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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Dízimas infinitas periódicas enigmáticas

Abril 21, 2012

Paulo Afonso

O tema das dízimas infinitas periódicas já foi objeto de análise neste blog por ser um tema que pode servir de base a interessantes investigações matemáticas. Desta vez vou conectá-lo ao tema das regularidades numéricas e ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

 

Para tal, começo por desafiar os meus leitores a investigarem se há algo de comum no conjunto das seguintes dízimas infinitas periódicas seguintes:

 

0,(142857)

0,(285714)

0,(428571)

0,(571428)

0,(714285)

0,(857142)

 

 

Provavelmente será fácil perceber-se que existe uma regularidade nos seis dígitos que compõem o período de cada uma das dízimas, pois são sempre os mesmos, mas dispostos em posições diferentes.

 

O desafio seguinte será o de se investigar para cada caso a fração que lhes dá origem.

 

Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem recorrer ao artifício matemático explorado neste blog sobre este assunto. A referência eletrónica do respetivo artigo é a seguinte: http://recreamat.blogs.sapo.pt/32824.html

 

Recorrendo a esse artifício vamos, passo a passo, descobrir a fração simplificada que dá origem à primeira dessas dízimas infinitas periódicas. Vejamos:

 

x = 0,(142857) <=>

<=> 1000000x = 142857,(142857) <=>

<=> 1000000x - x = 142857,(142857) - 0,(142857) <=>

<=> 999999x = 142857 <=>

<=> x = 142857 : 999999 <=>

<=> x = 15873 : 111111 <=>

<=> x = 5291 : 37037 <=>

<=> x = 1 : 7

 

Logo, a fração que dá origem à dízima infinita periódica 0,(142857) é 1/7.

Vamos fazer um procedimento idêntico para o caso da segunda dízima. Vejamos:

 

x = 0,(285714) <=>

<=> 1000000x = 285714,(285714) <=>

<=> 1000000x - x = 285714,(285714) - 0,(285714) <=>

<=> 999999x = 285714 <=>

<=> x = 285714 : 999999 <=>

<=> x = 31746 : 111111 <=>

<=> x = 10582 : 37037 <=>

<=> x = 2 : 7

 

Fica, pois, encontrada a fração 2/7 como origem da dízima infinita periódica 0,(285714). Ora, em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos descobrissem os restantes números racionais que originam as restantes dízimas infinitas periódicas:

 

0,(142857) = 1/7

0,(285714) = 2/7

0,(428571) = 3/7

0,(571428) = 4/7

0,(714285) = 5/7

0,(857142) = 6/7

 

Centremos agora a nossa atenção no período da primeira dízima: 142857. Multiplicando este valor por 7 origina-se o valor 999999. Contudo se o multiplicarmos por 14, o produto obtido já será 199998 e se o multiplicarmos por 21, o produto obtido será 2999997.

 

Tendo em conta estas três multiplicações, infira, sem recurso à operação inversa da multiplicação, qual o fator que se deve multiplicar pelo valor 142857 para se obter o produto 499995. Qual o raciocínio por si empregue?

 

E para o produto 6999993, qual o fator a multiplicar por 142857? Que regularidades podem ser detetadas neste conjunto de multiplicações?

 

Nota: Sobre este assunto aconselho uma leitura complementar no blog do meu colega e amigo José Filipe: http://maismat.blogspot.pt/2011/02/um-setimo.html

Do Futebol à Matemática

Abril 01, 2012

Paulo Afonso

Este blog contém vários artigos em que se demonstra que a Matemática não é uma ciência isolada, pois permite a conexão a múltiplas atividades do nosso quotidiano. Muitas são as vezes em que à Matemática também se pode chegar por outras vias do nosso dia-a-dia, como seja o mundo do Desporto, da Magia, da Cultura, etc.

 

Ora, o exemplo que escolhi para esta nova reflexão é-nos proposto por Eric Emmet, publicado em 2000 pela Gedisa Editorial*, numa reimpressão de uma primeira publicação em Castelhano de 1990.

 

O enunciado, adaptado para língua portuguesa, é o seguinte:

 

"Quatro equipas de futebol - A, B, C e D - vão jogar entre si uma vez. Após se terem realizado alguns - ou talvez todos - os jogos, pode-se conceber uma tabela como a seguinte, onde aparecem alguns aspetos dos jogos jogados, ganhos, perdidos, empatados, golos marcados, golos sofridos e pontuação" (Emmet, 2000. p. 33):

 

 

Complete a tabela na íntegra, sabendo que uma vitória vale dois pontos e um empate vale um ponto.

 

* - Emmet, E. (2000). Juegos de acertijos enigmaticos. Barcelona: gedisa Editorial.

 

Do ponto de vista matemático, este problema apela bastante ao raciocínio lógico, pois exige por parte do resolvedor o estabelecer de muitas relações entre as diversas variáveis em causa (número de jogos, resultados dos jogos, vitórias, empates, derrotas e pontuação). Além disto, permite o desenvolvimento da comunicação matemática na justificação das opções a tomar.

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula os alunos sentissem a força motivacional que a tarefa transporta consigo. Trata-se de algo enigmático, bastante motivador e com importantes pistas para que se possa iniciar o seu processo de resolução. Assim, vejamos que a equipa C ao ter dois pontos e não tendo qualquer vitória, só poderá ter empatado dois jogos. Por sua vez, a equipa D, ao não ter qualquer ponto, não terá conseguido vencer qualquer dos jogos em que esteve envolvida. Logo a tabela poderá começar a ser preenchida tendo em conta estes dois aspetos:

 

 

Em continuação o facto de a equipa ter empatado dois jogos, pelos dados da tabela só pode ter sido com as equipas A e B. Resta saber a razão pela qual a equipa B tem 5 pontos. Ora isto só pode ocorrer se esta tiver ganho à equipa D e à equipa A (2 + 2 pontos). Se à pontuação correspondente a estas duas vitórias (4 pontos) adicionarmos um ponto pelo empate com a equipa C, fica justificada a pontuação desta equipa B. Logo, a tabela fica assim:

 

 

Tendo em conta a tabela anterior, concluímos, pois, que a equipa A tem, pelo menos, um empate com a equipa C e uma derrota com a equipa B. Por sua, vez, a equipa D tem, pelo menos, uma derrota - resultante do jogo com a equipa B. Por último, se a equipa C empatou com as equipas A e B, e a equipa D não tem vitórias, então aquela não tem qualquer derrota. Logo, a tabela fica assim:

 

 

Neste momento nada sabemos sobre o que se passou entre as equipas A e D, pois elas podem ainda não ter jogado entre si (ficando a equipa A só com 1 ponto), ou a equipa A ter já derrotado a equipa D (ficando com 3 pontos). Logo, a partir deste ponto da resolução seria interessante fazer-se um estudo paralelo para estas duas opções acabadas de descrever. Vejamos ambos os cenários:

 

Cenário 1 - As equipas A e D ainda não terem jogado entre si:

 

 

 

Cenário 2 - A equipa A ter derrotado a equipa D:

 

 

 

Contudo, se com os dados que já temos formos preencher a coluna respeitante aos jogos, constatamos que o cenário 1 não faz sentido:

 

 

 

De facto, nunca a equipa B poderia já ter realizado três jogos e a equipa D só ter realizado um, pois, se assim fosse, não seria possível ocorrer o que se acabou de registar entre a equipa D e a equipa A. Logo, o cenário 1 terá de ser abandonado.

 

Vejamos como ficaria a tabela preenchendo-se a coluna dos jogos, no caso do cenário 2:

 

 

 

 

Ora, neste caso, concluímos que as equipas A e B já jogaram com todas as restantes e que ainda faltam defrontar-se as equipas C e D.

 

Neste momento já só falta descobrir os golos marcados pela equipa C e os golos sofridos pela equipa B. Contudo, uma vez que a equipa C só obteve empates, o número de golos marcados terá de coincidir com o número de golos sofridos:

 

 

 

Por sua vez, o total de golos marcados terá de ser igual ao total de golos sofridos, pelo que a equipa B terá sofrido 2 golos:

 

 

De facto, o somatório da coluna dos golos marcados coincide com o somatório da coluna dos golos sofridos: 13 golos. Logo, a tabela final fica com o seguinte aspeto:

 

 

Façamos uma extensão ao problema: Será possível prever o resultado de cada jogo realizado?

 

Em primeiro lugar convirá elencar tudo o que se sabe relativamente a cada equipa:

 

1 - A equipa D só obteve derrotas e sem qualquer golo marcado. Logo, nenhum dos seus dois adversários com quem já jogou  sofreu qualquer golo desta equipa. Por seu turno, quanto aos 3 golos sofridos, o que se sabe é que não foi a equipa C a marcá-los, porque estas duas equipas ainda não jogaram entre si.

 

2 - Os quatro golos sofridos pela equipa C foram marcados pelas equipas A e B. Por sua vez, os 4 golos que marcou também terão sido a estas duas equipas.

 

3 - Além dos golos marcados no empate da equipa B com a equipa C, aquela também terá marcado golos nas vitórias com as equipas A e D.

 

Sendo assim, um cenário possível para esta equipa B seria empatar a 2 golos com a equipa C, ganhar 1 a zero à equipa D e ganhar 2 a zero à equipa A. Se assim for, o outro empate da equipa C, desta vez com a equipa A, também terá de ser 2 a 2. Logo resta-nos a vitória da equipa A sobre a equipa D por 2 a zero:

 

 

Tendo em conta o mesmo autor, tente resolver um problema semelhante que ele coloca na página 36, cujos dados conhecidos são apenas os da tabela seguinte:

 

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