Saltar para: Posts [1], Pesquisa [2]

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Quadrados mágicos e a operação divisão

Junho 01, 2009

Paulo Afonso

Tal como no artigo anterior, vou dedicar esta nova reflexão ao tema dos quadrados mágicos devido ao excelente livro que me tem ocupado ultimamente o meu tempo dedicado à Matemática Recreativa. Refiro-me à tradução para Castelhano do livro de Henry Dudeney, intitulado - Acertijos, Desafíos e Tableros Matemáticos. Este livro foi publicado em 2007 pela editora RBA e o tema dos quadrados mágicos aparece com alguma frequência. Desta vez associá-lo-ei à operação divisão. Vejamos o seguinte exemplo:

Qual a razão pela qual o quadrado anterior pode ser rotulado de quadrado mágico?

Repare-se que:

a) 6 x 4 : 2 = 12

b) 18 x 8 : 12 = 12

c) 36 x 24 : 72 = 12

d) 6 x 36 : 18 = 12

e) 2 x 72 : 12 = 12

f) 4 x 24 : 8 = 12

g) 6 x 24 : 12 = 12

h) 36 x 4 : 12 = 12

A magia existe ao multiplicarem-se os dois valores extremos de uma qualquer linha horizontal, vertical ou oblíqua e dividir o produto obtido pelo respectivo valor central dessa linha. Neste caso, o valor mágico é 12.

O que acontecerá se se duplicar cada valor das nove células desta figura? Será que o quadrado resultante também será mágico? A sê-lo, qual será o valor mágico?

Vejamos a figura resultante:

Eis a operações a fazer e os respectivos resultados:

a) 12 x 8 : 4 = 24

b) 36 x 26 : 24

c) 72 x 48 : 144 = 24

d) 12 x 72 : 36 = 24

e) 4 x 144 : 24 = 24

f) 8 x 48 : 16 = 24

g) 12 x 48 : 24 = 24

h) 72 x 8 : 24 = 24

O valor mágico ao ser 24 permite que se conclua que a duplicação de cada valor da figura inicial implica obter um valor mágico que é o dobro do valor mágico inicial.

Sendo assim, quais serão os nove valores do quadrado mágico destas características quando o valor mágico for 120? 

Quadrados mágicos e progressões geométricas

Maio 25, 2009

Paulo Afonso

O tema dos quadrados mágicos já várias vezes foi objecto de reflexão neste Blog. Nesta nova ocasião pretendo associar o tema a um outro assunto matemático - as progressões geométricas.

Para iniciar a minha análise solicito que comprovemos que os seguintes 9 números, dispostos de acordo com a imagem que se segue, originam um quadrado mágico especial:

Digo quadrado mágico especial, porque em vez de se obter uma soma mágica pela adição dos valores de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, obtém-se um produto mágico: 1728. De facto:

A - 24 x 2 x 36 = 1728

B - 18 x 12 x 8 = 1728

C - 4 x 72 x 6 = 1728

D - 24 x 18 x 4 = 1728

D - 2 x 12 x 72 = 1728

E - 36 x 8 x 6 = 1728

F - 24 x 12 x 6 = 1728

G - 36 x 12 x 4 = 1728

Reflictamos, agora, acerca destes 9 números. Qual o motivo que leva a que esta magia matemática ocorra?

Estes Números podem ser associados a progressões geométricas (Dudeney, 2007)*. No caso da sua disposição em linha a razão das progressões é 2 e no caso da disposição em coluna a razão das progressões é 3:

2 4 8
6 12 24
18 36 72

 

* - Dudeney, H. (2007). Acertijos, Desafíos y Tableros Mágicos. Barcelona: RBA.

 

Note-se que na tabela anterior a multiplicação envolvendo os valores da linha central (6, 12, 24), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (4, 12, 36) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (2, 12, 72 e 18, 12, 8) já originam o produto 1728: 

A - 6 x 12 x 24 = 1728 

B - 4 x 12 x 36 = 1728 

F - 2 x 12 x 72 = 1728 

G - 18 x 12 x 8 = 1728

O que acontecerá se em vez de se iniciar o estudo pelo número 2, se iniciar pelo número 1? Será que a utilização das progressões geométricas de razão 2 (na horizontal) e razão 3 (na vertical) também possibilitam que os 9 números resultantes origem um novo quadrado mágico envolvendo apenas a operação multiplicacão?

Façamos o estudo:

1 2 4
3 6 12
9 18 36

Tal como no caso anterior, a multiplicação envolvendo os valores da linha central (3, 6, 12), a multiplicação envolvendo os valores da coluna central (2, 6, 18) e as multiplicações envolvendo os valores das duas diagonais (1, 6, 36 e 9, 6, 4) originam um mesmo produto que, neste caso, é 216: 

A - 3 x 6 x 12 = 216 

B - 2 x 6 x 18 = 216

F - 1 x 6 x 36 = 216 

G - 19 x 6 x 4 = 216

Tendo em conta esta análise e respeitando a ordem de grandeza dos números envolvidos na primeira experiência, em termos da posição que ocupam no respectivo quadrado mágico, eis a nova figura mágica obtida:

Obtém-se, pois, um quadrado mágico cujo produto mágico é 216.

Comparando estes dois casos verificamos que este produto mágico 216 está associado à origem 1 dos nove números envolvidos na respectiva figura. Já o produto mágico 1728 está associado à origem 2. Ora, verifica-se que o valor 1728 é oito vezes maior que o valor 216.

Esta observação permite que tecemos a seguinte conjectura: será que o próximo produto mágico, associado ao valor icial 3, será o resultado de 1728 x 8?

Por outro lado, comparando os valores de ambos os quadrados mágicos, verificamos que o valor de cada posição, da figura com maior produto mágico, é sempre o dobro do respectivo valor do quadrado cujo produto mágico é oito vezes que menor que ele.

Esta observação permite uma nova conjectura: será que o próximo quadrado mágico apresentará valores que são o dobro dos que aparecem no quadrado mágico de valor mágico 1728? Esta conjectura cai logo por terra, pois o valor inicial é 3 e 3 não é o dobro de 2.

Contudo, como 3 é o triplo de 1, será que os valores envolvidos no novo quadrado mágico são, respectivamente, o triplo de cada valor do quadrado mágico iniciado pelo valor 1?

Mantendo as progressões geométricas envolvidas nestes exemplos, qual será o produto mágico do quadrado iniciado pelo valor 8?

Sequências numéricas em figuras triangulares

Maio 18, 2009

Paulo Afonso

Associar números a figuras geométricas permite a exploração de múltiplas situações de recreação matemática. Observemos o seguinte triângulo numérico, formado por 9 triângulos mais pequenos:

Numa primeira análise, podemos dividir a figura num triângulo e num trapézio isósceles. Além disto, podemos obter esses dois tipos de figuras através de três processos diferentes:

 PROCESSO A:

 

  

PROCESSO B: 


  

PROCESSO C: 

Analisando-se os três processos em simultâneo verificam-se algumas curiosidades matemáticas muito interessantes. Assim: (a) as somas dos números das figuras triangulares são as seguintes:

Processo A - 19

Processo B - 20

processo C - 21

(b) por sua vez, as somas dos números das figuras trapezoidais são as seguintes:

Processo A - 26

Processo B - 25

Processo C - 24

Existem, pois, estas duas regularidades numéricas.

Contudo, a figura inicial, em vez de ser decomposta num triângulo e num trapézio, pode ser dividida em três triângulos geometricamente iguais: 

CASO A CASO B CASO C

Uma vez mais, também agora estamos perante uma regularidade numérica, pois a soma dos números envolvidos no caso A é 19, no caso B é 20 e no caso C é 21. Tinha que ser assim, pois os triângulos da tabela anterior são os mesmos que antes foram separados dos respectivos trapézios isósceles.

Imagine-se, contudo, que o triângulo inicial não era o que deu origem a todas estas análises, mas, sim, este:

Fazendo, agora, a análise apenas através da decomposição em três triângulos, será que continua a haver regularidade numérica?

Vejamos a tabela seguinte: 

CASO A CASO B CASO C

 A soma do caso A é 21, a do caso B é 19 e a do caso C é 20. Estamos, pois, perante os mesmos valores obtidos na situação anterior.

Vejamos uma terceira possibilidade de se distribuírem os números pelos 9 triângulos da figura, bem como a respectiva divisão em três triângulos:

 

CASO A CASO B CASO C

Eis as somas:

Caso A - 20

Caso B - 21

Caso C - 19

Uma vez mais, os valores repetem-se!

Note-se que todos os casos analisados contemplam o 1, o 2 e 3 nos vértices do triângulo maior.

Será que se fizer o estudo para o caso de os números dos vértices serem o 9, o 8 e o 7, também se obtêm regularidades semelhantes?

Explorando os números de fibonacci

Maio 11, 2009

Paulo Afonso

A sucessão de números de fibonacci é propícia ao desenvolvimento de actividades de recreação matemática. Como é sabido, trata-se de um conjunto de números em que o termo seguinte é a soma dos dois termos anteriores, exceptuando-se os dois primeiros valores que são uns. Eis o início da sucessão:

 

1     1     2     3     5    8    11     19    ...

 

Basta-nos uma breve pesquisa na Internet para nos apercebermos da importância desta sequência numérica ao nível do estabelecimento de conexões entre a matemática e o quotidiano.

 

Este conjunto de números apresenta curiosidades matemáticas interessantíssimas. Uma delas é a de que a soma dos dez primeiros termos é igual ao produto do sétimo termo por 11. Vejamos:

 

1     1     2     3     5     8     13     21     34     55     ...

 

  • 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
  • 11 x 13 (7º termo) = 11 x (10 + 3) = 11 x 10 + 11 x 3 = 110 + 33 = 143

O interessante desta relação é que também funciona para quaisquer outros dez números que sejam relacionados de acordo com as regras desta sucessão, isto é, um determinado termo ser a soma dos dois que o antecedem.

 

Testemos esta ideia, por exemplo, com o seguinte conjunto de números: 3     4     7     11     18     29     47     76     123     199

 

Veja-se que:

3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 + 199 = 517

11 x 47 = 11 x 40 + 11 x 7 = 440 + 77 = 517

Confirma-se, pois, esta curiosidade matemática.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos estudassem a relação algébrica que caracteriza o crescimento desta sucessão.

 

Assim, se os dois primeiros termos forem "a" e "b", respectivamente, o 3º termo será "a + b". Por sua vez, o 4º termo será "a + 2b"; o 5º será "2a + 3b" e o 6º será "3a + 5b".

 

Note-se que se estão a utilizar nos coeficientes do "a" e do "b" os números relativos à sucessão original de fibonacci.

 

Logo, se se juntarem os dois últimos coeficientes que se obtiveram para o "a", que são o 2 e o 3, obtém-se o valor 5. Depois, se se juntarem os dois últimos coeficientes obtidos para o "b", o 3 e o 5, origina-se o valor 8. Assim, "5a + 8b" será o valor do 7º elemento. Consequentemente, o próximo número terá que resultar de "8a + 13b"; o 9º resulta de "13a + 21b" e o 10º resulta de "21a + 34b".

 

Bastava adicionar-se todas as somas que fomos descobrindo para cada um dos dez números ordinais da sequência e, ao dividir essa soma por onze dava "5a + 8b", que é o valor do 7º elemento.

 

De facto, a soma dos dez primeiros termos de qualquer sequência deste tipo origina "55a + 88b", que é, precisamente, onze vezes maior que "5a + 8b".

 

Outra curiosidade interessante deste conjunto numérico é a seguinte:

 

- escolhem-se quatro números sucessivos, como  por exemplo: 2     3     5     8;

- multiplicam-se os extremos: 2 x 8 = 16;

- subtrai-se o quadrado do 3º termo pelo quadrado do 2º: 52 - 32 = 25 - 9 = 16.

 

Será que esta curiosidade se mantém para quaisquer outros quatro números sucessivos desta sequência ou de uma outra que mantenha esta regra de construção?

Rãs de pele lisa, rãs de pele às riscas e padrões numéricos

Maio 04, 2009

Paulo Afonso

Numa recente publicação* portuguesa sobre o tema dos padrões no ensino e aprendizagem da matemática, da autoria de Isabel Vale, Ana Barbosa, António Borralho, Elsa Barbosa, Isabel Cabrita, Lina Fonseca e Teresa PImentel, deparei-me com uma interessante tarefa envolvendo sapos e rãs que pretendiam atravessar um lago. O enunciado era o seguinte: "Dois sapos e duas rãs precisam de atravessar um lago e têm cinco pedrinhas para não ter de mergulhar na água fria. Podem avançar para a pedra seguinte ou saltar por cima de um companheiro, mas não podem voltar para trás.

1. Qual é o número mínimo de movimentos necessários?

2. Resolve o mesmo problema para três animais da mesma espécie.

3. E se fossem 100 rãs?" (Vale et al., 2009, p. 62).

 

* - Vale, I. et al. (2009). Padrões no ensino e aprendizagem da matemática - propostas curriculares para o ensino básico. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo. 

 

Não vou, para já, dar resposta a esta tarefa, mas a mesma levou a que eu próprio me interrogasse com as seguintes questões:

1 - E se em vez de serem dois sapos e duas rãs, com uma única pedra vazia a separá-los, fossem apenas uma rã de pele lisa  e outra de pele às riscas, mas com duas pedras disponíveis para elas poderem avançar, como mostra a figura seguinte? Quantos seriam os movimentos para que viessem a trocar de posição, mantendo as condições do enunciado dos sapos e das rãs?

 

2 - E se fossem duas rãs de pele lisa e outras duas rãs de pele às riscas, mas continuando a ter as duas pedras a separá-las? Quantos movimentos haverá a fazer?

Vamos analisar a situação, caso a caso.

A tabela seguinte permite evidenciar o tipo de movimentos que as rãs poderão fazer, havendo apenas uma de pele lisa (rã A) e outra de pele às ricas (rã B):

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago  
Início A     B
1º movimento   A   B
2º movimento     A B
3º movimento   B A  
4º movimento   B   A
5º movimento B     A

A tabela anterior permite concluir que são necessários 5 movimentos para que as rãs troquem de posição.

Analisemos, agora, o caso de serem duas rãs de pele lisa (rãs A e B) e duas rãs de pele às riscas (rãs C e D), continuando a haver duas pedras vazias entre elas:

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago  
Início A B     C D
1º movimento A   B   C D
2º movimento A     B C D
3º movimento A   C B   D
4º movimento   A C B   D
5º movimento C A   B   D
6º movimento C A   B D  
7º movimento C A     D B
8º movimento C   A   D B
9º movimento C     A D B
10º movimento C   D A   B
11º movimento C D   A   B
12º movimento C D     A B

Esta tabela permite concluir que serão necessários mais 7 movimentos do que no caso anterior, pois só ao fim de 12 movimentos das rãs é que as suas posições ficam permutadas. 

Estes dois casos, agora analisados, permitem que se coloque a seguinte conjectura: "serão necessários mais 7 movimentos do que estes 12, para o caso de serem três rãs de pele lisa (A, B e C) e três rãs de pele às riscas (D, E e F), continuando a haver duas pedras livres entre elas?"

Testemos a conjectura com a tabela seguinte:

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago 
Início A B C     D E F
1º movimento A B   C   D E F
2º movimento A B     C D E F
3º movimento A B   D C   E F
4º movimento A   B D C   E F
5º movimento A D B   C   E F
6º movimento A D B     C E F
7º movimento A D B   E C   F
8º movimento A D   B E C   F
9º movimento A D   B E C F  
10º movimento A D   B E   F C
11º movimento A D     E B F C
12º movimento   D A   E B F C
13º movimento D   A   E B F C
14º movimento D   A E   B F C
15º movimento D E A     B F C
16º movimento D E A   F B   C
17º movimento D E A   F   B C
18º movimento D E   A F   B C
19º movimento D E F A     B C
20º movimento D E F   A   B C
21º movimento D E F     A B C

A tabela anterior não confirma a conjectura formulada, mas o estudo deste terceiro caso, associado aso anteriores, permite o estabelecimento de algumas relações numéricas entre o número de cada tipo de rãs para cada caso e o respectivo número total de movimentos:

Nº de rãs de cada tipo Total de movimentos de todas as rãs
1 5
2 12
3 21

Note-se que de 5 para 12 vão 7 e que de 12 para 21 vão 9. Logo, será de prever que para quatro rãs de cada tipo haveria 21 + 11 movimentos, o que resultava no valor 32.

Analisemos os valores da coluna do total de movimentos de todas as rãs e vejamos a seguinte constatação:

5 = 1 x 5

12 = 2 x 6

21 = 3 x 7

Logo, 4 x 8 = 32.

Por sua vez:

5 = 1 x (5 + 0)

12 = 2 x (5 + 1)

21 = 3 x (5 + 2)

Logo, 4 x (5 + 3) = 32.

Esta última análise permite que cheguemos à lei de formação destas regularidades numéricas:

Para "n" rãs de cada tipo, o número de movimentos a realizar será o seguinte: n x [5 + (n - 1)]. 

Tendo em conta esta lei geral, qual o número de movimentos a realizar por 10 rãs de cada tipo, continuando a haver duas pedras livres entre elas?

Tente fazer o estudo para o caso descrito no início deste texto, enunciado no livro dos autores supra mencionados, isto é, havendo apenas uma pedra livre entre: (a) um sapo e uma rã, (b) dois sapos e duas rãs, (c) três sapos e três rãs e, (d) a respectiva lei geral.

Consegue estimar a lei geral para o caso de haver três pedras livres entre estes seres vivos?

Sequências numéricas lacunadas

Abril 27, 2009

Paulo Afonso

Ao nível da recreação matemática é vulgar assistirmos à apresentação de sequências numéricas em que nos é solicitado que as continuemos ou que descubramos as leis gerais que, matematicamente, as suportam.

Um exemplo ilustrativo do que acabo de referir é a tarefa seguinte, que visa a descoberta dos números que faltam:

 

36     __     52     60     __

 

Esta tarefa pode ser facilmente resolvida, pois, o par de números 52 e 60 dá-nos a pista de que os números estão dispostos segundo um progressão aritmética de razão 8, com início no valor 36.

Esta constatação permite que associemos a primeira lacuna ao valor 44 e a última ao valor 68, pois, 44 = 36 + 8 e 68 = 60 + 8.

Em situação de sala de aula seria interessante que os alunos descobrissem a lei geral desta sequência numérica, estabelecendo um raciocínio semelhante ao que apresento a seguir:

1º termo             -     36 = 36 + 0 x 8

2º termo             -     44 = 36 + 1 x 8

3º termo             -     52 = 36 + 2 x 8

4º termo             -     60 = 36 + 3 x 8

5º termo             -     68 = 36 + 4 x 8

...

nésimo termo     -     T   = 36 + (n - 1) x 8 

Tendo em conta esta lei geral, facilmente podemos obter um qualquer número desta sequência, pois o valor em causa resulta da adição do número 36 com o produto da posição que esse número ocupa na sequência, menos uma unidade, e o valor 8.

A título de exemplo, o 11º termo desta sequência numérica é o 116, pois 116 = 36 + (11 - 1) x 8.

Analisando um pouco mais esta sequência de números, também se constata que cada um é a soma de oito números consecutivos. Veja-se o caso dos três primeiros números da sequência:

Confirma-se que 36 é o resultado da adição dos oito primeiros números naturais; 44 é a soma de oito números naturais, iniciados pelos valor 2, e o 52 também resulta da adição de oito números naturais, iniciados pelor valor 3.

Tendo em conta este novo padrão ou regularidade, poder-se-ia pensar quais seriam os oito números naturais consecutivos, cuja soma fosse 100:

Ora, igualando a lei geral [36 + (n - 1) x 8] a 100, descobre-se para "n" o valor 9. Logo, o início da sequência numérica será o número 9. De facto, 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16:

O que acontecerá se os números utilizados forem apenas os números ímpares?

Vejamos os três primeiros exemplos:

Neste caso, a identificação da lei geral dos números envolvidos nas somas passa pelo seguinte raciocínio:

1º termo             -     65 = 64 + 0 x 16

2º termo             -     80 = 64 + 1 x 16

3º termo             -     96 = 64 + 2 x 16  

...

nésimo termo     -     T   = 64 + (n - 1) x 16

Quais serão so oito números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 160?:

Experimente fazer, também, um estudo para o caso dos números pares e tire as respectivas conclusões.

Conectar a álgebra a triângulos numéricos

Abril 20, 2009

Paulo Afonso

Associar os números a figuras geométricas costuma ser uma opção interessante para se proporem actividades de recreação matemática. Um exemplo paradigmático é o das figuras mágicas (triângulos, quadrados, polígonos estrelados, etc), pois costumam cativar os resolvedores para a descoberta de um único valor (mágico), que se obtém pela adição de vários outros números, dependendo da posição que ocupam na respectiva figura geométrica.

O exemplo que eu escolhi para ilustrar esta ideia é ligeiramente diferente do que acabei de descrever. Trata-se de uma figura de aspecto triangular, cujos valores, exceptuando os da linha da base, resultam sempre da adição dos dois números que estão por baixo deles.

Tendo em conta que a figura seguinte só apresenta alguns dos valores, procure descobrir os restantes, de modo a que esta regra se mantenha:

 

A resolução da tarefa é a seguinte:

Repare-se que o início mais fácil para se resolver a tarefa é o que passa pela procura do valor que adicionado ao 30 origina o 67. Fica identificado o valor 37. De seguida, obtém-se o valor 75 por ser a soma de 37 com 38. Com estes valores já identificados, facilmente se descobre o valor do topo da figura, pois trata-se da soma de 67 com 75, isto é, 142.

Resta, agora, a identificação dos valores da linha da base e da 2ª linha. Sabe-se que ter-se-ão de identificar dois valores cuja soma é 30. Contudo, estes dois valores estão dependentes do valor a colocar entre o 5 e o 9, na linha da base.

Uma possível estratégia de resolução poderá passar pela elaboração de uma lista organizada. Assim, se associarmos ao valor 5 a letra A, ao valor 9 a letra C e ao valor a colocar entre eles a letra B, o que tem que se investigar é o valor de B de modo que (A + B) + (B + C) = 30.

Comecemos por aproximar o valor de A + B a 15, logo, B = 10. Como ficamos longe do 30, podemos passar ao estudo para o caso do B = 9. Uma vez mais, ainda não se obtém o valor 30, mas aproximamo-nos desse valor, o que indicia ser favorável associar, a seguir, o valor 8 ao B. Testando-o, confirma-se que é esse o valor que o B terá de assumir:

A B C A + B B + C (A + B) + (B + C)
5 10 9 15 19 15 + 19 = 34
5 9 9 14 18 14 + 18 = 32
5 8 9 13 17 13 + 17 = 30

Fica, pois, descoberto o valor 8 para ser colocado entre o 5 e o 9, na fila de baixo e os valores 13 e 17 a colocar por baixo do 30.

Por último, já fica fácil descobrir os três valores que restam. São eles o 20, o 18 e o 11.

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como por exemplo a de se descobrir todos os valores que faltam numa figura parecida com a anterior, conhecidos apenas os quatro valores da base - quatro primeiros números naturais, colocados de forma consecutiva:

Eis como fica a figura:

Analisemos, agora, o que se passa quando substituimos os valores da base, respectivamente, por 2, 3, 4, 5 e 3, 4, 5, 6:

Note-se que quando se iniciou pelo valor 1 na base, o valor final, do topo, foi o 20; iniciando pelo 2, o valor final passou a ser o 28; iniciando no 3, o valor final foi o 36.

Seria interessante que os alunos pudessem identificar esta relação, procurando, inclusive, descobrir se existe um padrão ou uma regularidade entre o valor inicial e o final. De facto, ela existe e é a seguinte: f = 20 + (i - 1) x 8, sedo "f" o valor de topo e "i" o valor inicial, isto é, o menor dos quatro números da base, pois:

quando i = 1     =>   f = 20

quando i = 2     =>   f = 28        (20 + 1 x 8)

quando i = 3     =>   f = 36        (20 + 2 x 8)

...

 

quando i = n     =>   f = [20 + (n - 1) x 8]

Esta lei geral permite que nos questionemos acerca de qual será o valor de topo quando o menor valor da base é, por exemplo, o 17.

Aplicando a lei: f = 20 + (17 - 1) x 8 = 148.

Eis a confirmação:

Note-se, por outro lado, que a soma dos dois valores extremos da base (17 + 20 = 37) coincide com a quarta parte do valor do topo, pois, 148 = 4 x 37. Esta constatação também é válida para todos os casos anteriores (que envolveram 4 números consecutivos na base), pois:

20 = 4 x (1 + 4)

28 = 4 x (2 + 5)

36 = 4 x (3 + 6)

A figura seguinte explica a relação algébrica que está em causa:

De facto, 4 x (2a + 3) = 8a + 12 

Assim, qual será o valor de topo, se os dois valores extremos da base forem o 9 e o 12?

Facilmente se conclui que será o valor 84, pois (9 + 12) x 4 = 84.

Por outro lado, quais serão os dois números extremos da base de uma figura semelhante a estas se o valor de topo for 172?

Esta tarefa passa por se obter um valor que é a quarta parte de 172. Esse valor é o 43. De seguida tem que se encontrar o valor de "x" na seguinte igualdade: x + (x + 3) = 43. Desta igualdade resulta para o "x" o valor 20 e para o "x + 3" o valor 23.

Desafio os meus leitores a fazerem o estudo semelhante para o caso de na base estrem 5 números consecutivos. Será que se obterá uma nova regularidade? Será que o valor do topo é o quádruplo da soma dos dois valores extremos da base? Qual a lei geral para se obter o valor do topo a partir do valor inicial da base?

E se em vez de cinco, forem seis os valores inteiros consecutivos na base? Que conclusões podem ser encontradas?

Caminhos numéricos

Março 30, 2009

Paulo Afonso

Aparentemente desligada de qualquer conceito matemático, a figura seguinte visa obter um resultado final a partir de um número dado e de dois critérios operativos numéricos, um na horizontal e outro na vertical:

Este desafio, pela sua simplicidade, permite que rapidamente seja encontrado o valor 11 para a célula final:

Em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que cada valor colocado numa linha oblíqua resulta da combinação das duas operações a realizar, respectivamente, em linha e em coluna. Neste caso, trata-se da adição de 5 unidades. Como isto ocorre duas vezes na linha diagonal máxima desta figura, significa que o resultado final (F) será a soma do valor de partida (P) com duas vezes a adição de 5 unidades: F = P + 5 + 5. Simplificando, F = P + 2 x 5:

Esta tarefa permite que os alunos sejam desafiados a identificar todos os percursos desde o valor 1 inicial até ao valor 11 final. Com esta questão estar-se-á a trabalhar o conceito matemático da decomposição do número, pois identificar-se-ão algumas decomposições do valor 11:

1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11 1 + 2 + 5 + 3 = 11 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 11
1 + 2 + 3 + 5 = 11 1 + 2 + 3 + 3 + 2 = 11 1 + 5 + 2 + 3 = 11
1 + 5 + 5 = 11 1 + 5 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 2 + 2 + 3 = 11
1 + 3 + 2 + 5 = 11 1 + 3 + 2 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 5 + 2 = 11
1 + 3 + 3 + 2 + 2 = 11    

Estas são, pois, 13 possibilidades de decompor o valor 11.

Voltando à situação inicial, constata-se que a fórmula identificada (F = P + 2 x 5) funciona para outros casos, como os seguintes:

No 1º caso: 2 + 2 x 5 = 12. No 2º caso: 10 + 2 x 5 = 20.

Se se mudarem os critérios aditivos, quer em linha, quer em coluna, será que a regularidade, agora identificada, também se mantém?

Vejamos os seguintes casos: 

No 1º caso: 1 + 2 x 7 = 15. No 2º caso: 10 + 2 x 11 = 32. Confirma-se, pois, que o valor final resulta sempre da adição do valor inicial com o dobro da soma dos operadores aditivos envolvidos em em linha e em coluna.

Será que a operação multiplicação também permite uma analise semelhante a este caso da adição?

Iniciemos o estudo através da figura seguinte:

Note-se que, neste caso, também poderemos avançar com um algoritmo que servirá para vários casos envolvendo estes valores operativos: F = P + 6 x 6, isto é, F = P x 62:

Concluimos, pois, que esta operação envolve o conceito de potenciação, pois o valor final resulta do produto do valor inicial com o quadrado do valor envolvido no produto dos operadores em linha e em coluna.

Esta nova lei geral também se aplica no caso se se substituir o valor inicial 1 pelo valor 2:

 

Confirma-se que 2 x 62 = 72.

Tendo em conta estas análises, recorra ao esquema seguinte para confirmar a sua identificação do valor final para um novo caso como estes, em que os critérios multiplicativos  passam a ser "x 5" na horizontal e "x 6" na vertical e cujo valor inicial é 100:

Se este mesmo quadro de 3 por 3 passasse à forma 5 x 5, qual seria o valor final? Como se deve obter esse valor sem se recorrer à elaboração do esquema?

Actividades de lógica matemática

Março 23, 2009

Paulo Afonso

Em contexto de recreação matemática as tarefas que apelam ao uso do raciocínio lógico têm algum impacto junto de um determinado tipo de público, aquele que gosta de exercitar as suas capacidades cognitivas de nível superior, como sejam: analisar, reflectir, estimar, conjecturar, testar, inferir, entre outras.

O exemplo que escolhi para ilustrar esta ideia propõe que se analise um conjunto de informação fornecida, com o intuito de se estabeleer algum tipo de relação lógico-matemática.

Como se trata de uma situação muito aberta, é natural que cada sujeito encontre uma solução diferente para a interrogação proposta:

 

A tabela seguinte ilustra algumas respostas possíveis:

SITUAÇÃO A SITUAÇÃO B
SITUAÇÃO C SITUAÇÃO D

A resposta relativa à situação A baseia-se na análise de que metade do cículo é formado por potências de base dois: 22, 24 e 26. Por sua vez, a outra metade já apresenta dois valores associados a potências de base três: 32 e 34. Sendo assim, o valor que poderá substituir o ponto de interrogação será o 729, por ser o valor relativo à seguinte potência de base três com expoente par: 36.

No caso da situação B o valor 78 pode resultar da seguinte análise: 4 + 16 + 64 = 84. Por seu turno, a outra metade do círculo numérico tem o dobro da soma deste anteriormente somado. Logo, o valor que falta acrescentar a 9 + 81 para se obter a soma 168 é o valor 78.

Já a situação C pode ser vista da seguinte forma: 4 + ? = 64 + 9. Logo, para a soma 73, o valor do símbolo "?" será 69. Neste caso, a soma de 16 com 81 não interfere nas somas dos valores extremos.

Por último, a situação D pode ser vista da seguinte forma, 4 = 4; 1 + 6 = 7; 6 + 4 = 10 (utilização de potências de base dois), isto é, há sempre um incremento de 3 unidades entre cada duas somas. Por sua vez, na outra parte do círculo numérico, 9 = 9 (usando um símbolo e uma potência de base três); 8 + 1 = 9 (usando dois símbolos e uma potência de base três); 243 (usando três símbolos e um potência de base três).

Estas são apenas algumas relações lógicas que se poderiam estabelecer a partir dos valores apresentados.

Veja-se, agora, a situação seguinte e procurem-se também algumas relações lógicas:

 Uma possível solução é a seguinte:

A relação identificada é a seguinte: 1 + 5 é metade de 1 + 11. Logo, 1 + 25 também será metade de 1 + 51.

Haverá outras soluções? Explique o seu racioicínio.

Regularidades envolvendo quadrados coloridos

Março 16, 2009

Paulo Afonso

Imaginemos que o módulo de mosaico quadrado, formado por quadrados, representado na figura seguinte, servia como unidade de pavimentação:

Uma possível pavimentação seria criada  a partir da junção de quatro desses módulos:

Se em vez de quatro se juntassem dezasseis módulos, a pavimentação resultante seria a seguinte:

Analisando-se o número de quadrados azuis (Z) e de quadrados amarelos (A) envolvidos em cada caso, bem como o total de quadrados (Q), constatam-se algumas regularidades:

Q Q Q
9 36 144
Z A Z A Z A
5 4 20 16 80 64

1ª - o número de quadrados azuis é sempre maior do que o número de quadrados amarelos;

2ª - o total de quadrados é sempre um número quadrado (9 = 32; 36 = 62 e 144 = 122);

3ª - de caso para caso o número de quadrados azuis ou amarelos aumenta quatro vezes;

4ª - o nº de quadrados amarelos é sempre uma potência de base dois, com expoente par (4 = 22; 16 = 24 e 64 = 26).

Com base nestas regularidades qual será o aspecto de uma pavimentação semelhante a estas, que tenha 210 quadrados amarelos, isto é, quantos serão os quadrados azuis e qual o total de quadrados envolvidos?

Imagine-se um outro tipo de pavimentação que também recorre aos quadrados amarelos e azuis, cujo modelo é o seguinte:

Uma pavimentação ligeiramente maior pode ser a seguinte:

Tendo em conta o número de quadrados amarelos (A), quadrados azuis (Z) e o total de quadrados (Q) em cada caso, refira estes valores para uma nova pavimentação, semelhante a estas, cuja linha central é formada por 11 quadrados amarelos e 10 azuis.

Mais sobre mim

foto do autor

Subscrever por e-mail

A subscrição é anónima e gera, no máximo, um e-mail por dia.

Arquivo

  1. 2013
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2012
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2011
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2010
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2009
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D
  1. 2008
  2. J
  3. F
  4. M
  5. A
  6. M
  7. J
  8. J
  9. A
  10. S
  11. O
  12. N
  13. D

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"