Como referi num outro artigo deste Blog, em actividades de Matemática Recreativa, o tema dos padrões costuma despertar muita atenção por parte dos resolvedores. Veja-se o seguinte exemplo e tente dar continuidade ao padrão:

225, 625, 1225, 2025, 3025, 4225, 5625, 7225, 9025

A resolução desta situação pode passar pela seguinte estratégia: isolar o número 25 em cada caso e centrar a atenção apenas no que resta:

2     25

6     25

12     25

20     25

30     25

42     25

56     25

72     25

90    25

Ora, os valores da coluna da esquerda podem ser vistos como sendo o produto de dois números consecutivos, isto é:

Sendo assim, a solução desta tarefa envolve o produto de 10 por 11, acrescido do valor 25, isto é, o valor 11025.

Transportando esta tarefa para a sala de aula, seria interessante levar os alunos a concluir que cada valor da sequência numérica inicial não é mais do que o quadrado de um número terminado em 5:

15² = 225

25² = 625

35² = 1225

45² = 2025

55² = 3025

65² = 4225

75² = 5625

85² = 7225

95² = 9025

Recorrendo à teoria dos números, pode-se pensar num número formado por dois dígitos (w5), em que o das unidades é 5. Se se elevar este número ao quadrado, isto é, (10w + 5)², implica o seguinte desenvolvimento: 100w² + 100w + 25. Isolando o 25 e colocando o 100 em evidência, obtém-se o seguinte: 100 (w² + w) + 25, ou seja: 100 x [w x (w + 1)] + 25. Logo, multiplicando-se o valor situado à esquerda do 5 pelo seu sucessor, obtém-se o valor da ordem das centenas do resultado final, seguido do 25.

Face a esta explicação, seria interessante desafiar os alunos a fazer um estudo semelhante para o caso dos quadrados dos números formados por dois dígitos, cujo algarismo das unidades seja diferente do 5, como seja o caso, por exemplo, do 3.