O número nove tem sido por diversas vezes alvo de múltiplas explorações matemáticas, por ocupar um papel muito especial no nosso sistema de numeração decimal. Quem não se lembra de, em tempos idos, utilizar a prova dos noves nos primeiros anos da escolarização básica? Era um método interessante de verificar se as "contas" aritméticas elementares estavam ou não erradas.

  

Sobre este fantástico ente matemático destaco uma excelente publicação* de Cecil Balmond, intitulada "O Número 9 - Em Busca do Código Sigma", publicado pela Editora Replicação.

  

Trazer pela segunda vez a este Blog de Matemática Recreativa o tema do número nove, significa que o mesmo pode continuar a suscitar tarefas lúdicas que merecem a nossa reflexão.

  

* - Balmond, C. (2000). O Número 9 - Em Busca do Código Sigma. LIsboa: Replicação.

  

Comecemos por encontrar a diferença entre o número 980 e  o mesmo número escrito ao contrário, isto é: 089. Eis a respectiva subtracção e tomemos atenção ao resultado da mesma:

  

  980

- 089

   891

 

Curiosamente o 9 aparece no resultado e os restantes dois dígitos desse resultado, quando adicionados, também originam a soma 9, pois 8 + 1 = 9.

 

Vejamos o que se passa se o valor inicial for o 981. Ora, a sua escrita ao contrário é 189. Façamos a respectiva subtracção:

 

  981

-189

  792

 

Note-se que o 9 voltou a aparecer no resultado e note-se, também, que a soma dos restantes dois dígitos desse resultado continua a ser 9, pois: 7 + 2 = 9.

 

Tendo em conta esta regularidade, quais serão os respectivos aditivos e os respectivos subtractivos para que se obtenham os seguintes restos, excessos ou diferenças:

 

a) 693

b) 594

c) 495

d) 396

e) 297

f) 198

 

Perante este desafio seria desejável que os resolvedores estimassem que o valor do aditivo deverá continuar a crescer uma unidade de cada vez, pois ao passar de 980 para 981, o resto, excesso ou diferença passou de 891 para 792, isto é o algarismo das centenas decresceu uma unidade, passando de 8 para 7, e o das unidades cresceu uma, passando de 1 para 2. Logo, é legítimo supor-se que se o aditivo crescer para 982, o resultado respectivo da subtracção terá o algarismo das centenas a continuar a decrescer uma unidade (7 para 6) e o das unidades a crescer uma (2 para 3), mantendo-se o 9 como valor central. Testemos esta conjectura:

 

 982

-289

 693

 

Confirmada que está a conjectura, basta dar continuidade a esta regularidade e eis as respectivas soluções:

 

983 - 389   594	984 - 489   495	985 - 589   396	986 - 689    297	987 - 789    198

Note-se, pois, que os resultados continuam a ter o 9 como valor central e os restantes dois dígitos continuam a originar a soma 9. Esta curiosidade matemática permite que desafiemos um qualquer nosso amigo ou familiar com uma tarefa deste género, pedindo que no final nos indique um dos números do resultado, que não seja o valor central, isto é, deverá ser indicado o das centenas ou o das unidades, explicitando esta ordem ou valor posicional, para que consigamos adivinhar, de forma mágica, os restantes dois valores desse resultado.

 

O que acontecerá se se fizer um estudo semelhante com os seguintes aditivos:

 

a) 9870

b) 9871

c) 9872

d) 9873

e) 9874

f) 9875

g) 9876

 

Analise os resultados das respectivas subtracções com os mesmos valores escritos aos contrário e tire conclusões. O que poderá concluir-se?

Sendo o tema das figuras mágicas muito apropriado para o desenvolvimento de actividades de recreação matemática, desta vez vou incidir a minha reflexão não em figuras planas mas, sim, numa tridimensional - o cubo. Sobre este sólido geométrico muitas considerações de natureza matemática e histórica poderiam ser feitas. Desde logo por ser um importante sólido platónico, mas também por possibilitar um estudo de natureza investigativa muito interessante acerca das suas possíveis planificações. De facto, investigar quantos são os hexaminós susceptíveis de originar um cubo é uma tarefa que deve ser implementada não só em termos de recreação matemática, mas também num contexto de matemática mais formal e em sala de aula.

  

Centremo-nos, então, no cubo como podendo ser uma figura sólida mágica. O desafio a desenvolver é o seguinte. Colocar, todos e apenas uma vez, os oito primeiros números naturais nos vértices do cubo, por forma a que a soma dos quatro números existentes em cada face seja sempre a mesma.

  

Uma possível solução é a seguinte:

 

 

 

Note-se que em cada uma das seis faces do cubo, a soma dos números aí existentes é sempre 18:

 

a - 6 + 3 + 8 + 1 = 18

b - 1 + 8 + 2 + 7 = 18

c - 2 + 7 + 4 + 5 = 18

d - 4 + 5 + 3 + 6 = 18

 

Esta tarefa, podendo ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro, deveria ser utilizada em contexto de sala de aula para o desenvolvimento do sentido do número e como exemplo ilustrativo de como a matemática permite muitas conexões entre a componente geométrica e a a numérica.

 

Seria muito interessante que os resolvedores se apercebessem que o total dos oito números envolvidos nesta tarefa originam uma soma 36:

 

 

Logo, trata-se de um valor que deve ser dividido em duas partes iguais, uma vez que as duas faces opostas terão de originar a mesma soma numérica. Estamos a falar do valor 18. Por sua vez, este valor terá de ser obtido pela adição de quatro parcelas diferentes. Contudo, como cada par de números assentes em dois vértices adjacentes faz parte, ao mesmo tempo, de duas faces adjacentes, implica que a sua soma seja 9. Ora este conjunto de oito números permite que isso aconteça:

 

 

Assim, sendo, a estratégia de tentativa e erro deverá ser substituída por este tipo de raciocínio mais estruturado. Note-se que duas das quatro arestas de cada face do cubo anterior contêm um par de números cuja soma é sempre 9.

 

O desafio seguinte é fazer-se um estudo semelhante para o caso de os oito números envolvidos na tarefa serem do dois ao nove, inclusive. Como fazer?

 

Uma estimativa interessante será a de substituir de forma directa e imediata cada valor do cubo anterior pelo seu consecutivo. Vejamos como fica a imagem do cubo:

 

 

Note-se que se passou a obter uma nova soma mágica, de valor 22 e cada par de números afecto a duas das quatro arestas de face do cubo passou a somar 11.

 

Qual será a nova soma mágica que os oitos números consecutivos iniciarem agora no valor 3?

 

Utilizando o procediemento heurístico anterior, a nova soma tem o valor 26, havendo em duas das quatro arestas de cada face do cubo dois números cuja soma é 13:

 

 

Note-se que da 1ª para a 2ª figura, a soma passou de 18 para 22 e da 2ª para a 3ª passou de 22 para 26. Isto significa que por cada figura que se inicie terá sempre uma soma mágica que será igual à soma mágica anterior acrescida de quatro unidades. Ora se tivermos em linha de conta os oito números envolvidos em cada figura, como os poderemos relacionar com a respectiva soma mágica obtida?

 

Esta questão permite algumas explorações matemáticas interessantes. Uma delas pode ser a seguinte: a soma mágica que se obtém resulta sempre do dobro da soma dos dois valores extremos:

 

1ª -  18 = 2 x (1 + 8)

2ª - 22 = 2 x (2 + 9)

3ª - 26 = 2 x (3 + 10)

 

Por outro lado poderemos associar a soma obtida ao menor dos oito números utilizados. Vejamos:

 

Menor Valor	Soma Mágica Obtida:
1 2 3	18 22 = 18 + 1 x 4 26 = 18 + 2 x 4

 

Logo, para qualquer valor inicial "n", a soma mágica "s" obtida será sempre originada pelo seguinte algoritmo:

 

s = 18 + (n - 1) x 4

 

Tendo em conta esta lei geral, qual será a soma mágica de um cubo mágico que contemple oito números naturais consecutivos, iniciados pelo valor 15?