Como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, a Matemática é propícia à descoberta de regularidades que, em última instância, deveriam despertar no resolvedor a vontade de procurar uma lei geral para todo e qualquer caso que se investigue.

Imagine que era desafiado, em contexto de recreação matemática, a encontrar semelhanças nos números existentes nas seguintes figuras rectangulares, compostas por quatro elementos cada: 

Eventualmente poderia constatar que se trata dos seis primeiros números naturais, distribuídos em conjuntos de quatro elementos, dispostos em progressão  aritmética, em que a linha de baixo dá continuidade à linha de cima.

Outra possível conclusão será a que analisa que o início de cada novo conjunto de quatro elementos é sempre um número sucessor do número que inicia o conjunto anterior, isto é, o que está colocado à sua esquerda.

Por outro lado também poderá concluir algo em termos da adição dos números existentes em cada linha, em cada coluna ou em diagonal. Vejamos:

(a) de uma linha para a outra, a soma dos dois dígitos aumenta 4 unidades [(3,7); (5, 9); (7,11)];

(b) de uma coluna para a outra, a soma dos dois dígitos aumenta 2 unidades, isto é, metade do que ocorria com as linhas [(4, 6); (6,8); (8,10)];

(c) a soma dos dois dígitos em cada diagonal é sempre a mesma [(5,5); (7,7); (9,9)];

(d) lendo os dois dígitos em cada linha, como sendo um número por eles formado, de uma linha para a outra há um aumento de 22 unidades [(12,34); (23,45); (34,56)];

(e) lendo os dois dígitos em cada coluna, como sendo um número por eles formado, de uma coluna para a outra há um aumento de 11 unidades, isto é, metade do que ocorria com as linhas [(13,24); (24,35); (35,46)].

Que outras conclusões poderia retirar a partir dos valores apresentados?

Ora, transportando em situação para o cenário de uma aula de Matemática, seria interessante explorar-se as conclusões agora indicadas. 

Além disto, seria muito interessante desafiar os alunos a investigarem, para cada um dos três conjuntos de quatro números, o que se passa se considerarmos cada par de dígitos, adjacentes na horizontal e na vertical, como sendo um único número. Quantos números se obtêm? Qual a soma dos seus valores? Haverá uma regularidade que contempla os três casos?

Observando-se a tabela, verifica-se que:

(a) os primeiros quatro números permitem as seguintes adições: 12 + 34 + 13 + 24 = 83;

(b) os segundos quatro números permitem as seguintes adições: 23 + 45 + 24 + 35 = 127;

(c) os terceiros quatro números permitem as seguintes adições: 34 + 56 + 35 + 46 = 171.

Analisando-se estas três somas, constata-se que há uma regularidade, pois a diferença entre duas consecutivas é sempre 44. Ora isto poderá levar-nos a conjecturar que o próximo conjunto de quatro dígitos implicará a soma 215, pois 171 + 44 = 215. Ao testarmos esta conjectura, confirmamos a sua veracidade:

De facto, 45 + 67 + 46 + 57 = 215.

Analisando-se racionalmente o que está matematicamente em causa, podemos tecer a seguinte explicação:

Logo: 10x + (x + 1) + 10 (x + 2) + (x + 3) + 10x + (x + 2) + 10 (x + 1) + (x + 3) = 44x + 39, que é a lei geral para esta interessante situação. Realmente, testando a lei para cada caso, isto é, substituindo o "x" pelo número que inicia uma sequência de quatro números consecutivos, verificamos:

(a) se x = 1, então 44 x 1 + 39 = 83;

(b) se x = 2, então 44 x 2 + 39 = 127;

(c) se x = 3, então 44 x 3 + 39 = 171.

Conhecendo-se esta lei poder-se-á desafiar os alunos a descobrir a soma para o caso de o primeiro de quatro números consecutivos ser o 10.

Aplicando-se a lei geral, obtém-se a soma 479, pois: 44 x 10 + 39 = 479.

Contudo, olhando para a tabela respectiva, como proceder de modo a obter-se este valor?

Provavelmente descobrirá que teremos que aplicar o conceito de "aí vai um", isto é, a ideia de transporte envolvendo as ordens do nosso sistema de numeração decimal. Sendo assim, a dezena do 11 ao passar para a ordem das dezenas, onde já existe o 10, fará com que a linha de cima esteja a representar o número 111. De igual modo, a dezena do 13 juntar-se-á às 12 dezenas da segunda fila, originando-se o número 133. Fazendo-se um raciocínio semelhante para cada coluna, obtém-se, respectivamente o valor 112 e 123. Logo, adicionando-se estes quatro valores, obtemos o tão esperado 479, pois: 111 + 133 + 112 + 123 = 479.

Esta interessante actividade permite, como sempre, múltiplas extensões. De aí que o convide a fazer um estudo semelhante para o caso de se usarem somente os 6 primeiros números ímpares ou os 6 primeiros números pares. Será que as regularidades se mantêm?