O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas actividades de recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis gerais que definem o comportamento matemático de um fenómeno de natureza geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer.

O exemplo que trago para reflexão assenta em figuras de natureza geométrica que obedecem a um determinado tipo de regularidade ou padrão de crescimento. Qual será a figura que dará continuidade a esta sequência de figuras?

Como a pergunta é de natureza geométrica, será muito fácil perceber-se que a próxima figura terá de ter uma nova fronteira de quadrados que respeita a colocação das "fronteiras" anteriores, isto é:

Contudo, outro tipo de estratégia de resolução poderia passar pela contagem dos quadrados unitários existentes em cada figura anterior. O objectivo seria o de se verificar se existia algum tipo de regularidade, de modo a que fosse mais fácil continuar essa eventual regularidade.

Façamos a contagem: 1, 5, 13, 25,...

Esta sequência numérica permite que relacionemos os vários números da seguinte forma:

1 = 1 + 0 x 4

5 = 1 + 1 x 4

13 = 1 + 3 x 4

25 = 1 + 6 x 4

Verifiquemos o tipo de números que estão a multiplicar o factor 4. Exceptuando o 1º caso, os números 1, 3  e 6 fazem parte da sequência de números triangulares, tema ao qual já dediquei alguns artigos neste blog. Como sabemos, a lei geral que gera este tipo de números figurados (f) é a seguinte: f = (n² + n) : 2. Logo, substituindo o "n" por 4, por ser a 5ª figura, o valor de "f" será o seguinte: (4² + 4) : 2 = 10. Sendo assim, a próxima figura teria 1 + 10 x 4 quadradinhos unitários, isto é, 41 quadradinhos:

Como confirmação, e atendendo às cores, temos, pois, 1 + 4 + 8 + 12 + 16 = 45 quadradinhos unitários. Sendo assim, qual será a lei geral que nos permite obter o número de quadradinhos de qualquer figura que dê continuidade a estas?

Pela exposição acima, o total de quadradinhos (t) de uma figura deste tipo resulta da seguinte lei geral: t = 1 + [(n² + n) : 2] x 4, sendo "n" o número de ordem da figura que se pretende investigar menos uma unidade. Isto é, se a figura a estudar for a 20ª, o valor der "n" será 19, o que dará o valor do 19º número triangular.

Sendo assim, qual o total de quadradinhos que compõem a 9ª figura deste tipo? Aplique a generalização acabada de inferir e confirme com a construção da figura.