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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Análise numérica de padrões de natureza geométrica

Fevereiro 22, 2010

Paulo Afonso

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, quer seja em situações de recreação matemática, quer seja em situações de matemática mais formal.

 

As figuras seguintes visam evidenciar um padrão de crescimento, cuja natureza é geométrica. O desafio é o de se descobrir a figura seguinte que lhe dê continuidade e arranjar um qualquer tipo de fundamento que sirva de justificação para a decisão tomada.

 

Eis as figuras:

 

  

Uma possível abordagem a este desafio poderia passar por se olhar para cada uma das figuras como sendo a composição de outras figuras. Assim, a primeira figura poderia ser vista como sendo 1 quadrado unitário e um rectângulo de um por dois. Já a segunda figura poderia ser entendida como sendo 1 + 2 e um rectângulo de dois por três. Por sua vez, a terceira figura poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 e um rectângulo de três por quatro. Continuando, a figura da direita poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 + 4 e um rectângulo de quatro por cinco. Sendo assim, a próxima figura poderia ser formada pelos seguintes quadrados unitários: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e por um rectângulo de cinco por seis quadrados:

 

 

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos dedicassem algum esforço no sentido de, ao perceberem o padrão de crescimento, descobrissem a sua lei de formação. Isto é, será fácil prever, por exemplo, quantos quadrados unitários existirão na décima figura desta sequência de figuras geométricas? Qual será a sua forma?

 

Comecemos por analisar o número de quadrados unitários utilizados em cada uma das quatro figuras iniciais:

 

3     9     18     30

 

Vejamos a seguinte regularidade:

 

1º -- 3

2º -- 9 = 3 + 2 x 3

3º -- 18 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3

4º -- 30 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3

 

Desta regularidade destaca-se a lei geral de que para uma qualquer posição "n", exceptuando a 1ª, a quantidade de quadrados unitários envolvida será obtida pelos seguintes cálculos: 3 + 2 x 3 + ... + n x 3. Logo, no caso da décima figura, o número de quadrados envolvidos será:

 

3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3 + 5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 3 + 8 x 3 + 9 x 3 + 10 x 3 = 3 + 54 x 3 = 55 x 3 = 165.

 

Como em qualquer outra situação que envolva padrões ou regularidades deve estar sempre presente a preocupação de se melhorar ou até mesmo optimizar a estratégia de resolução a utilizar. Neste sentido, e fruto de uma observação, porventura, mais sistematizada e intencional, poder-se-á decompor cada valor numérico num determinado número e no seu dobro. Vejamos:

 

1º -- 3 = 1 + 2

2º -- 9 = 3 + 6

3º -- 18 = 6 + 12

4º -- 30 = 10 + 20

 

Por sua vez, se analisarmos os números afectos à 1ª parcela, em cada soma, verificamos que são sempre números triangulares (1, 3, 6, 10).

 

Logo, a próxima figura, a 5ª, seria formada pela adição do 5º número triangular e o seu dobro. Assim, 15 + 30 = 45, como pudemos verificar acima.

 

Dando continuidade a esta regularidade, confirma-se que a 10ª figura geométrica seria composta por 165 quadrados unitários, uma vez que o o 10º número triangular é o 55 [proveniente da aplicação da lei geral que gera os números triangulares (n2 + n) / 2] e o seu dobro é 110. Logo, 55 + 110 = 165.

 

Em síntese, poder-se-á concluir que cada  figura geométrica inicial é composta por uma figura triangular e uma figura oblonga, estando afectas a cada uma o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo:

 

1

+

1 x 2

3

+

2 x 3

6

+

3 x 4

10

+

4 x 5

 

Uma vez que a lei geral que gera os números triangulares é a seguinte: (n2 + n ) / 2, e a dos números oblongos é o dobro desta, isto é, n2 + n, então a lei geral que origina a seguinte sequência numérica (3, 9, 18, 30, ...) resulta da adição das duas anteriores: (n2 + n) / 2 + n2 + n. Logo, a lei geral é a seguinte: 3 x (n2 + n) / 2. Testando-a, por exemplo, para a 10ª figura geométrica, confirma-se que o valor numérico respectivo é o 165, pois: 3 x (102 + 10) / 2 = (3 x 110) / 2 = 330 / 2 = 165.

Eis a figura, composta pela respectiva componente triangular e pela respectiva componente oblonga:

55

+

10 x 11

 

Tendo em conta este raciocínio, qual o número de quadrados unitários envolvidos na 15ª figura geométrica? Qual o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo?

Figuras mágicas e tarefas de investigação matemática

Fevereiro 15, 2010

Paulo Afonso

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

 

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

 

 

 

 

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

 

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

 

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
1 46

9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23

7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23

 

9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23

8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23

8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23

8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

 

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

 

 

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

 

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24

8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24

8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24

8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

 

 

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

 

 

 

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

 

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
5 50

9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25

7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25

 

9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25

 

9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25

8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

 

 

Eis os três casos possíveis:

 

 

 

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

 

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

 

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

 

Valor a repetir Soma final
1 46
2 47
3 48
4 49
5 50
6 51
7 52
8 53
9 54

 

 

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

 

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

 

Vejamos a tabela respectiva:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32

6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

 

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

 

Um caso prático de números tetraédricos - empilhando esferas

Fevereiro 08, 2010

Paulo Afonso

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

 

 

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

 

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

 

 

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

 

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

 

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10

2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20

3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

  

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

 

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

 

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n2 + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (62 + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

 

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

 

Eis a respectiva figura:

 

 

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

 

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

 

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

 

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

 

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

 

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações, tal como já tive oportunidade de analisar num dos artigos deste blog: (3C3, 4C3, 5C3, 6C3, 7C3, 8C3, 9C3, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

 

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

 

 

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva  a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido. 

Dos problemas aos conceitos matemáticos - um caso de múltiplos e de divisibilidade

Fevereiro 01, 2010

Paulo Afonso

Muitos são os documentos de orientação metodológica para o ensino-aprendizagem da Matemática da actualidade que preconizam a ideia de que a resolução de problemas deve ser um dos mais importantes cenários metodológicos para que os alunos sejam capazes de construir o seu edifício matemático. A máxima "dos problemas aos conceitos" tem vindo, pois, a ser bastante veiculada no seio dos educadores matemáticos, pois através de situações desafiantes os alunos poderão aprender novos conceitos matemáticos ou revisitar, consolidando, os conceitos que já conhece.

 

O exemplo que escolhi para ilustar esta ideia retirei-o de um interessante livro de Margaret Edminston*, intitulado "Quebra-cabeças sobre Matemática". Eis o enunciado:

 

"Todas as manhãs, uma fazendeira recolhe os ovos que as suas galinhas puseram. Um dia, tropeçou à saída da capoeira e todos os ovos se partiram.

- Quantos ovos trazias? - perguntou-lhe a filha.

- Não sei - disse a mulher -, mas lembro-me de que quando dividi o número de ovos por 2, sobrou um ovo, quando dividi o número por 3 não sobrou nenhum, e quando dividi por 5 sobraram três ovos.

A mulher trazia mais de quatro ovos e menos de quarenta. Quantos ovos se partiram?" (Edminston, 2001, p. 40).

 

* - Edminston, M. (2001). Quebra-cabeças sobre Matemática. Lisboa: Replicação.

 

Este problema pode ser solucionado sem que o respectivo resolvedor possua elevados conhecimentos matemáticos. Contudo, ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos o associassem ao tema dos múltiplos de um número, bem como aos critérios de divisibilidade por 2, por 3 e por 5.

 

Interessante também seria se os alunos tecessem um raciocínio mais ou menos semelhante ao que apresento a seguir. Por um lado deduz-se que a fazendeira tinha obrigatoriamente de trazer um número ímpar de ovos, porque só assim poderia ter ficado com um ao dividir o número de ovos que tinha por 2. Por outro lado, o número de ovos que tinha era um múltiplo de 3, porque ao dividir esse número de ovos por este valor, não lhe restava qualquer ovo. Por fim, o número de ovos tem de ser um valor que ao dividir por 5 dê resto três.

 

Destas constatações infere-se uma regra que matematiza a situação em causa. A regra é esta: 5n + 3, pois evidencia um valor múltiplo de 5, mais 3 unidades, colocando-se a condição de "n" ser um número par, para que o valor final seja ímpar.

 

Como é referido no enunciado que o número de ovos está compreendido entre 4 e 40, o "n" nunca pode assumir o valor 8 ou superior, pois no caso de ser 8, já se excediam os 40 ovos.

 

Sendo assim, o "n" só poderá assumir os valores 2, 4 ou 6. Logo, o total de ovos poderá ser:

 

5 x 2 + 3 = 13 ou 5 x 4 + 3 = 23 ou 5 x 6 + 3 = 33. Contudo, como é dito no enunciado que o número de ovos tem de ser um múltiplo de 3, o valor a seleccionar é o 33.

 

Confirmando, 33 a divir por 2 dá resto 1; é múltiplo de 3, logo a divisão por 3 dá resto zero; e ao dividir por 5 dá resto 3.

 

Faça um raciocínio análogo para o seguinte enunciado:

 

"Tenho na minha posse três números inteiros, sendo cada um deles inferior a 10 unidades. Além disto, multiplicando os de menor valor, o produto obtido coincide com o número de maior valor. Sabe-se também que a soma dos três números é um número primo. Quais os três números em causa?"

Que outros enunciados semelhantes a estes conhece?

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