Investigações matemáticas envolvendo cartas
Março 08, 2010
Paulo Afonso
O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. Desta vez o mesmo vai ser utilizado com recurso a um normal baralho de cartas.
Imagine que pretende efectuar uma moldura para uma fotografia, tendo aquela a particularidade de ser formada por todas as cartas numéricas, de um só naipe, de um normal baralho de cartas, isto é, do 1 (ás) ao 10. A disposição das dez cartas deve obedecer ao esquema seguinte, sendo que cada lado da moldura deve originar sempre a mesma soma. Como proceder?
A título de exemplo, e com base em múltiplas experimentações, poderia ocorrer a seguinte resposta:
Observando a moldura, confirma-se que existe sempre uma mesma soma para cada um dos quatro lados, usando todos, e apenas uma vez, os dez números disponíveis. Refiro-me ao valor 18.
De facto, 2 + 10 + 6 = 18; 6 + 7 + 4 + 1 = 18; 1 + 9 + 8 = 18; 8 + 5 + 3 + 2 = 18.
Em situação de sala de aula seria interessante analisar-se esta moldura e perceber a razão de ela ter sido um caso de sucesso.
Em primeiro lugar, e tendo como referência o esquema seguinte, ter-se-á de concluir que a soma das três cartas de cima (A) é igual à soma das três cartas de baixo (C). Por outro lado, as quatro cartas sobrantes, duas pertencentes ao lado B e as outras duas pertencentes ao lado D têm de originar um valor que adicionado aos valores das seis cartas dos lados A e C dê a soma das dez cartas, que é 55:
Tendo em conta estas premissas, a soma dos valores das quatro cartas afectas a B e D terá de ser tal que ao subtrair ao total 55 dê um resto par, para que este possa originar dois valores iguais, sendo um para o A e outro para o C. Eis os doze casos possíveis:
a) 55 - 11 = 44 --- (22 + 22)
b) 55 - 13 = 42 --- (21 + 21)
c) 55 - 15 = 40 --- (20 + 20)
d) 55 - 17 = 38 --- (19 + 19)
e) 55 - 19 = 36 --- (18 + 18)
f) 55 - 21 = 34 --- (17 + 17)
g) 55 - 23 = 32 --- (16 + 16)
h) 55 - 25 = 30 --- (15 + 15)
i) 55 - 27 = 28 --- (14 + 14)
j) 55 - 29 = 26 --- (13 + 13)
k) 55 - 31 = 24 --- (12 + 12)
l) 55 - 33 = 22 --- (11 + 11)
De facto, a negrito (alínea e) está o caso ilustrado acima. Contudo, para a soma 18 + 18 haverá só aquele caso?
Vamos investigar como é que quatro números diferentes podem originar a soma 19. Uma delas é a que esteve na base do caso de sucesso ilustrado acima: 7 + 5 + 4 + 3 = 19.
Eis outras 12 possibilidades:
a) 10 + 6 + 2 + 1
b) 10 + 5 + 3 + 1
c) 10 + 4 + 3 + 2
d) 9 + 7 + 2 + 1
e) 9 + 6 + 3 + 1
f) 9 + 5 + 4 + 1
g) 9 + 5 + 3 + 2
h) 8 + 7 + 3 + 1
i) 8 + 6 + 4 + 1
j) 8 + 6 + 3 + 2
k) 8 + 5 + 4 + 2
l) 7 + 6 + 5 + 1
m) 7 + 6 + 4 + 2
Resta agora cruzar cada um destes doze casos com a soma de A com C, isto é com 18 + 18, para um total de 36:
a) 10 + 6 + 2 + 1 | A = 9 + 5 + 4 | C = 8 + 7 + 3 |
b) 10 + 5 + 3 + 1 | A = 9 + 7 + 2 | C = 8 + 6 + 4 |
c) 10 + 4 + 3 + 2 | A = 9 + 8 + 1 | C = 7 + 6 + 5 |
d) 9 + 7 + 2 + 1 | A = 10 + 5 + 3 | C = 8 + 6 + 4 |
e) 9 + 6 + 3 + 1 | X | X |
f) 9 + 5 + 4 + 1 | A = 10 + 6 + 2 | C = 8 + 7 + 3 |
g) 9 + 5 + 3 + 2 | A = 10 + 7 + 1 | C = 8 + 6 + 4 |
h) 8 + 7 + 3 + 1 | A = 10 + 6 + 2 | C = 9 + 5 + 4 |
i) 8 + 6 + 4 + 1 | A = 9 + 7 + 2 | C = 10 + 5 + 3 |
j) 8 + 6 + 3 + 2 | X | X |
k) 8 + 5 + 4 + 2 | A = 10 + 7 + 1 | C = 9 + 6 + 3 |
l) 7 + 6 + 5 + 1 | X | X |
m) 7 + 6 + 4 + 2 | A = 10 + 5 + 3 | C = 9 + 8 + 1 |
Analisando-se exaustivamente cada caso, apenas o da alínea h resulta numa moldura mágica, com soma 18 em cada lado. Vejamos:
O que resultará se a investigação incidir numa moldura mágica de soma 19? Haverá muitos casos de sucesso?
Apresento duas possíveis soluções:
Solução A:
Solução B:
Haverá mais algum caso de sucesso para esta soma mágica de 19? Como será a sua investigação?