Conectar múltiplos conceitos entre si permite evidenciar a Matemática como sendo uma ciência harmoniosa, bela, muito bela, capaz de encantar os mais cépticos na hora da resolução de actividades, designadamente as de tipo recreativo. A figura seguinte pretende ser usada como essência para promovermos algumas interessantes reflexões a este respeito:

Importa, em primeiro lugar, tentar descrever a figura, isto é, como ela é constituída:

- Note-se que se trata de uma figura quadrada, formada exclusivamente por quadrados mais pequenos, todos eles geometricamente iguais.

- Além disto, ela tem quatro anéis, formados por números naturais consecutivos. No 1º caso começa no 1 e termina no 4, no 2º caso começa no 5 e termina mo 16, no 3º caso começa no 17 e termina no 36 e o último anel começa-se com o 37 e termina-se no 64.

- O número de quadrados numéricos unitários de cada anel obedece a uma regularidade: 4, 12, 20, 28, isto é, sendo "a" o número de ordem de cada anel, a lei geral que determina o número de quadrados por anel é a seguinte: 4 + a x 8, pertencendo "a" ao conjunto dos números inteiros.

- É interessante analisar-se o conjunto dos maiores números de cada anel: 4, 16, 36 e 64. Certamente terá observado que se trata dos quadrados dos quatro primeiros números pares, isto é: 2², 4², 6² e 8².

- Será interessante perguntarmo-nos onde estarão posicionados os quadrados dos quatro primeiros números ímpares?: 1, 9, 25, 49.

Uma observação mais atenta permite a constatação de que todos eles estão numa mesma linha oblíqua:

Tendo em conta as análises acabadas de fazer, qual será o maior número do próximo anel? Será que o quadrado do próximo número ímpar continuará na mesma linha oblíqua dos quadrados dos números ímpares anteriores?

A figura seguinte certifica que estaremos na presença do quadrado do próximo número par (100) e na presença do quadrado do próximo número ímpar (81), que é o quadrado do 9:

Se a figura se prolongasse até ao vigésimo anel, qual seria o maior valor desse anel? E qual seria o quadrado do número ímpar a dar continuidade à linha dos quadrados do números ímpares?

O tema das regularidades e dos padrões, quer sejam numéricos ou geométricos, tem merecido alguma reflexão no seio deste blog. Desta vez vou conectar uma das mais importantes figuras geométricas  - o hexágono - a regularidades de natureza numérica.

A figura seguinte, iniciada pelos primeiros cinco números naturais é construída da seguinte forma: qualquer valor numérico, exceptuando os da linha de cima, resulta da soma dos dois números que estão sobre ele na fila imediatamente acima. Quando a soma de dois desses valores ainda tem dois dígitos, estes adicionam-se e apenas o valor desta soma é colocado na figura. A título de exemplo, 5 + 7 = 12 e 1 + 2 = 3. Logo, será o valor 3 a colocar sob os valores 5 e 7:

Investigar qual será o valor final se se substituírem os valores da linha de topo pelos respectivos dobros.

Este desafio suscita que se possa conjecturar que o valor final também será o dobro do valor final existente na figura anterior. Testemos esta conjectura:

Confirma-se, pois, a estimativa acabada de fazer, o que nos leva a pensar que se a linha de topo for formada por valores que são o triplo dos respectivos valores iniciais, o valor final também será triplo do primeiro valor final. Eis a figura que confirma esta ideia:

Como será o estudo semelhante para os cinco números naturais consecutivos iniciados pelo 2? E com os seus respectivos dobros e triplos também ocorrerão regularidades semelhantes a estas acabadas de verificar?

As três figuras seguintes permitem verificar-se que sim:

De facto, o valor final passou de 1 para o seu dobro (2) e para o seu triplo (3), respectivamente.

Tendo em conta a investigação acabada de realizar, explique a relação que existe entre as três figuras seguintes: