou 4 x 8 = 32.

Também é salientada outra curiosidade: o produto em cada caso referido no aspecto anterior encontra-se à direita do menor dos factores tantas colunas quanto o valor desse menor factor. A título de exemplo, o produto de 5  por 11 encontra-se 5 colunas à direita do menor factor, que é o 5. Por sua vez, o produto de 4 por 8 encontra-se 4 colunas à direita do 4.

Que outras ilações podemos extrair deste conjunto de valores, expostos desta forma?

Podemos, por exemplo, pensar numa forma de se conhecer o valor central de cada coluna. A tabela seguinte associa o número da coluna ao respectivo valor central:

Note-se que não se querendo inferir uma lei geral para se obter qualquer valor central de cada coluna a partir do número da coluna a que pertence, bastaria saber o início e o final de cada coluna e calcular-se a respectiva média aritmética!

Ora, voltando aos valores da tabela, pode-se observar que:

1² - 0 = 1

2² - 1 = 3

3² - 2 = 7

4² - 3 = 13

5² - 4 = 21

Logo, pode-se concluir que para uma coluna "n", o seu valor central será obtido através da seguinte lei geral: n² - (n - 1).

Desenvolvendo esse algoritmo, fica: n² - n + 1, isto é: n (n - 1) + 1. Assim, basta multiplicar-se o valor da coluna pelo seu antecedente e ao produto obtido adicionar uma unidade.

A título de exemplo, confirmemos para a oitava coluna. Ora 8 x 7 + 1 = 57. É, de facto, este o valor existente na anterior disposição numérica!

Se é fácil descobrir-se o valor final de cada coluna, por ser sempre um número quadrado, e sendo o quadrado do valor da coluna respectiva, será que também é fácil descobrir a lei geral que permite obter o valor inicial de cada coluna? (1, 2, 5, 10, 17, ...).

A tabela seguinte ajudará na análise dos dados:

Note-se que:

1 = 1² - 2 x 1 + 2

2 = 2² - 2 x 2 + 2

5 = 3² - 2 x 3 + 2

10 = 4² - 2 x 4 + 2

17 = 5² - 2 x 5 + 2

Assim n² - 2 x n + 2 será a lei geral que facilmente nos permite obter qualquer número inicial para cada coluna, conhecendo-se o número da coluna (n).

Qual será a lei geral que permite obter, nestas condições, a soma de cada coluna, conhecendo-se apenas o número da coluna?

Um dos algoritmos mais complexos das operações aritméticas elementares é o da operação multiplicação. De facto, uma vez que o nosso sistema de numeração é um sistema de valor posicional, quando a operação implica transporte, isto é, o famoso "e vai um" ou "e vão dois", etc., torna-se difícil, numa primeira abordagem ao algoritmo, perceber o que se está a fazer. De facto, qual o significado da expressão "e vai um"?. Para se perceber o que essa expressão significa tem que se dominar muito bem o conceito de base e o conceito de ordem ou valor posicional dos elementos envolvidos na multiplicação.

Em bom rigor veja-se como deverá ser o esquema figurativo inicial para se perceber, por exemplo, a seguinte multiplicação:

Repare-se que o algoritmo anterior depois simplifica-se com a seguinte conversa: "5 vezes 7 são 35. Fica 5 e vão 3. Cinco vezes cinco são 25, mais três que iam são 28. Fica o 8 e vão 2... e assim sucessivamente. Logo, trata-se de algo complexo, que carece de tempo para que se interiorizem estes procedimentos. Contudo vejam-se outros algoritmos, como seja o algoritmo egípcio, ou o russo ou ou indu-árabe, também designado por gelosia.

No caso do algoritmo egípcio, parte-se da regra de que um número inteiro ou é uma potência de base dois ou pode ser obtido através da adição de várias potências de base dois. Apesar de os antigos egípcios não conhecerem o conceito de potência usavam a ideia de que multiplicar por dois era dobrar o outro número, multiplicar por quatro era dobrar o dobro de dois esse número; multiplicar por oito era dobrar o dobro do dobro de dois esse número e assim sucessivamente.

Logo, por baixo do factor da direita iam usando o que mais tarde se veio a verificar como sendo as potências de base dois. Paravam o algoritmo quando conseguiam obter esse factor a partir de alguns dos valores que colocavam na respectiva coluna. Na coluna afecta ao outro factor iam colocando dobros sucessivos deste factor. Vejamos:

Como se sabe que 16 + 8 + 1 = 25, na outra coluna seleccionam-se os números correspondentes a estas três potências de base 2: o 5712, o 2856 2 o 357, respectivamente. Repare-se que:

5712 + 2856 + 357 = 8925

Em síntese, este algoritmo é bem mais simples do que o que usamos, pois usa só o conceito de dobro do número, as potências de base dois e implica apenas o saber fazer adições.

Já o algoritmo russo também é bastante simples, pois basta apenas encontrar metades sucessivas do 1º factor e dobros sucessivos do 2º factor. Nos casos de se obterem metades de números ímpares despreza-se sempe a parte decimal. Por último identificam-se os números ímpares que estão sob o 1º factor e seleccionam-se, como parcelas a adicionar, os respectivos números que lhe correspondem na coluna do outro factor. Vejamos:

Note-se que na coluna da esquerda existem alguns números ímpares: 357, 89, 11, 5 e 1. Por sua vez, os números que, respectivamente, lhes correspondem na coluna da direita são os seguintes: 25, 100, 800, 1600 e 6400.

Ora, adicionando-se estes números da coluna da direita obtém-se o valor pretendido, pois: 25 + 100 + 800 + 1600 + 6400 = 8925.

Já o método Indu-árabe ou de gelosia é muito parecido com o nosso algoritmo, pois esteve na sua base. Vejamos:

Repare-se que a resposta é 8925.

Interprete este último algoritmo, o de gelosia, e comprove que é fácil obter o valor 412650 como sendo o produto de 9825 por 42.