Saltar para: Posts [1], Pesquisa [2]

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Pentágonos em relação algébrica

Março 19, 2011

Paulo Afonso

Conectar figuras geométricas a actividades que promovam o pensamento algébrico pode servir de contexto para se estabelecerem relações entre a Matemática Recreativa e a Matemática dita mais formal. O exemplo que trago para se reflectir sobre este tema baseia-se em pentágonos não regulares.

 

Uma primeira tarefa passa por se compararem as seguintes figuras, no sentido de se identificarem aspectos comuns a ambas:

 

Uma primeira apreciação não pode deixar de salientar o tipo de figuras que está em causa. Trata-se de dois pentágonos irregulares. Além disto, poder-se-á descrever a forma como cada figura é constituída. A este nível poder-se-á referir o seguinte:

 

a) o lado de cima a figura da esquerda tem dois elementos e o da direita tem mais um;

b) nos lados adjacentes ao lado acabado de analisar, em ambas as figuras contabilizam-se três elementos em cada um destes lados;

c) nos dois restantes lados de cada figura constata-se que os da figura da esquerda têm quatro elementos e os da figura da direita têm mais um elemento cada.

 

Em termos de número de elementos que compõem cada figura, a da esquerda é formada por uma fronteira composta por 11 elementos e com um interior formado por 4 elementos. Isto perfaz um total de 15 elementos. Já a figura da direita possui uma fronteira com 14 elementos e um interior com 8 elementos. No total há, pois, 22 elementos.

 

Face a esta análise, será possível prever a constituição da próxima figura, que dê continuidade a estas duas? Como será ela formada?

 

O que poderá ser legítimo que se diga em relação à próxima figura é que o lado de topo terá 4 elementos, pois será sempre mais um do que o mesmo lado da figura anterior. Relativamente aos dois lados que se unem a este, ambos voltarão a ser formados por três elementos cada, à semelhança das duas figuras já analisadas. Por último, os restantes dois lados da nova figura serão formados por 6 elementos cada um, pois terão de ter mais um elemento do que os respectivos lados da figura anterior.

 

Relativamente à composição da fronteira e do interior da nova figura, será um pouco mais difícil de prever, pois só temos dois exemplos analisados, o que pode ser manifestamente pouco para que se proponha, de imediato, uma boa conjectura. Contudo, penso que seria desejável que, em contexto de sala de aula, os alunos avançassem com um raciocínio do seguinte tipo: "ora se da fronteira da primeira figura se passou de 11 elementos para 14 da segunda, então se calhar continuará a haver um aumento de 3 unidades, o que leva a que a próxima figura tenha 17 elementos na fronteira". Relativamente ao interior, e fazendo-se um raciocínio semelhante ao acabado de expor, "haverá 12 elementos, porque aumentará o seu número em 4 unidades relativamente ao interior da figura anterior. Se assim for, a nova figura terá um total de 29 elementos".

 

Vejamos a figura no sentido de se testarem todas estas previsões:

 

Relativamente à figura anterior, confirma-se que:

a) o lado de topo é formado por 4 elementos;

b) cada lado unido a este é formado por 3 elementos;

c) cada um dos restantes dois lados do pentágono é formado por 6 elementos.

 

Analisemos, agora a composição da fronteira e do interior da figura:

a) fronteira formada por 17 elementos;

b) interior formado por 13 elementos;

c) a figura possui um total de 30 elementos.

 

Conclusão:

- das seis conjecturas formuladas, não se confirmam apenas duas; o número de elementos do interior da figura e o respectivo número total de elementos. De facto não são 12 os elementos do seu interior, mas, sim, 13; perfazendo um total de 30 elementos e não de 29 como previsto.

 

Um desafio interessante a fazer-se agora seria o de se tentar perceber a lei de crescimento e formação deste tipo de figuras, tendo em conta apenas o número de elementos existentes no lado de topo. Vejamos a tabela:

 

Nº de elementos no lado de topoNº de elementos da fronteiraNº de elementos do interiorNº total de elementos da figura

2

3

4

11

14

17

4

8

13

 

15

22

30

 

 

Se a nossa atenção incidir nas colunas inicial e final, podemos concluir que quando a figura tem 2 elementos no lado do topo, o número total de elementos da figura é 15; por sua vez, quando o número de elementos do topo é 3, o total de elementos da figura é 22, isto é, 15 + 7; por último, quando o número de elementos do top é 4, o total de elementos da figura é 30, isto é, 15 + 7 + 8.

 

Relativamente à análise dos valores da coluna dos elementos da fronteira, podemos lê-los da seguinte forma: 11; 11 + 1 x 3; 11 + 2 x 3.

 

Por sua vez, os valores da coluna dos elementos do interior podem ter a seguinte leitura: 4; 4 + 4; 4 + 4 + 5.

 

Tendo em conta estas relações numéricas será fácil descobrir os valores para as duas próximas figuras que dêem continuidade a estas três acabadas de analisar?

 

 

Nº de elementos no lado de topoNº de elementos da fronteiraNº de elementos do interiorNº total de elementos da figura

2

3

4

5

6

11

14 = 11 + 1 x 3

17 = 11 + 2 x 3

20 = 11 + 3 x 3

23 = 11 + 4 x 3

4

8 = 4 + 4

13 = 4 + 4 + 5

19 = 4 + 4 + 5 + 6

26 = 4 + 4 + 5 + 6 + 7

 

15

22 = 15 + 7

30 = 15 + 7 + 8

39 = 15 + 7 + 8 + 9

49 = 15 + 7 + 8 + 9 + 10

  

A título de exemplo, confirmemos os valores avançados para a figura que tem 6 elementos no lado de topo:

 

Esta figura tem, de facto, 23 elementos na fronteira e 26 elementos no interior, perfazendo um total de 49 elementos. Contudo, falta inferir uma lei geral que descreva o "comportamento" matemático deste tipo de figuras. Para tal centremos agora a nossa atenção no total de elementos que compõe cada figura: 15, 22, 30, 39, 49. Haverá algo de semelhante neste conjunto de valores?

 

Vejamos:

 

15 = 16 -1 = 42 - 1

22 = 25 - 3 = 52 - 3

30 = 36 - 6 = 62 - 6

39 = 49 - 10 = 72 - 10

49 = 64 - 15 = 82 - 15

 

Analisando-se os valores acima, conclui-se que o total de elementos de cada figura não é mais do que a diferença entre um número quadrado (42, 52, 62, 72, 82, ...) e um número triangular (1, 3, 6, 10, 15, ...).

 

Tendo em conta esta conclusão, importa operacioná-la no sentido de se conseguir obter o total de elementos (t) de cada figura a partir do respectivo número de elementos (e) do lado do topo. Recordando que a lei geral da sequência dos números quadrados é "n2" e que a lei geral da sequência dos números triangulares é "(n2 + n) : 2", então para o caso destas figuras, a lei geral é a seguinte:

t = (e + 2)2 - [(e2 - e) : 2], porque temos de ter em consideração que o menor valor de "e" tem de ser o 2.

 

A título de exemplo, testemos esta lei para o caso de uma figura com 6 elementos no lado do topo, isto é, "e = 6", então:

 

t = (6 + 2)2 - [(62 - 6) : 2] = 82 - [(36 - 6) : 2] = 64 - 15 = 49.

 

E se as figuras em análise fossem as seguintes:

 

 

Haverá semelhanças entre elas? Quais? Caracterize o que se passa ao nível dos elementos da fronteira e ao nível dos elementos do interior. Haverá uma lei geral que explica a relação eventualmente existente entre estas figuras?

Das regularidades numéricas ao conceito de Triângulo de Pascal

Março 05, 2011

Paulo Afonso

O tema das regularidades numéricas tem vindo a ser objecto de reflexão neste espaço virtual. Muito associado ao tema do pensamento algébrico, as regularidades de natureza numérica e/ou geométrica contribuem decisivamente para a estruturação deste tipo de pensamento.

 

O exemplo que trago agora para partilhar passa por solicitar uma análise ao seguinte conjunto de números no sentido de se encontrar alguma regularidade entre eles:

 

 

De entre várias possibilidades de resposta, destacamos a análise a cada linha horizontal. Para cada uma das três linhas verifica-se a existência do conceito matemático "o dobro de ou 2x". Vejamos:

 

 

Existe, pois, uma regularidade segundo este nível de análise. Centremos agora a nossa atenção ao nível das colunas. Outras regularidades passam a ser evidenciadas:

 

 

Note-se que o operador aditivo em cada caso é sempre igual e de caso para caso vai dobrando o seu valor sucessivamente.

 

Se a análise incidir em alguns valores colocados não em linha nem em coluna mas, sim, em linha oblíqua, eis outras regularidades interessantes a destacar:

 

 

Analisando-se as várias igualdades numéricas, constata-se que as somas obtidas são dobros sucessivos a partir do valor 4, isto é: 4, 8 e 16. Por sua vez, os produtos obtidos também são dobros sucessivos a partir do valor 12, ou seja: 12, 24 e 48. Além disto, cada parcela envolvida em cada adição também obedece a esta regularidade do "dobro de": (1, 2 e 4; 3, 6 e 12). Já ao nível dos factores, há sempre um que se mantém, que é o valor 3 e o outro factor continua na lógica do "dobro de": (4, 8 e 16).

 

Voltando ao conjunto inicial:

 

Seria desejável que em situação de sala de aula se tentasse perceber qual a lei geral que permitia descrever o comportamento dos valores existentes em cada linha horizontal. Qual será essa lei?

 

Obviamente que se percebe facilmente que os valores da primeira linha são as cinco primeiras potências de base dois, de expoente inteiro, cuja lei geral é 2n. Uma análise mais detalhada aos restantes valores permite que se identifique uma extensão desta lei geral para 2 x 2n e 3 x 2n, respectivamente:

 

 

Ora, como ja tive oportunidade de referenciar em outros artigos, as potências de base dois podem ser associadas ao triângulo de Pascal. Recordemos esta conexão matemática:

 

 

De facto, adicionando os valores em cada linha horizontal neste tipo de triângulo, obtém-se o conjunto destas potências. Esta é, pois, uma figura triangular que pode ser associda à lei geral 2n que gera estas potências de base dois. Como será a figura triangular que poderá ser associada a lei geral seguinte: 2 x 2n?

 

Certamente que será fácil conjecturar uma figura tipo a do triângulo de Pascal em que os valores dos lados passam de 1 para 2. vejamos a figura:

 

 

Confirmam-se, pois, os valores 2, 4, 8, 16 e 32 como sendo as somas dos valores colocados em linha horizontal nesta figura. Pela mesma ordem de ideias, a lei geral 3 x 2n materializa-se na seguinte figura:

 

 

Note-se que os valores do início e do final de cada linha passaram a ser o número 3.

 

Tendo em conta este tipo de análise qual será a figura que está associada à seguinte lei geral: 10 x 2n?

Mais sobre mim

foto do autor

Subscrever por e-mail

A subscrição é anónima e gera, no máximo, um e-mail por dia.

Arquivo

  1. 2013
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2012
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2011
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2010
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2009
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2008
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"