Da magia matemática ao desenvolvimento do pensamento algébrico
Janeiro 11, 2010
Paulo Afonso
Um dos primeiros artigos deste blog foi dedicado à mágica tarefa de se conduzir o nosso interlocutor a um determinado número que nós idealizámos, tudo a partir de um número por ele guardado em segredo. Recordemos o enunciado de então:
"1 - Pense num número e não o divulgue.
2 - Adicione-lhe 5 unidades.
3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.
4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.
5 - Encontre metade do valor que agora tem.
6 - Subtraía o valor inicial. Vou descobrir o valor final".
Esta tarefa de magia matemática possibilitava que qualquer resolvedor, bem dotado ao nível do cálculo mental, constatasse que no final tinha obtido o valor 3. Teste isto consigo para ver confirmado este valor final!
Na altura em que redigi este texto apresentei uma resolução pictórica mas, em termos matemáticos, a sua resolução por etapas é a seguinte:
1 - n
2 - n + 5
3 - 2 x (n + 5)
4 - 2 x (n + 5) - 4
5 - [2 x (n + 5) - 4] : 2
6 - [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n
Logo: [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n = (2n + 10 - 4) : 2 - n = (2n + 6) : 2 - n = n + 3 - n = 3.
Como se pode constatar, o valor final 3 é independente do valor inicial (n) mantido em segredo, porque o mesmo acaba por ser anulado ao longo do procedimento algébrico.
O que aconteceria se, por exemplo, em vez de se adicionarem 5 unidades se adicionassem 10? Qual a sua estimativa?
Certamente que uma das possíveis sugestões seria obter-se no final o valor 6, pois se em vez de 5 se adicionasse 10, que é o dobro deste valor, então no final, em vez de se obter 3, obter-se-ia o seu dobro, que é 6.
Vamos testar:
"1 - Pense num número e não o divulgue.
2 - Adicione-lhe 10 unidades.
3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.
4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.
5 - Encontre metade do valor que agora tem.
6 - Subtraía o valor inicial. Quanto obteve?"
Matematicamente, eis a resolução:
1 - n
2 - n + 10
3 - 2 x (n + 10)
4 - 2 x (n + 10) - 4
5 - [2 x (n + 10) - 4] : 2
6 - [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n
Logo: [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n = (2n + 20 - 4) : 2 - n = (2n + 16) : 2 - n = n + 8 - n = 8.
Não se confirma, pois, a estimativa do valor 6. Contudo, certamente que já observou que o valor obtido tem uma relação com o valor que se adiciona ao valor inicial, de facto. Qual é essa relação? No fundo, a questão é: podemos saber de imediato o valor final a partir do valor que mandamos adicionar ao valor inicial desconhecido?
Claro que sim, pois o valor final é igual ao valor que mandamos adicionar menos duas unidades. De facto, quando da adição de 5 unidades, obteve-se o valor final 3; já quando da adição de 10 unidades, obteve-se o valor 8.
Esta importante conclusão permitirá que consigamos impressionar os nossos amigos em situações de recreação matemática ou de convivialidade. Por exemplo, se perante cinco amigos (A, B, C. D e E) lançarmos este desafio, mandando adicionar, no passo 2, ao amigo A o valor 10, ao amigo B o valor 12, ao amigo C o valor 14, ao amigo D o valor 16 e ao amigo E o valor 18, adivinharemos que no final o A obteve o valor 8, o B o valor 10, o C o valor 12, o D o valor 14 e o E o valor 16. Estes valores serão obtidos, independentemente dos valores inicialmente pensados por cada um deles!
Veja-se, agora, o seguinte enunciado:
1 - Pense num número.
2 - Duplique esse número.
3 - Adicione 8 unidades.
4 - Encontre metade do valor agora obtido.
5 - Subtraía o valor inicial.
Efectuando os respectivos cálculos, obter-se-á o valor 4.
Que passo do enunciado deve ser alterado para que o resultado seja 5? E 6?