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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Aprender estratégias de cálculo mental em adições e subtracções

Dezembro 28, 2009

Paulo Afonso

Vivemos numa sociedade em que a tecnologia tem vindo a desempenhar um papel determinante na informação e na educação das pessoas. Não há jovem a partir do período adolescente, senão antes, que não possua, e não trate por tu, um ou mais telemóveis. Exímios na exploração desta ferramenta para a comunicação escrita entre amigos e conhecidos, não a dispensam, muitos deles, para guardar as suas fotos mais significativas bem como as músicas preferidas que vão ouvindo para ocupar algum do tempo livre que ainda vão tendo.

 

Já em casa, muitos deles têm o seu computador pessoal, que nalguns casos é portátil, o que significa que o podem utilizar em qualquer sítio. Além disto, se tiverem acesso ao fascinante mundo da Internet, podem usufruir de múltiplos serviços que a Rede lhes proporciona, desde a comunicação síncrona ou assíncrona com os amigos, à pesquisa de sítios de interesse pessoal. Navegar na Net tornou-se para os jovens de hoje um hábito, uma rotina comum, com a qual eles se sentem muito confortáveis ao nível de saberem tirar proveito para si próprios.

 

É por tudo isto, e muito mais, que eu acho a tecnologia muito importante, pois creio que temos pessoas com outras capacidades que não tínhamos há cerca de trinta anos atrás.

 

Já ao nível da sala de aula de matemática, a calculadora é uma ferramenta tecnológica que faz parte do material escolar comum da maior parte dos alunos. E é sobre a calculadora, ou melhor, da sua não utilização, que eu vou incidir a minha reflexão desta semana. 

 

Enquanto professor de Matemática é confrangedor ver adultos jovens, do ensino superior, que não sabem realizar mentalmente uma simples tabuada da multiplicação. Reféns das calculadoras ou desta funcionalidade nos seus telemóveis, evidenciam enormes dificuldades na realização mental de operações tão simples como sejam 9 x 6 ou 8 x 7. Se na minha modesta opinião este aspecto é deveras dramático e injustificável, muito me preocupa porque transporta com ele a ideia de que estes adultos jovens e alguns dos jovens adultos não têm desenvolvido o seu sentido crítico acerca da razoabilidade que um determinado resultado possa ser "disparado" pela máquina de calcular. Há neles uma confiança cega no que esta ferramenta lhes debita, mesmo que possa ter havido algum erro de digitação de algum número. Isto só pode ser revelador de ignorância e, desculpem-me os que assim não pensam, de falta de inteligência para consigo mesmos. Digo isto assim tão frontalmente e, porventura, de forma demasiado agressiva, porque viso ser deliberadamente provocador! 

 

Dominar as tabuadas da multiplicação é uma necessidade, diria eu, primária! Só há vantagem em que assim seja, pois ganha-se imenso tempo para a realização de cálculos mais complicados.

 

Dou, pois, de barato, a ideia de que o domínio das tabuadas da multiplicação deve ser uma obrigação! E não há outra forma de se aprenderem a não ser por via da memorização compreensiva. O recurso à calculadora será apenas para confirmação ou para fazer algumas actividades recreativas ou de estimativa, tema ao qual dedicarei atenção num dos próximos artigos.

 

Desta vez irei debruçar-me sobre algumas estratégias de cálculo mental para o caso das operações adição e subtracção, cujo domínio pode ser muito útil na vida quotidiana das pessoas. Contudo, como ponto prévio gostaria de referir que qualquer cálculo deveria ser precedido de uma tentativa de se adivinhar um possível resultado, admitindo um intervalo de erro mínimo. Sou, pois, adepto da ideia de que o cálculo mental não deve ser algo mecânico, desprovido de compreensão. Encontrar sentido para tudo o que se faz em matemática também passa por se calcular com sentido, com critério, com compreensão. Só assim estaremos preparados para enfrentar, sem demoras desnecessárias, a resolução de problemas desafiantes.

 

Iniciemos pela operação adição e pela vantagem em se procurar formar dezenas. Veja-se o seguinte exemplo: 36 + 17.

Note que 17 = 4 + 13, logo, 36 + 17 = 36 + 4 + 13 = 40 + 13 = 53.

 

E no caso de ser 14 + 68? Note-se que 68 = 70 - 2. Assim, 14 + 68 = 14 + 70 - 2 = 84 - 2 = 82.

 

Outra estratégia para o cálculo aditivo passa por se procurar obter parcelas iguais. Veja-se o seguinte exemplo: 34 + 37. A soma obtém-se muito rapidadente através do seguinte procedimento mental: 34 + 34 + 3 = 68 + 3 = 71. Veja-se outro exemplo semelhante: 113 + 134 = 113 + 113 + 21 = 226 + 21 = 247. Ou então, 134 + 134 - 21 = 268 - 21 = 247.

 

Já o cálculo por ordens também pode ser uma estratégia muito útil, senão vejamos para o caso: 73 + 25. Esta adição pode ser realizada mentalmente pela decomposição de cada parcela nas respectivas ordens: (70 + 3) + (20 + 5). Logo será (70 + 20) + (3 + 5) = 98.

 

E no caso de se ter 97 + 38? Ora, em casos como este, poder-se-á compensar um número para se completar uma dezena. Vejamos: (97 + 3) + (38 - 3) = 100 + 35 = 135.

 

Associarem-se várias parcelas para se obterem múltiplos de dez é outra estratégia muito útil. Vejamos o seguinte exemplo: 40 + 17 + 30 + 5 + 3. Uma possível resolução mental seria esta: (40 + 30) + (17 + 3) + 5 = 95.

 

Decompor os números para se obterem múltiplos de dez também poder ser muito útil, como no caso seguinte: 48 + 46. A resolução mental poderia ser a seguinte: (45 + 45) + (3 + 1) = 94.

 

Antes de abordar a operação subtracção, deixo a proposta de se resolver com estratégia de cálculo mental a seguinte adição envolvendo três parcelas: 27 + 35 + 46.

 

Ao nível da operação subtracção também irei sugerir algumas estratégias que podem ser muito úteis ao nível do cálculo mental.

 

Veja-se o caso de 87 - 25. Uma possível estratégia de resolução é subtrair por ordens: (80 - 20) + (7 - 5) = 62.

 

compensar para igualar a ordem das unidades do aditivo e do subtractivo pode ser outra importante estratégia, como se comprovará no caso seguinte: 84 - 37 = (84 + 3) + 37 - 3 = 87 - 37 - 3 = 50 - 3 = 47.

 

Por sua vez, decompor para igualar a ordem das unidades do aditivo e do subtractivo é outra possibilidade. Veja-se o seguinte exemplo: 83 - 36. A resolução poderá ser a seguinte: (83 - 33) - 3 = 47.

 

E no exemplo seguinte: 71 - 34? Uma possibilidade será a de compensar para se obter um múltiplo de dez no subtractivo: (71 + 6) - (34 + 6) = 77 - 40 = 37.

 

Por vezes, a estratégia mais óbvia é subtrair por partes. Vejamos: 71 - 34 = (71 - 30) - 4 = 41 - 4 = 37.

 

Estas são, pois, algumas estratégias de cálculo mental que gostaria de partilhar neste blog, esperando que o usufruto das mesmas contribua para melhorar o cálculo mental dos meus leitores nestas duas operações analisadas (adição e subtracção). Para a semana incidirei a minha reflexão nas operações multiplicação e divisão.

 

Como resolveria mentalmente a seguinte subtracção: 85 - 36?

 

Votos de um EXCELENTE ANO DE 2010!

Utilizar o minicomputador papy para fazer divisões

Dezembro 21, 2009

Paulo Afonso

Encerro a minha reflexão acerca do minicomputador papy, apresentando a sua utilidade para o cálculo de divisões exactas.

Este material pode ser utilizado para este efeito, pois parte-se do pressuposto que conseguir-se-á obter tantas marcas nas células quanto o valor do divisor. Analisemos o exemplo da divisão de 62 por 2:

Comecemos por representar a quantidade 62:

 

De seguida teremos que ir convertendo cada marca em duas, pois é esse o valor do divisor. Iniciemos a conversão do grupo de 40 em dois grupos de 20:

Por sua vez, um dos grupos de 20 deve ser convertido em duas marcas de 10:

Assim, na ordem das dezenas já só temos células com duas marcas, como é desejável. Passemos agora à ordem das unidades. A marca de valor 2 deve converter-se em duas marcas de valor 1 cada:

Terminada a conversão das marcas, no calculador papy apenas já só existem marcas aos pares, como era pretendido: 

Pode-se agora identificar o quociente desta divisão, que é o valor 31:

Qual será o quociente de 78 por 3?

Comecemos por representar a quantidade 78:

De seguida, a marca que vale 40 deve ser convertida em duas de 20:

Por sua vez, a marca que vale 10 deve ser convertida em 8 + 2:

Uma das marcas de valor 8 deve converter-se em duas de valor 4:

O mesmo deverá ocorrer com a outra marca de valor 8:

Uma dessas marcas de valor 4 deve converter-se em duas de valor 2 cada:

Eis que o resultado final já só contempla três marcas nas células:

Logo, o resultado final será 26:

Como utilizar este computador para a divisão de 75 por 2?

Multiplicar com o minicomputador papy

Dezembro 14, 2009

Paulo Afonso

Depois dos três artigos anteriores dedicados sempre ao minicomputador papy, eis que o vou explorar agora para o caso da operação multiplicação. A melhor forma de o fazer é usar um exemplo.

Imaginemos que pretendíamos encontrar o triplo de 33. Como fazê-lo com este material estruturado?

A primeira coisa a fazer será registar o valor 33:

De seguida como se pretende multiplicar este valor por 3, então dever-se-á multiplicar por esse valor (3) cada uma das marcas já existentes no minicomputador papy:

Por fim, ter-se-á que analisar se a quantidade de marcas em cada célula respeita as regras de utilização deste material. Como referi nos artigos anteriores, em cada célula só poderá haver uma marca no máximo. Sendo assim, duas das marcas na casa branca da ordem das unidades, valendo cada uma um ponto, deverão originar uma marca de valor dois, a colocar na célula vermelha:

Logo, na célula branca só fica uma marca. De seguida, cada duas marcas da célula vermelha (valendo 2 + 2) deverão originar uma marca de valor quatro, a colocar na célula rosa:

Na célula vermelha da ordem das unidades não ficará qualquer marca e as duas marcas da célula rosa, valendo 4 + 4, deverão ser substituídas por uma marca de valor 8, a coloca na célula castanha:

Após estas movimentações das marcas na ordem das unidades, resulta nesta ordem apenas uma marca na célula castanha e outra na célula branca, representando, pois, a quantidade 9.

Façamos um processo análogo para o caso das ordem das dezenas:

 

Vejamos que na ordem das dezenas também só ficou uma marca na célula castanha, representando a quantidade 80 e outra na branca, representando a quantidade 10. Assim, o resultado final é 99, isto é, o triplo de 33 é 99:

Como usar este material para o caso de se pretender obter o produto de 765 por 2? 

Utilizar o minicomputador papy para a realização de subtracções

Dezembro 07, 2009

Paulo Afonso

Nos dois artigos anteriores tive a oportunidade de reflectir acerca da utilização do minicomputador papy tanto no registo de qualquer quantidade inteira, como na realização de adições envolvendo ou não transporte.

Desta vez irei evidenciar a sua importante utilização para o cálculo de subtracções com e sem empréstimo.

Vejamos o exemplo simples de se obter o resto, excesso ou diferença de 67 menos 25.

Porque o conceito de subtracção pressupõe que o aditivo vá anulando o subtractivo para que haja resto, excesso ou diferença, então teremos de recorrer a dois tipos de marcas diferentes: as do aditivo serão negras e as do subtractivo serão brancas. Na linha respeitante ao resto, excesso ou diferença começaremos por colocar a totalidade das marcas envolvidas na subtracção. vejamos a figura explicativa:

Repare-se que no resto, excesso ou diferença existem três células com os dois tipos de marcas. Logo, podem anular-se. Vejamos a figura:

Consta-se, pois, que o resultado desta subtracção é 42. De facto, 67 - 25 = 42. Assim, o esquema final será este:

Como será o caso de 67 - 35?

Façamos o esquema inicial:

Note-se que já podemos anular as marcas em três células. Contudo ainda fica uma marca do subtractivo por anular. Logo teremos de arranjar uma maneira de uma das marcas negras, colocada a representar um valor maior do que esssa marca branca, se transformar em marcas que lhe deram origem, para que se possa proceder à anulação da marca branca. Ora sabemos que a marca situada na célula dos "quarenta" se pode converter em duas marcas na célula dos "vinte". façamos esta conversão:

 

De seguida desaparece do minicomputador papy a marca dessa célula dos "quarenta" e uma das marcas da célula dos "vinte" terá de converter-se em duas marcas na célula das dezenas. Façamos esta nova conversão:

Fica, então, apenas uma marca na célula dos "vinte" e já podemos proceder à anulação da marca branca através de uma das duas marcas negras que passaram a existir na célula das dezenas. Façamos, pois, esta anulação:

Em síntese, o resto, excesso ou diferença desta subtracção é, pois, o valor 32. De facto, 67 - 35 = 32. O esquema final é, então, o seguinte:

Concluimos, assim, que este material estruturado pode ter muita utilizade na realização de subtracções simples, onde não haja a necessidade de envolver o conceito do empréstimo. Contudo, como poderá utilizar-se este material para a seguinte subtracção: 67 - 19?

Façamos o esquema inicial:

Constata-se que em apenas uma célula é possível fazer uma anulação de imediato:

A marca que vale 20 tem de se converter em duas de valor 10 devido à marca branca que está situada na célula dos grupos de dez:

Pode-se agora anular essa marca branca:

De seguida, a marca negra que ainda existe na célula dos grupos de dez terá de ser convertida em 8 + 2, devido à marca branga que vale 8:

Anulemos, então, a última marca branca:

Após a anulação de todas as marcas brancas convém ver se o que resta pode ficar como está ou se ainda carece de alguma alteração. Eis o que resta:

Ora, como sabemos que uma célula só pode ter uma carca de cada cor, significa que as duas marcas na célua do 2 terão de originar uma nova marca na célula do 4. Vejamos o esquema:

Por sua vez, ao haver algora duas marcas na célula do 4 deverão originar uma marca n acélula do 8:

Logo, o esquema final terá como rexultado o valor 48. De facto, 67 - 19 = 48. Eis o esquema final:

 

Teste, agora, este material na seguinte subtracção: 125 - 66.

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