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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Problemas de lógica envolvendo três variáveis

Outubro 29, 2011

Paulo Afonso

O tema da resolução de problemas tem sido várias vezes objeto de análise e reflexão neste Blog. No momento em que abordei a estratégia de dupla entrada, como sendo uma possível estratégia de resolução de problemas, socorri-me de problemas de lógica, envolvendo apenas duas variáveis. Ora, em contexto de recreação matemática este tipo de problemas costuma ser muito desafiador, pois a natureza das premissas cativam imenso à tentativa de resolução.

 

Desta vez volto a refletir sobre o mesmo tema mas acrescento-lhe algum nível de dificuldade sem, contudo, lhe diminuir o interesse, pois vou abordar o mesmo tipo de problemas mas contemplando três variáveis em simultâneo e não apenas duas.

 

Para tal vou basear-me no enunciado de uma situação problemática que encontrei num interessante livro de Calos Lopes*. Eis o que se pretende:

 

"A Ana, a Bela, o David, e o Ivo terminaram nas primeiras quatro posições numa corrida de atletismo. Os seus apelidos são Gonçalves, Jarra, Choupina e Pires. Com as pistas fornecidas, emparelha os nomes com os apelidos e determina a posição de cada um deles na corrida.

 

a) A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida.

b) O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela.

c) O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida.

d) A Ana terminou atrás do Gonçalves.

e) O David não terminou em terceiro" (Lopes, 2002, p. 43). 

 

* - Lopes, C. (2002). Estratégias e Métodos de Resolução de Problemas em Matemática. Porto: ASA.

 

Como estratégia de resolução, o resolvedor terá se relacionar três variáveis: os nomes, os apelidos e as posições ocupadas na prova de atletismo. Para tal, será de todo conveniente elaborar uma tabela como a que sugiro a seguir:

 

 

Esta tabela permite cruzar duas variáveis de cada vez: (a) nome com apelido; (b) nome com posição na prova e (c) apelido com posição na prova.

 

De seguida vamos colocar as indicações provenientes das premissas, começando pela premissa a), que diz o seguinte: "A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida".

 

Ora desta premissa podemos tirar, de imediato, duas conclusões:

 

- A Jarra não é homem, por isso já não pode ser o David nem o Ivo;

- A Jarra não terminou a prova em 1º lugar.

 

Vejamos como fica a tabela, deixando a indicação da premissa de onde proveio a informação. O símbolo a usar para referir "não é" pode ser um "X":

 

 

Passemos à premissa b): "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela".

 

Desta premissa concluímos que:

- O Ivo não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não ficou em 1º lugar.

- A Bela não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não é Pires.

- A Bela não é Pires.

- O Pires não ficou em 1º lugar.

 

Eis como fica agora a tabela:

 

 

 

 

Já a terceira premissa: "O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida", permite que se conclua o seguinte:

- A choupina é uma senhora, logo não será o David nem o Ivo:

 

  

Vejamos a premissa seguinte: "A Ana terminou atrás do Gonçalves". Daqui conclui-se que:

- A Ana não tem apelido Gonçalves.

- Gonçalves também não é a Bela por ser homem.

- A Ana não ficou em 1º lugar.

- Gonçalves não ficou em 4º lugar.

 

Eis como fica agora a figura:

 

 

A premissa seguinte: "O David não terminou em terceiro" permite mais uma sinalização na tabela:

 

 

Neste momento esgotaram-se as premissas, pelo que a tabela contempla toda a informação explícita que cada uma pôde transmitir. De seguida temos de observar a tabela para vermos se já se poderá concluir algo mais. Note-se que o Ivo já só pode ter o apelido de Gonçalves. Logo, este apelido já não pode ser o de mais ninguém, pelo que trancamos a negro o espaço em que o Gonçalves se cruzava com o David. Por outro lado, pelo facto de sabermos que o Ivo não era o 1º classificado, então o Gonçalves, por ser a mesma pessoa, também não o será. Eis como fica a figura:

 

 

 

 

O 1) que deverá aparecer na tabela significa que se prende com o 1º conjunto de conclusões ocorridas após se terem colocado na tabela todas as informações provenientes diretamente das premissas.

 

Continuando a observar a tabela, mais conclusões podem ser formuladas:

- O David já só pode ter o apelido Pires, logo o Pires já não poderá ser a Ana.

- O 1º lugar já só pode ser ocupado pela Choupina, pelo que esta já não ocupará as restantes posições.

- Se a Choupina é a 1ª classificada, o Gonçalves já não o poderá ser.

- Se o Pires não era o 1º classificado, então o David também não o será.

- Se o David não era o 3º classificado, o Pires também não o será.

 

Eis a respetiva tabela:

 

 

 

Logicamente que o 2) representa o 2º conjunto de conclusões que foi possível fazer-se.

 

 

Tal como está a informação da tabela, em 1º lugar só poderá ter ficado a Bela. Logo esta já não pode ficar em 2º nem em 3º lugar. Por sua vez, se já sabemos que o 1º lugar foi ocupado pela Choupina, então podemos concluir que a Bela tem apelido Choupina. Logo a Bela já não pode ser Jarra. Eis como fica agora a tabela: 

 

 

Neste momento já podemos concluir que a Ana tem apelido Jarra:

 

 

Assim, já conhecemos todos os emparelhamentos entre nome próprio e apelido:

- Ana Jarra.

- Bela Choupina.

- David Pires.

- Ivo Gonçalves.

 

De seguida, parece que não há evidências explícitas que ajudem no prosseguimento da resolução. Contudo, voltemos à premissa b), que diz o seguinte: "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela". O mesmo será dizer que o Ivo Gonçalves ficou à frente do David Pires e atrás da Bela Choupina. Esta informação permite que ao olharmos para a linha do Pires este só possa ser 4º classificado para que o Ivo possa ficar à frente dele. Eis a tabela respetiva:

 

 

Por último e atendendo à premissa d): "A Ana terminou atrás do Gonçalves", esta ficou em 3º lugar e o Ivo Gonçalves em 2º:

 

 

Em síntese, a tabela seguinte evidencia que:

- A Bela Choupina ficou em 1º lugar.

- O Ivo Gonçalves ficou em 2º.

- A Ana Jarra ficou em 3º.

- O David Pires ficou em 4º lugar.

 

 

Com o intuito de se poder praticar este tipo de estratégia de resolução deixo como sugestão um enigmático texto, proposto por Albano Coutinho**, num excelente livro publicado no ano de 2005 pela editora 1000 ideias promocionais:

"As três à porta do prédio

 

Alguém terá registado numa fita magnética de um gravador o seguinte diálogo:

 

- Olhe, Dona Rosa, eu a falar dela e ela a aparecer!... Aí vem a tal que mora por cima do andar da Dona Júlia...

 

- A senhora ainda não lhe sabe o nome?!... Bom dia, Dona Edite!

 

- Como vai, Dona Rosa, passa bem?!... E a vizinha, como vai?...

 

- Olá, Dona Edite! Estávamos, agora mesmo, a falar da senhora. Aqui a Dona Fernanda dizia-me que a senhora tem tido uma paciência enorme para aturar os seus vizinhos do andar por cima do seu. Aquele senhor Eugénio tem cá um feitio!...

 

- É um malcriadão, um insolente. Nem calculam o que temos passado! O meu João ainda um dia perde a cabeça e é uma desgraça!... Mas olhem que ela ainda é pior do que ele! Não é que um destes dias...

 

- Ó Dona Edite, é verdade que aquela safada lhe sujou a roupa que a senhora tinha a secar na varanda?...

 

- E de propósito! Aquela porcalhona, malvada!... Ela, a Felismina, veio à janela com um balde de água suja - sabe-se lá de quê!... - olhou para todos os lados e, julgando que ninguém a estava a ver, lançou toda aquela sujidade para cima da minha roupa. Só que o senhor Gregório, que vinha do emprego, viu tudo da rua. Claro que foi contar o que viu à sua senhora, que logo se apressou a subir um lanço de escadas para me vir dizer... Foi o fim do mundo!...

 

- Eu sei, eu sei!... Por acaso eu até nem estava em casa, mas o meu Alberto presenciou tudo e contou-me. Sabe... Não é que ele goste de se meter na vida dos outros, mas, pelos vistos, o banzé foi de tal ordem... e lá em cima, onde moro, como imaginam, nem que não se queira ouve-se tudo!...

 

- Ainda agorinha, antes de a senhora chegar, era esse episódio que eu estava a comentar. O meu Narciso até me disse, que se o caso fosse connosco, a coisa iria piar fino!... E olhem que nós somos, de todos os inquilinos do prédio, os que estamos mais sujeitos a este tipo de dissabores.

 

- ... Foi o fim do mundo!... Como eu dizia, o meu marido foi logo bater à porta do andar deles para pedir satisfações... E não é que a besta do Eugénio veio lá de dentro com uma caçadeira nas mãos?!... O cobarde!...

 

- E o seu marido?!...

 

- Bem... assim, de repente, apanhado de surpresa, sem estar preparado... Ao meu marido apenas lhe ocorreu perguntar: - Como é?!... Vamos à caça?!

 

...«acasalar» cada um dos pares envolvidos e atribuir-lhes os andares correspondentes" (Couto, 2005, pp. 131.132).

 

** - Coutinho, A. (2005). Lógico! 100 Problemas de Lógica. Porto: 1000 ideias promocionais.

Sequências numéricas contendo dízimas infinitas periódicas

Outubro 15, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática ouvimos muitas vezes falar em dízimas infinitas periódicas e a minha reflexão visa conectar este tipo de números ao tema das regularidades e padrões numéricos.

 

Vejamos, qual será o número a dar continuidade a esta sequência numérica:

 

5;     6,(6);     10;     16;     26,(6);     ______;

 

Aparentemente esta tarefa não é de fácil resolução ou de resolução imediata, pois não surge evidente a lei de crescimento desta sequência numérica. Contudo, a existência de duas dízimas infinitas periódicas neste conjunto de cinco números poderá servir de chave para a resolução deste desafio.

 

Assim sendo, a minha sugestão vai no sentido de se converter cada dízima na respetiva fração. Recordemos o procedimento matemático para que isso possa ocorrer. Como o período de ambas as dízimas ocorre logo ao nível das décimas, podemos seguir os seguintes cálculos:

 

x = 6,(6) <=> 10x = 66,(6)

 

10x - x = 66,(6) - 6,(6) <=>

<=> 9x = 60 <=>

<=> x = 60/9 <=>

<=> x = 20/3

 x = 26,(6) <=> 10x = 266,(6)

 

10x - x = 266,(6) - 26,(6) <=>

<=> 9x = 240 <=>

<=> x = 240/9 <=>

<=> x = 80/3

 

Será que a identificação das respetivas frações ajuda a interpretar a sequência numérica?:

 

5;     20/3;     10;     16;     80/3;     ______;

 

Em contexto de sala de aula é bem possível que um dos vários alunos possa avançar com a proposta de que a fração 80/3 é equivalente à fração 160/6. Se esta sugestão não ocorrer, pode ser indicada pelo professor, no sentido de que os resolvedores não desanimem e, consequentemente, desistam.

 

No fundo, o que se pretende é olhar para a sequência numérica neste novo formato:

   

5;     20/3;     10;     16;     160/6;     ______;

 

Ajuda?

 

Talvez, pois poderá haver alguém que sugira a conversão de todos os números inteiros para as respetivas frações. Eis uma aproximação interessante:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     ______;

 

Logicamente que quando esta conversão for feita, o desafio colocado ficará imediatamente resolvido, pois facilmente se percebe que estamos perante números fracionários cujos denominadores são os números naturais, iniciados no 2, e os respectivos numeradores são dobros sucessivos de cinco (10 = 2 x 5; 20 = 2 x 2 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5; 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5; 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5). Logo, poder-se-á concluir que os numeradores dessas frações resultam do produto das potências de base dois, de expoente natural, com o cinco (10 = 21 x 5; 20 = 22 x 5; 40 = 23 x 5; 80 = 24 x 5; 160 = 25 x 5).

 

Neste momento é fácil avançar com o número que dá continuidade à sequência numérica, pois o numerador será 26 x 5, isto é, o valor 320, e o denominador será o valor 7:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     320/7;

 

Note-se que este 6º termo da sequência volta a ser uma dízima infinita periódica cujo período é o seguinte: 714285. A dízima é, pois, a seguinte: 45,(714285).

 

Ora, os numeradores destas frações podem ser conectados a uma outra disposição numérica, baseada no conceito de Triângulo de Pascal, em que o valor inicial e os que iniciam e terminam cada linha deixam de ser uns para serem cincos:

 

 

Que tipo de conexão matemática é, pois, possível fazer-se entre os numeradores das frações da sequência numérica e esta figura?

 

Uma vez que referimos as potências de base dois, de expoente natural,  a multiplicar com o fator 5, termos de efetuar as somas dos valores existentes em cada linha horizontal da figura:

 

 

Fica, pois, confirmada esta possibilidade de conectar matematicamente a sequência numérica inicial com esta figura numérica.

 

Mas as conexões matemáticas não se ficam por aqui. Voltemos ao 6º termo da sequência numérica: 45,(714285). Centremo-nos no seu período: 714285 e dividamo-lo por 5. Obteremos o valor 142857.

 

Comparem-se os dígitos existentes neste quociente com os dígitos do dividendo. O que poderemos concluir?

 

Curioso, não é? Os dígitos são, de facto, os mesmos, apesar de estarem posicionados de forma diferente!

 

Multiplique, agora, este quociente obtido por 3, por 4 e por 6. O que pode concluir?

Magia matemática envolvendo números

Outubro 02, 2011

Paulo Afonso

A Matemática, como disciplina fascinante que é, possibilita que os mais astutos no domínio da Magia encantem os seus interlocutores com atividades mágicas que os deixam completamente rendidos a essa Ciência. O exemplo que trago para reflexão desta vez passa por se analisar a relação que existe entre a primeira parcela da seguinte adição (475) e a respetiva soma (2473):

 

 

Certamente reparará que a soma tem mais 1998 unidades que o valor da primeira parcela, isto é, aquele valor é maior em duas mil menos duas unidades que esta parcela (1998 = 2000 - 2).

 

Ora, baseados nesta constatação, este mesmo conjunto de números poderia servir de base a uma atividade de magia matemática. Imagine, pois, que um nosso interlocutor era solicitado para referir oralmente, e escrever num papel, um número formado por três dígitos, de preferência, diferentes entre si. De seguida pedia-se para acrescentar por baixo desse número referido, outros dois números formados, também cada um, por três dígitos. Como é que se poderá adivinhar logo a soma, assim que é referida a primeira parcela?

 

Este enigmático desafio passa, então, por se acrescentar dois mil ao valor dessa parcela, mas temos de retirar duas unidades a essa mesma parcela. Depois, basta acrescentarmos, nós mesmos, as duas parcelas que faltam. Contudo, a escrita destas duas parcelas deve obedecer ao critério de formarem mil menos um (999), duas vezes, ou seja, um total de 2000 - 2, que é 1998. Vejamos a figura e centremos a nossa atenção nas cores:

 

 

 

Repare-se no seguinte: ao adicionarmos os valores da 2ª e da 4ª parcelas obtém-se o valor 999, pois: 390 + 609 = 999. Por sua vez, a adição dos valores da 3ª parcela com os valores da 5ª parcela também origina o mesmo resultado: 628´+ 371 = 999. Logo, com a nossa intervenção na escrita criteriosa das últimas parcelas estaremos a contribuir decididamente para que o valor da 1ª parcela seja adicionado com os valores 999 + 999, isto é com (1000 - 1) + (1000 - 1), ou seja com 2000 - 2, que é 1998.

 

No sentido de se aplicar esta magia matemática a uma nova situação, pode-se colocar a nossa criatividade em jogo e podemos logo escrever num papel (sem que alguém veja) o número 2638. Contudo, se isto ocorrer perante um conjunto de amigos, ou na escola, com alunos, o professor poderá dizer logo de imediato que escreveu num papel o número que vai escrever agora no quadro da sala de aula: 640. Claro está que no papel o valor 2638 é o tal que é 640 + (2000 - 2). Na figura do quadro escreverá, então, só a 1ª parcela, mas na sua memória e no papel que escreveu, e guardou bem guardado, já tem a soma que pretende obter:

 

 

Imaginando que solicitamos duas intervenções e os valores são os da figura seguinte, quais os valores a acrescentar por nós? 

 

 

Tendo em conta o valor 523 na 2ª parcela, para que a nossa intervenção origine o valor 999, então teremos de avançar com o número 476:

 

 

Do mesmo modo, o valor da 3ª parcela (374) terá de ser adicionado ao valor da 5ª parcela, que será 625. Note-se que 374 + 625 = 999:

 

 

Em síntese, quando agora nós mostrássemos o papel que está guardado, a surpresa seria enorme, por este conter a soma 2638. Fica, pois, comprovado que adicionando duas vezes 1000 - 1 ao valor 640, o valor obtido é 2638.

 

Analisemos agora a figura seguinte e tentemos relacionar o valor da 1ª parcela com a respetiva soma:

 

 

 

Uma primeira conclusão é que a soma é maior em 1776 unidades, isto é, duas mil menos 224 unidades. Significa isto que basta olhar para a soma para se ver que na ordem das dezenas e na ordem das centenas, os valores aí existentes são os respetivos da 1ª parcela, subtraídos de duas unidades. Ja o algarismo da ordem das unidades, na soma, é igual ao respectivo algarismo da 1ª parcela, subtraído de quatro unidades.

 

Como o valor 1776 se pode obter pela soma de duas parcelas iguais: 888 + 888, então, o que teremos de fazer, enquanto Magos da Matemática é introduzir duas parcelas cujos valores ao serem adicionados aos valores da 2ª e 3ª parcelas vão originar duas vezes o valor 888:

 

 

Repare-se, pois, que (a) 364 + 524 = 888; (b) 628 + 260 = 888. Logo, 475 + 2 x 888 = 475 + 1776 = 2251.

 

Tendo em conta esta nova curiosidade matemática, descubra os valores que farão parte das parcelas da figura seguinte, de modo a que a soma seja maior do que a 1ª parcela em 2000 - 224 unidades:

 

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