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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Somas cruzadas

Abril 20, 2011

Paulo Afonso

Efectuar actividades de ludicidade matemática envolvendo números posicionados em formas geométricas, tem sido um hábito recorrente deste blog. Desta vez, a figura escolhida engloba dois triângulos com um vértice comum:

 

A tarefa consiste em posicionar os primeiros sete números naturais, todos e apenas uma vez, no lugar das letras, de modo que: (a + b + c = a + d + g = e + f + g = c + d + e.

 

Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer:

- atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13;

- atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12;

- atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11.

 

Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico:

- 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3;

- 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1;

- 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.

 

Testemos cada caso na respectiva figura:

 

1º caso:

 

 

Verifica-se, pois que 7 + 1 + 5 = 7 + 2 + 4 = 5 + 2 + 6 = 6 + 3 + 4 = 13.

 

 

2º caso:

 

 

Neste caso, confirma-se que: 7 + 2 + 3 = 7 + 4 + 1 = 3 + 4 + 5 = 5 + 6 + 1 =12.

 

 

3º caso:

 

 

Veja-se que neste caso: 4 + 5 + 2 = 4 + 6 + 1 = 2 + 6 + 3 = 3 + 7 + 1= 11.

 

A tarefa revelou, pois, uma natureza aberta, por permitir mais do que uma solução.

 

Imagine-se, agora, um estudo envolvendo os sete primeiros múltiplos naturais do 5 e, de seguida, os sete primeiros múltiplos naturais do 10. Como se posicionariam os números no caso de ser possível obedecer às premissas da tarefa inicial?

 

Eis uma possível solução, tirando partido, por exemplo, da ordem posicional dos elementos envolvidos no 1º caso da tarefa inicial deste artigo:

 

Múltiplos do 5:  Múltiplos do 10:
 

 

Note-se que a soma em qualquer linha da figura da esquerda é sempre 65 e nas da direita é sempre o seu dobro: 130.

 

Em contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos conseguissem estabelecer uma relação entre o menor dos números envolvidos e a soma mágica a obter. Note-se que a iniciar em 5, e com os múltiplos naturais do 5, a soma foi 65; a iniciar em 10, e com os múltiplos naturais do 10, a soma foi 130, ou seja 65 + 1 x 65. Qual será a soma quando se inicia no valor 20, usando os sete primeiros múltiplos naturais deste valor?

 

Ora, seria desejável que os alunos inferissem a lei geral que permite obter uma qualquer soma (s) a partir dos sete primeiros múltiplos de números, que sejam múltiplos naturais do cinco. Assim, s = 65 + (n - 1) x 65, sendo "n" o número de ordem, múltiplo natural do 5. Logo, para n = 20 estaremos na presença do quarto múltiplo natural do 5 e a soma respectiva será a seguinte: s = 65 + (4 - 1) x 65 = 65 + 3 x 65 = 260. Confirmemos com a figura:

 

 

Analise em conjunto as três figuras seguintes, encontre uma lei geral que descreva matematicamente a soma obtida em função do respectivo menor valor envolvido em cada uma delas e projecte a possível soma de uma nova figura como estas, iniciada pelo valor 20:

 

Utilização da Matemática para se descobrir informação relativa à idade das pessoas

Abril 04, 2011

Paulo Afonso

Muitos são os casos de recreação matemática em que um qualquer interlocutor nosso, mais entusiasmado com questões de magia matemática, nos tenta colocar em situação de ele próprio descobrir um eventual número que estejamos a pensar. Conduzindo-nos por caminhos matematicamente bem experimentados, por norma costuma acertar na sua previsão, o que nos deixa com a curiosidade aguçada para percebermos como foi capaz de tão enigmática descoberta.

 

Os exemplos que trago para partilhar com os leitores prendem-se com a tentativa de descoberta de dados relativos à idade das pessoas.

 

1 - O primeiro exemplo pode ser o de alguém que tenha nascido a 12 de Agosto. Vamos, então, ver como poderemos facilmente descobrir esta data, munindo-nos, para tal, de uma simples máquina de calcular. Façamos as seguintes solicitações ao nosso interlocutor:

 

- escreva o dia do seu nascimento;

- duplique este número, isto é, multiplique-o por dois;

- multiplique o valor agora obtido por dez;

- adicione setenta e três unidades ao novo produto obtido;   

- multiplique este novo valor por cinco;

- adicione, por fim, o número relativo ao mês de nascimento. Que valor obteve?

 

Perante estas solicitações, o nosso interlocutor, se tivesse nascido no dia 12 de Agosto responderia no final o valor 1573.

 

Vejamos, agora, como é que a Matemática nos pode auxiliar a descobrir esta data de aniversário. A tabela seguinte evidencia o procedimento algébrico associado a cada passo da resolução da tarefa:

  

            Passos seguidos:

Notação matemática:

- escrever o dia de nascimento

d

- duplicar este número

2d

- multiplicar o valor agora obtido por dez

10 x 2d

- adicionar setenta e três unidades ao novo produto obtido

10 x 2d + 73

- multiplicar este novo valor por cinco

5 x (10 x 2d + 73)

- adicionar, por fim, o número relativo ao mês de nascimento

5 x (10 x 2d + 73) + m

  

Façamos, agora a respectiva interpretação algorítmica:

 

5 x (10 x 2d + 73) + m =

= 5 x (20d + 73) + m =

= 100d + 365 + m

 

Sabendo nós que o procedimento aritmético do nosso interlocutor resulta sempre nesta expressão algébrica, a única coisa que teremos de fazer é subtrair a quantidade 365 ao valor revelado por ele. Repare-se que a fórmula fica com o seguinte aspecto: 100d + 365 + m – 365 = 100d + m

 

Esta fórmula permite concluir que, subtraindo o valor 365 ao valor revelado pelo nosso interlocutor, obtém-se nas ordens das unidades de milhar e das centenas o valor do dia de nascimento, restando nas ordens das dezenas e das unidades o valor do mês respectivo.

  

No caso de o valor ser 1573, então o resultado final será: 1573 – 365 = 1208. Logo, terá nascido no dia doze de Agosto.

  

2 - Vejamos, agora, como é fácil descobrir a idade de uma pessoa. O exemplo pode ser de alguém que tenha 51 anos. Eis o que teremos de solicitar ao nosso interlocutor:

  

- multiplicar a idade por dois;

 - adicionar cinco unidades ao produto obtido;

 - multiplicar o resultado obtido por cinquenta;

 - subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido;

 - adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final.

 

 Analisemos o procedimento algébrico:

 

 

            Passos seguidos:

Notação matemática:

- multiplicar a idade por dois

2i

- adicionar cinco unidades ao produto obtido

2i + 5

- multiplicar o resultado obtido por cinquenta

50 x (2i + 5)

- subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido

50 x (2i + 5) - 365

- adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final

50 x (2i + 5) – 365 + 115

 

Eis a respectiva Interpretação algorítmica:

 

50 x (2i + 5) – 365 + 115 =

= 100i + 250 – 250 =

= 100i

 

Ora, no exemplo considerado de alguém com 51 anos, dar-nos-ia como resposta o valor 5100. Tal como no caso anterior, esta fórmula permite concluir que, conhecendo-se o valor final obtido pelo nosso interlocutor, nas ordens das unidades de milhar e das centenas, encontra-se logo a sua idade.

 

3 - Um terceiro exemplo permite não só descobrir o dia e o mês de aniversário, como também o ano de nascimento. Eis o que pedir ao nosso interlocutor:

 

- escrever o número relativo ao mês de nascimento;

- multiplicar este valor por quatro;

- adicionar treze unidades ao valor agora obtido;

- multiplicar por vinte e cinco a soma obtida;

- subtrair o valor duzentos;

- adicionar o dia de nascimento;

- multiplicar a soma agora obtida por dois;

- subtrair o valor quarenta;

- multiplicar este último valor obtido por cinquenta;

- adicionar os últimos dois dígitos do ano de nascimento e revelar o valor  obtido.

 

Qual será a exlicação matemática e o que é que teremos de fazer no final para descobrirmos a data de nascimento do nosso interlocutor?

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