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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Hexágonos mágicos

Setembro 24, 2010

Paulo Afonso

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog por variadíssimas ocasiões. Desta feita vou socorrer-me de uma figura geométrica muito apreciada no seio da Matemática, que é o hexágono regular. Muito se poderia dizer acerca deste tipo de figura, desde logo a sua associação ao importante labor das abelhas é algo que surpreende cada um de nós.

  

Do ponto de vista geométrico, a sua capacidade de gerar planificações perfeitas é um dos aspectos de maior relevo no seu estudo. Contudo, não será sobre estes aspectos que irei incidir a minha reflexão. Vou, antes, utilizar os hexágonos regulares para se fazer uma exploração ao nível das figuras e das somas mágicas.

  

O objectivo é colocar alguns dos números de 1 a 9 nos seis triângulos equiláteros que formam a figura seguinte, não se podendo repetir qualquer destes números, por forma a obter-se a soma mágica 25:

  

 Duas soluções possíveis são as seguintes:

  

     

Numa tentativa de decomposição do 25 em seis parcelas todas diferentes, seria desejável que em contexto de sala de aula de Matemática surgissem mais dois casos de sucesso:

 

   

Com estes quatro exemplares poder-se-iam explorar diversas situações de recreação matemática. Contudo, o desafio é o de se usarem estes quatro módulos para se proceder à pavimentação ilustrada na figura seguinte (um novo hexágono regular), tendo, para tal, que redistribuir os valores em cada um destes quatro módulos para que a soma em cada hexágono se mantenha no valor 25:
 

 

Eis uma solução possível:

 

 

 

 

Como se pode verificar cada hexágono mantém a soma 25.

 

Proceder de igual modo para o preenchimento de um novo hexágono mágico (desta vez é um irregular), de soma 25 em cada módulo hexagonal:

 

 

 

 

 

 

Dependência numérica - um caso de regularidades

Setembro 17, 2010

Paulo Afonso

No âmbito da recreação matemática faz todo o sentido confrontar as pessoas com situações problemáticas, quebra-cabeças, puzzles ou tarefas de investigação que impliquem uma avaliação permanente durante o próprio processo de resolução e não apenas ao fim, após a obtenção de uma eventual solução.

 

Ora no final do meu período de férias de Verão tive a oportunidade de visitar a sede da Associação de Professores de Matemática em Lisboa (APM) e deparei-me com uma caixinha cúbica colorida que me despertou, de imediato, a atenção. Associada à sugestiva caixa estava um título que também contribuiu decisivamente para a sua aquisição: "Génio da Matemática - descubra o prazer da Matemática" do autor Charles Phillips.

 

Num breve resumo acerca do conteúdo da caixa podia ler-se "A matemática é divertida - e os quebra-cabeças são óptimos para aprender os seus fundamentos [...]". Claro está que não hesitei em adquirir esta enigmática caixa. Ao sair da sede, a primeira coisa que fiz no carro foi abrir a caixa para saber qual era o seu conteúdo. Eis que encontrei um exemplar das Torres de Hanói e um mini-livro com cerca de 100 problemas, todos eles muito ricos em termos desta área do saber, que é a Matemática Recreativa.

  

De vários problemas que despertaram a minha curiosidade, escolho para reflexão o problema 35, existente na página 78 desse precioso livrinho. Vejamos a imagem seguinte:

 

 

O objectivo do problema é o de se colocarem nas células vazias os números inteiros de 4 a 9, inclusive, mas tendo em conta as seguintes condições:

1- Não pode haver números repetidos;

2 - Ter-se-ão que adicionar cada par de números adjacentes na vertical e na horizontal e não pode haver somas repetidas.

 

Ora, como o leitor terá a oportunidade de experimentar, trata-se de um desafio muito interessante, pois possibilita mais do que uma solução. Além disto incute no resolvedor a necessidade permanente de fazer verificações durante todo o processo de resolução, pois as duas condições prévias a isso obrigam.

 

Eis uma solução possível:

 

 

Verificando cada soma, temos os seguintes resultados:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 2 = 3

b) 2 + 3 = 5

c) 5 + 6 = 11

d) 6 + 7 = 13

e) 4 + 8 = 12

f) 8 + 9 = 17

a) 1 + 5 = 6

b) 5 + 4 = 9

c) 2 + 6 = 8

d) 6 + 8 = 14

e) 3 + 7 = 10

f) 7 + 9 = 16

 

Constata-se, pois, que não há somas repetidas e, além disto, todos os números inteiros do 1 ao 9 constam na figura.

 

Como referi anteriormente, trata-se de uma situação que não pode ser resolvida sem que haja verificações permanentes durante o processo de resolução. De facto, a estratégia da tentativa e erro, só por si, não será uma estratégia muito válida, pois carece de várias tomadas de decisão por parte do resolvedor, uma vez que tem de ter em linha de conta as dezasseis somas em simultâneo.

 

Porque sou muito curioso e tenho por hábito extrapolar as situações de que gosto de resolver a outros contextos, pensei para mim próprio se o desafio fosse colocado tendo em conta exclusivamente os nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17). Desafiei-me, então, com a seguinte figura:

 

 

 

Depois de algum tempo dedicado à resolução, com muitos avanços e recuos, lá descobri uma possível solução:

 

 

Realizando a confirmação final, eis as dezasseis somas obtidas:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 3 = 5

b) 3 + 5 = 8

c) 9 + 11 = 20

d) 11 + 13 = 24

e) 7 + 15 = 22

f) 15 + 17 = 32

a) 1 + 9 = 10

b) 9 + 7 = 16

c) 3 + 11 = 14

d) 11 + 15 = 26

e) 5 + 13 = 18

f) 13 + 17 = 30

 

Continuando a apelar ao meu sentido indagador procurei investigar se haveria algum aspecto comum às duas resoluções e, de imediato, apercebi-me que a colocação dos valores nas células dependia de um padrão, que é o seguinte:

 

 

De facto, o menor dos valores estava sempre colocado na célula superior esquerda e o maior deles ocupava sempre a célula inferior direita. Além disto, a linha de cima continha sempre os três menores valores de cada sequência numérica, aumentando da esquerda para a direita. o mesmo se passava na segunda linha, com interrupção do 4º elemento cuja posição era sempre a da quadrícula inferior esquerda. Por fim, entre este valor e o mais elevado ficava sempre o 8º valor.

 

Como consequência imediata desta constatação, quis testar esta regularidade com os nove primeiros números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18). Foi então que sem qualquer tipo de esforço mental me limitei a distribuir estes nove valores nas respectivas posições da nova figura. Eis o resultado:

 

 

Uma vez mais, confirma-se a regularidade ou padrão numérico identificado, pois as dezasseis somas foram todas diferentes:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 2 + 4 = 6

b) 4 + 6 = 10

c) 10 + 12 = 22

d) 12 + 14 = 26

e) 8 + 16 = 24

f) 16 + 18 = 34

a) 2 + 10 = 12

b) 10 + 8 = 18

c) 4 + 12 = 16

d) 12 + 16 = 28

e) 6 + 14 = 20

f) 14 + 18 = 32

 

Por fim fui consultar a solução que o autor apresentava para o desafio colocado e constatei que era diferente do que eu tinha obtido:

 

 

Note-se que a disposição dos números já não obedece ao mesmo padrão anterior. Por isso desafio cada leitor a descobrir o novo padrão e a testá-lo também com os primeiros nove números ímpares e, depois, com os primeiros nove números pares.

Kakuro e pensamento aritmético

Setembro 10, 2010

Paulo Afonso

No artigo anterior tive a oportunidade de me debruçar sobre a potencialidade que o jogo do Sudoku tem ao nível do desenvolvimento da comunicação matemática de quem seja solicitado a explicar oralmente e/ou por escrito o preenchimento numérico das células vazias de cada conjunto de números naturais consecutivos. Para o artigo desta semana continuo a dedicar atenção a mais um jogo de desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático, de nome Kakuro. Como refere Moore* (2005), "O nome kakuro resulta da contracção da palavra japonesa «adição» com a pronunciação japonesa da palavra inglesa «cross», que em português significa cruzar" (p. 7). Em síntese, poder-se-á dizer que se trata de um jogo de "somas cruzadas".

  

* - Moore, G. (2005). O Livro do Kakuro. Queluz de Baixo: Editorial Presença.

  

Vejamos um exemplo, extraído do livro supra referido:

  

 

Para se perceber melhor o que é necessário fazer-se, vamos centrar a nossa atenção apenas nas cinco células vazias do canto superior esquerdo da figura: 

 

 

As setas indicam o sentido em que estas células têm de estar afectas aos números "pista" que são fornecidos. Sendo assim, a seta superior horizontal indica que as duas células que estão à direita do valor 3 terão de conter dois números naturais não repetidos, cuja soma seja 3. Por sua vez, a seta horizontal de baixo indica que as duas células à direita do 4 terão de ser preenchidas com dois números naturais, diferentes entre si, cuja soma seja 4. Contudo, o desafio de se preencherem estas quatro células não pode deixar de ter em consideração as setas verticais, isto é, a seta vertical da esquerda indica que por baixo do valor 4 terão de ser colocados dois números naturais diferentes entre si, cuja soma seja 4. Por sua vez, a seta vertical da direita indica que as tês células existentes por baixo do 7 terão de ser preenchidas por três números naturais diferentes entre si, cuja soma será precisamente o valor 7.

 

Tendo em conta todas as condições acabadas de descrever, eis que apenas uma das duas possibilidades de resolução é correcta, por nunca repetir os números numa mesma adição. Trata-se da figura da direita:

 

 

Note-se que na figura da esquerda para a segunda adição horizontal repete o valor 2, o que não é permitido neste jogo. Sendo assim, a figura inicial poderia ser preenchida nesta parte:

 

 

Centremos agora a nossa atenção numa outra parte da figura, designadamente na sua parte direita:

 

 

Tendo em conta as várias adições horizontais e verticais a fazerem-se, eis uma possível solução para a parte superior desta figura:

  

 

  

Continuando, facilmente se percebe que em termos de raciocínio aritmético se deve afectar o valor 8 à soma 24. Por outro lado, a quadrícula do canto inferior direito também é de fácil preenchimento:

 

 

 

Agora torna-se fácil sugerir o valor 3 para o que resta da adição vertical de soma 6:

 

 

  

Centremo-nos, agora, numa outra parte da figura, o canto inferior esquerdo:

 

 

Uma vez mais, cruzando as duas somas horizontais com as duas somas verticais, eis uma possível solução:

 

 

Transportemo-la para a figura inicial:

 

 

 

Restam apenas os quatro valores centrais. Estes estão dependentes simultaneamente de duas adições horizontais cujas somas são, respectivamente, 8 e 6, bem como de duas adições verticais cujas somas são, respectivamente, 11 e 12. No caso da soma horizontal de valor 8 já existe uma parcela de valor 4, faltando apenas o preenchimento de duas parcelas cujo valor total terá de ser também 4. Não se podendo repetir o valor 2, pode optar-se por se colocar o valor 1 e o valor 3:

 

  

Por sua vez, para a soma 12 vertical falta o valor 1:

 

 

 

 Por fim, para a soma vertical 11 e para a horizontal 6 falta apenas o valor 2:

 

 

 

Confirma-se, pois, que cada soma tem as suas respectivas parcelas correctamente preenchidas.

 

Com base nesta análise preencha o jogo seguinte, extraído, igualmente da obra de Moore supra citada:

 

 

 

Sudoku e comunicação matemática

Setembro 01, 2010

Paulo Afonso

Desenvolver a capacidade de comunicar ideias e raciocínios matemáticos é um dos principais objectivos que a Escola visa atingir com os seus alunos. Levá-los a explicar oralmente e/ou por escrito as suas tomadas de posição é uma ajuda preciosa para que o professor possa perceber "por onde o aluno andou". Percebendo isso, mais facilmente o poderá orientar no caso de haver necessidade de refazer algum procedimento de cálculo ou de outra natureza.

 

Em termos de metodologia de trabalho, está sobejamente investigado que o aluno fica especialmente motivado para a Matemática quando está envolvido em contexto de jogo. Ora, o jogo do Sudoku, recentemente explorado nos mais variados meios de recreação matemática, pode ser entendido como sendo um potencial dínamo para o desenvolvimento da comunicação matemática dos seus resolvedores. Digo isto, porque a colocação de um novo número nas lacunas que há que preencher obedece a raciocínios logicamente encadeados, por forma a que não haja repetição de números onde isso não é possível ocorrer.

 

Nestas merecidas férias cruzei-me com um interessante livro de Gareth Moore, intitulado "Entrena Mentes en cualquier Momento del Dia"*, em que a primeira actividade solicitava que se preenchesse o seguinte "mini" Soduku:

  

 

* - Moore, G. (2009). Entrena Mentes en cualquier Momento del Día. Madrid: Ediciones SM.

 

Note-se que este Sudoku é diferente dos que usualmente costumamos encontrar em livros da especialidade ou nas usuais propostas de actividade de recreação matemática em revistas ou jornais, uma vez que só utiliza os seis primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5 e 6).

 

Contudo, o seu preenchimento obedece à tradicionais regras do Sudoku dos nove números, pois em cada linha horizontal ou vertical têm que constar todos e apenas uma vez esses seis números e em cada um dos seis rectângulos formados por seis quadrículas também têm de constar esses seis números e apenas uma vez.

 

O principal objectivo de eu escrever este primeiro artigo deste novo ano lectivo de 2010/2011 prede-se não somente com o desafio de se preencherem os espaços em branco, mas, principalmente, em explicitar por escrito todo o raciocínio empregue na sua resolução.

 

Assim, uma primeira dificuldade é explicar o começo da resolução. Uma possibilidade é evidenciada na imagem seguinte:

 

 

Note-se que o conjunto de números formado pelos elementos 1, 2, 5 e 6 do cimo e meio da figura ainda carecia dos números 3 e 4. Contudo, o 3 não poderia ser colocado ao lado do 6, uma vez que essa linha horizontal da contemplava o 3. Logo, o 3 só poderia ser colocado à esquerda do 1 e por baixo do 5. Sendo assim, ao lado do 6 teria de ficar o 4:

 

 

Pela mesma ordem de ideias, o mesmo conjunto de números (1, 2, 5 e 6) do meio da figura me baixo só pode ter o 4 junto do 6, porque o 3 já consta dessa última linha horizontal:

 

 

A colocação deste 4 obriga a que o 3 fique à direita do 1 e por cima do 5:

 

 

Estão, pois, preenchidas as duas primeiras colunas. Note-se agora que na célula que resulta do cruzamento entre a segunda linha e segunda coluna já não poderá ser colocado o 2, o 3, o 4, o 5 ou o 6. Logo só poderá ser colocado aí o número 1:

 

 

O raciocínio anterior é válido para a célula que resulta do cruzamento entre a penúltima linha e a penúltima coluna. Logo, aí também já só poderá ser colocado o número 1:

 

  

Note-se que no conjunto das seis quadrículas do canto superior direito da figura ainda falta o número 1. Veja-se que ele já não pode ficar nem na 2ª nem na 3ª linha, pelo que lhe fica reservado o espaço correspondente à última quadrícula da 1ª linha:

  

  

Centremos agora a atenção no primeiro rectângulo das seis quadrículas. Aí já constam os números 1 e 3, faltando, pois, os números 2, 4, 5 e 6. Relativamente ao número 2 ele já existe na 1ª e na 2ª linha, o que implica que será na terceira linha que ele deverá ser colocado. Ora, como estas seis quadrículas já impedem que o 2 seja colocado por baixo do 1, logo só resta a possibilidade de ele ser colocado no início da terceira linha horizontal:

 

 

Veja-se, agora, que o número 6 já existe na primeira linha e na segunda. Logo, relativamente ao conjunto dos seis números do canto superior esquerdo da figura o 6 terá de ficar à direita do 2 e por baixo do 1:

 

 

 Veja-se que à segunda coluna só falta o número 5:

 

 

Preencheu-se, pois, mais uma coluna. Centremo-nos agora novamente nos números do canto superior direito da figura, isto é, no 1, 2 e 6. Pelo facto de o 3 já existir na coluna do 6, na 1ª linha e na 3ª linha, implica que neste ponto da figura terá de ficar posicionado à direita do 6, por baixo do 1:

 

 

É fácil de constatar que na segunda linha horizontal da figura já só falta o número 4:

 

 

Fica, pois, preenchida a segunda linha horizontal! Repare-se, agora que a célula do canto inferior direito já só pode ser ocupada pelo valor 5, pois este número já consta na antepenúltima e penúltima linhas:

 

 

Ficou então completada a última linha horizontal. Por sua vez, no início da penúltima linha horizontal só pode usado o valor 3, porque na respectiva linha superior e linha inferior esse número já existe:

 

 

 

Como consequência, à 1ª coluna só falta o valor 6:

 

 

 

Fica, pois, completa a 1ª coluna. Note-se, agora que nas seis quadrículas do canto inferior direito da figura existem os seguintes números: 1, 3, 5. Faltando o 2, este já não pode ser colocado por cimo do 5 porque essa linha já tem o 2, nem por cima do 1, porque essa coluna também já tem o 2. Logo, resta a posição seguinte:

 

 

Logo, nessa linha falta apenas o 4:

 

 

Completada que está mais esta linha horizontal, falta à penúltima coluna apenas o valor 5:

 

 

Faltam apenas dois números para que o Sudoku fique completo! Entre o 2 e 5 só pode ficar o valor 6:

 

 

Por fim, falta colocar o valor 4:

 

 

Fazendo-se a verificação constata-se que em nenhuma linha horizontal ou vertical se repete qualquer dos seis números. Além disto, por cada conjunto de seis números, formando uma figura rectangular, também não há repetição de qualquer um deles.

 

Utilize o mesmo tipo de procedimento comunicativo para preencher correctamente o seguinte Sudoku, extraído do livro "O jogo mágico dos números Sudoku", da autoria de Michael Mepham.**:

 

 

 

** - Mepham, M. (2005). O jogo mágico dos números - Sudoku. Lisboa: Sábado.

 

Como se sabe, para cada linha, cada coluna e para cada conjunto de 3 x 3 quadrículas devem constar todos, e apenas uma vez, os primeiros nove números naturais. Explique o raciocínio utilizado.

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