À procura de regularidades
Junho 23, 2012
Paulo Afonso
Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.
O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:
O objetivo é investigar se existe algum tipo de regularidade se se considerar, de cada vez, a soma de quatros desses números, de acordo com o esquema de análise seguinte:
![]() | ![]() | ![]() |
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Vejamos cada caso:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
| 4 + 5 + 6 + 7 = 22
| 7 + 8 + 1 + 2 = 18
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2 + 3 + 4 + 5 = 14
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5 + 6 + 7 + 8 = 26
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8 + 1 + 2 + 3 = 14
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3 + 4 + 5 + 6 = 18
| 6 + 7 + 8 + 1 = 22
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1 + 2 + 3 + 4 = 10
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Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:
10 22 18 14 26 14 18 22 10
Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?
Analisem-se, então, as várias figuras se a inicial for a seguinte:
As novas somas associadas às nove figuras respetivas são as seguintes:
2 + 4 + 6 + 8 = 20
| 8 + 10 + 12 + 14 = 44
| 14 + 16 + 2 + 4 = 36
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4 + 6 + 8 + 10 = 28
|
10 + 12 + 14 + 16 = 52
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16 + 2 + 4 + 6 = 28
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6 + 8 + 10 + 12 = 36
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12 + 14 + 16 + 2 = 44
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2 + 4 + 6 + 8 = 20
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Tal como, provavelmente, seria de prever, os valores de cada soma duplicam os respetivos valores de cada soma da tarefa anterior:
20 44 36 28 52 28 36 44 20
Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.
Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?
A figura inicial será a seguinte:
Consegue antecipar resultados? Com que fundamentação o faz?