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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Calendários escritos em diferentes bases numéricas

Fevereiro 18, 2012

Paulo Afonso

o é a primeira vez que dedico atenção às bases e sistemas de numeração neste blog. Apesar de o nosso sistema de numeração ser de base decimal, torna-se importante que percebamos como funcionam outros sistemas de numeração suportados por outras bases que não sejam a decimal.

 

O exemplo mais vezes referenciado no nosso quotidiano será, porventura, o sistema de numeração de base dois ou binário. Como sabemos, trata-se de um sistema de numeração baseado apenas em dois tipos de símbolos escritos, o zero (0) e o um (1), muito utilizado no âmbito da informática.

 

Com estes dois únicos símbolos numéricos podem-se representar, por escrito, quaisquer quantidades numéricas. A título de exemplo, se se pretender representar a quantidade dois neste sistema de numeração, ter-se-á que utilizar o seguinte numeral: 10. O mesmo deverá ler-se: um grupo de dois e zero unidades. Já o numeral 11 representará o número cardinal três. A sua leitura deverá ser esta: um grupo de dois e uma unidade. Por sua vez, a quantidade quatro deverá ser apresentada da seguinte forma: 100. A sua leitura será: um grupo de quatro, zero grupos de dois e zero unidades. Assim sendo, a quantidade cinco será formada por um grupo de quatro, zero grupos de dois e uma unidade, isto é: 101.

 

Tendo em conta este sistema de numeração, dê continuidade ao preenchimento de um hipotético calendário relativo ao mês de Janeiro:

 

A imagem seguinte visa dar resposta ao desafio colocado:

 

 

Avaliemos alguns exemplos desse calendário... Como sabemos, o mês de janeiro tem trinta e um dias, pelo que a última célula preenchida deverá representar essa quantidade. E como é que o numeral 11111 constitui a representação escrita, na base dois ou binário, do cardinal trinta e um?

 

Como sabemos, se a mesma representação numérica 11111 fosse referente ao nosso sistema de numeração decimal, o mesmo queria dizer o seguinte:

 

Dezenas de MilharUnidades de MilharCentenasDezenasUnidades
104103102101100
%$&«*
11111

 

Teríamos:

- 1 dezena de milhar, isto é 1 x 104;

- 1 unidade de milhar, isto é 1 x 103;

- 1 centena, isto é 1 x 102;

- 1 dezena, isto é 1 x 101;

- 1 unidade, isto é 1 x 100.

 

Logo, concluímos que 11111 = 1 x 104 + 1 x 103 + 1 x 102 + 1 x 101 + 1 x 100.

 

Esta leitura não escapa ao nosso entendimento racional, porque estamos habituados a lidar com este sistema de numeração decimal ou de base dez. O critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dez.

 

Retomemos, então, o numeral 11111 escrito no binário ou base dois e façamos um estudo semelhante ao acabado de fazer para a base dez:

 

Grupos de dezasseisGrupos de oitoGrupos de quatroGrupos de doisUnidades
2423222120
%$&«*
11111

 

Neste caso os valores da tabela deverão ser interpretados da segunte forma:

- 1 grupo de dezasseis, isto é 1 x 24;

- 1 grupo de oito, isto é 1 x 23;

- 1 grupo de quatro, isto é 1 x 22;

- 1 grupo de dois, isto é 1 x 21;

- 1 unidade, isto é 1 x 20.

 

Logo, concluímos que 11111 (escrito na base dois) = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.

Neste caso, o critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dois.

 

Vejamos outro exemplo do calendário, como seja 10110. Está colocado na célula referente ao dia 22 de janeiro. Estará correto?

 

Façamos a respetiva conversão para a base decimal: 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22. Confirma-se, pois, que o valor 22 escrito em numeração binária ou de base dois é a seguinte 10110(base dois).

 

E se o nosso sistema de numeração não fosse o decimal nem o de base dois, mas, sim, o de base três? Como estariam representados os dias do mês de fevereiro de um ano bissexto?

 

Comecemos por perceber que o critério de mudança deste sistema de numeração será o "de três em três", isto é, só se avança para a ordem seguinte quando se atingir na ordem anterior a quantidade três. Logo, os símbolos disponíveis são apenas três (0, 1 e 2).

 

Comecemos por representar os primeiros cinco números de acordo com este critério de mudança:

 

 

Repare-se que:

1 = 1;

2 = 2;

3 = 10, isto é um grupo de três e zero unidades;

4 = 11, isto é um grupo de três e uma unidade;

5 = 12, isto é um grupo de três e duas unidades.

 

Como ficará o resto do calendário?

 

Espera-se que a quantidade seis seja vista como sendo dois grupos de três e zeros unidades, isto é 30. Já a quantidade sete será dois grupos de três e uma unidade e assim sucessivamente:

 

 

A título de certificação, vejamos, também agora, o último número deste mês, o que é relativo ao dia 29 de fevereiro.

1002(base três) = 1 x 33 + 0 x 32 + 0 x 31 + 2 x 30 =  27 + 0 + 0 + 2 = 29. Confirma-se, pois, o valor esperado.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante desafiar os alunos a investigar a feitura dos restantes meses do ano, atribuindo a cada um uma base diferente, isto é: (a) ao mês de março atribuir a base quatro; (b) ao mês de abril atribuir a base cinco; (c) ao mês de maio atribuir a base seis; (d) ao mês de junho atribuir a base sete; (e) ao mês de julho atribuir a base oito; (f) ao mês de agosto atribuir a base nove; (g) ao mês de setembro atribuir a base dez; (h) ao mês de outubro atribuir a base onze; (i) ao mês de novembro atribuir a base doze e (j) ao mês de dezembro atribuir a base treze.

 

Como ficariam os calendários?

 

Vejamos até ao mês de Agosto, inclusivé:

 

 

 

 

 

 

Já o mês de setembro, por usar a base decimal, suscitará uma leitura mais imediata e linear:

 

 

 

O mês de outubro, associado à base onze, implica uma dificuldade acrescida por não haver um símbolo numérico que represente a quantidade dez, pois os que conhecemos coincidem com os dez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Sendo assim, sempre que se pretender representar a quantidade dez usar-se-á a letra A. Logo, a quantidade vinte e um, escrita nesta base onze será 1A, isto é, um grupo de onze mais dez unidades. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

O mesmo se passa com o mês de novembro, escrito na base doze, pois ter-se-á que associar o símbolo A à quantidade dez e um novo sómbolo B à quantidade onze. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

Como será o último mês do ano, se for preenchido com base no critério de "treze em treze"?

 

Relógios matemáticos

Janeiro 28, 2012

Paulo Afonso

A Matemática, como ciência, possibilita que muitos dos seus conceitos, de natureza abstrata, possam ser aplicados a situações da vida quotidiana das pessoas. Não me refiro exclusivamente ao cálculo mental, tão necessário para a realização de estimativas na hora de fazermos algumas compras num eventual supermercado, mas sim a múltiplas outras aplicações da Matemática nas nossas rotinas diárias.

 

Baseado neste pressuposto, e dando-lhe um cunho marcadamente investigativo e lúdico, gostaria de desafiar os leitores deste blog à realização de uma pequena investigação envolvendo apenas quatro vezes o número 3 para se obter o valor 3. Para tal é permitido a utilização do cálculo aritmético simples (adições, subtrações, multiplicações e divisões), parêntesis curvos e retos, a raíz cúbica, o fatorial, a junção de alguns destes números 3 para obter, por exemplo, 33 ou 333 ou potências de base três e expoente três.

 

A título de exemplo, o 3 pode ser obtido através dos seguintes cálculos:

 

 

 

 

 

De facto, usando-se apenas as operações aritméticas (exemplo da esquerda) ou o fatorial (exemplo do meio) ou o radical de índice 3 (exemplo da direita), obtém-se sempre o valor 3.

 

E se o desafio fosse, agora, o de se obter o valor 11, usando o mesmo critério anterior?

 

Eis três exemplos, que voltam a utilizar alguns conceitos matemáticos, além da priorização de algumas operações aritméticas em relação a outras. Refiro-me ao conceito de fatorial de um número e às potências de base três com expoente três:

 

11 = 3! + 3! - 3 : 311 = (33 + 3!) : 311 = 3 x 3 + (3! : 3)

 

Será que este desafio também obtém resposta favorável para os restantes números pertencentes a um mostrador de relógio, isto é, será possível obter os números, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 12 usando o critério agora utilizado para a obtenção dos números 3 e 12?

 

Esta tarefa de recreação matemática, em conceito de sala de aula, pode suscitar a divisão da turma em pequenos grupos, de modo que haja divisão dos números que são objeto de investigação.

 

Eis uma possível solução para a tarefa proposta:

 

1 = (3 + 3) : ( 3 + 3)

 

2 = 3 : 3 + 3 : 3

 

4 = 3 + 33 - 3

 

5 = (3 + 3) : 3 + 3

 

6 = 3 + 3 + 3 - 3

 

7 = 3 : 3 + 3 + 3

 

8 = 3 x 3 - (3 : 3)

 

9 = 3 x 3 + 3 - 3

 

10 = 3 x 3 + (3 : 3)

 

12 = 3 + 3 + 3 + 3

 

Sendo assim, eis como poderia ficar um hipotético relógio de parede de uma sala de aula de Matemática, elaborado apenas com quatro vezes o número 3 para cada valor do mostrador:

 

 

Será que é possível conceber um relógio semelhante a este, mas envolvendo sempre quatro vezes o valor 4 para cada valor do respetivo mostrador?

 

Após investigação aturada, seria interessante que surgisse uma proposta semelhante a esta:

 

 

 

 

Faça um estudo semelhante para um novo mostrador de relógio, formado apenas por quatro vezes o número 5 para cada valor desse mostrador.

 

Números oblongos e investigações matemáticas

Janeiro 01, 2012

Paulo Afonso

Utilizar várias sequências numéricas para que se lhes dê continuidade tem sido apanágio deste blog. Desta vez, apesar de ter escolhido um conjunto de números cuja relação matemática é facilmente identificável, permite um leque alargado de investigações matemáticas que ajudam a ilustrar a dimensão apaixonante desta Ciência.

 

Eis os números a que se deve dar continuidade:    

2     6     12     20     ____     ____

 

Como disse, facilmente nos poderemos aperceber das seguintes relações:

 

2 + 4 = 6

6 + 6 = 12

12 + 8 = 20

 

Dando-se continuidade a este tipo de relação numérica, facilmente se poderá prever o 30 como sendo o próximo número da sequência, por resultar de 20 + 10. De facto, 10 é o próximo número par a seguir ao 8.

 

Logo, o próximo elemento seria o 42, pois 42 = 30 + 12, sendo o 12 o valor par a acrescentar ao elemento da sequência anterior.

 

Ora, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem ser solicitados a investigar se haveria alguma lei matemática que explicasse este tipo de incrementos entre os elementos da sequência numérica.

 

Este desafio poderá suscitar várias investigações por parte dos resolvedores.

 

Uma primeira aproximação poderia passar pela identificação da relação existente entre o primeiro elemento da sequência e cada um dos restantes. Vejamos:

 

Ordem do termo na sequência Valor do termo Relação com o 1º termo
2  
6 2 + 1 x 4
12 2 + 2 x 5
20 2 + 3 x 6
30 2 + 4 x 7
42 2 + 5 x 8

  

Analisando-se os valores da coluna da direita, também se pode referir para o 1º caso que 2 = 2 + 0 x 3, pois ajuda a complementar esta forma recursiva de analisar os valores aí presentes.

 

Assim sendo, facilmente se percebe que a lei geral de obtenção de qualquer número (t) desta sequência pode ser a seguinte: t = 2 + (n - 1) x (n + 2), sendo "n" a ordem do termo na sequência. Logo, o 7º termo seria o seguinte: t7 = 2 + (7 - 1) x (7 + 2) = 2 + 6 x 9 = 56.

 

Por outro lado, confirma-se que utilizando o próximo valor, par, a seguir ao 12, isto é, o 14, obtém-se o valor 56. De facto, 42 + 14 = 56.

 

Esta é apenas uma das investigações que esta tarefa permite. Outra passa por se associar cada um dos elementos da sequência numérica a um produto de fatores consecutivos:

 

2 = 1 x 2

6 = 2 x 3

12 = 3 x 4

20 = 4 x 5

 

Logo, poderá haver uma outra lei capaz de gerar este conjunto de números. De facto, cada termo da sequência (t) resulta do produto do valor desse termo com o seu sucessor, isto é t = n x (n + 1). Trata-se da fórmula geradora de um tipo de números figurados, que são os números oblongos, pois cada valor pode estar associado a uma figira geométrica retangular cujas medidas são "x" e "x + 1".

 

Logo, confirma-se o valor 56, como sendo o 7º termo desta sequência, pois t7 = 7 x (7 + 1) = 7 x 8 = 56. 

 

Um outro desafio interessante que se pode lançar a propósito desta sequência de números é o seguinte: Obter o valor 2 usando apenas três 2, obter o valor 6 usando apenas três 3, obter o valor 12 usando apenas três 4 e obter o valor 20 usando apenas três 5.

 

Uma possível hipótese de resposta poderá ser a seguinte:

 

2 = 2 x 2 - 2

6 = 3 x 3 - 3

12 = 4 x 4 - 4

20 = 5 x 5 - 5

 

Logo, uma outra lei geral que pode originar qualquer um destes números (t) é a seguinte: t = (n + 1) x (n + 1) - (n + 1). Uma vez mais, confirmemos o 7º termo usando, agora, esta nova lei geral. t7 = (7 + 1) x (7 + 1) - (7 + 1) = 8 x 8 - 8 = 56.

 

Eis uma outra extensão deste desafio inicial: Obter o valor 2 usando apenas três 1, obter o valor 6 usando apenas três 2, obter o valor 12 usando apenas três 3 e obter o valor 20 usando apenas três 4. Qual a nova lei geral que surge a partir deste novo desafio? 

Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos

Dezembro 11, 2011

Paulo Afonso

Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.

 

Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.

 

Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:

 

n = 121 - 1 = 2 - 1 = 1
n= 222 - 1 = 4 - 1 = 3
n = 323 - 1 = 8 - 1 = 7
n = 424 - 1 = 16 - 1 = 15
n = 525 - 1 = 32 - 1 = 31
n = 626 - 1 = 64 - 1 = 63
n = 727 - 1 = 128 - 1 = 127
n = 828 - 1 = 256 - 1 = 255
n = 929 - 1 = 512 - 1 = 511
n= 10210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

 

Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.

 

Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?

 

Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:

 

n = 23 x 2n-1 = 3 x 2 = 6
n = 37 x 2n-1 = 7 x 4 = 28
n = 531 x 2n-1 = 31 x 16 = 496
n = 7127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128
n = 9511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816

  

Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?

 

Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:

 

Fatorização do 6Fatorização do 28Fatorização do 496
  

 

6 = 2 x 328 = 22 x 7496 = 24 x 31

 

Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:

 

 

Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:

 

 

Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:

 

 

Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?

 

Vejamos:

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

 

Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.

 

A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.

 

Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?

 

 

Conexão matemática entre o Crivo de Eratóstenes e os números de Fibonacci

Dezembro 03, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática Recreativa é usual recorrer-se a quadros numéricos, como o seguinte, para que se desafiem as pessoas a detetar eventuais regularidades ou padrões, sejam eles de natureza numérica ou de natureza geométrica. O desafio com que inicio esta nova reflexão visa a identificação de algo que seja comum a todos os números que estão em destaque.

 

Qual será a característica que os une a todos?

 

 

 

Obviamente que quem não conhecer o conceito de número primo terá dificuldade em responder ao desafio colocado, pois a resposta é exatamente dizer-se que se tratam de todos os números primos inferiores ao valor 100. De facto, qualquer deles só admite dois divisores: ele próprio e a unidade, isto é, no conjunto dos números inteiros, somente a divisão por eles próprios ou por 1 dará resto zero.

 

Ora, se se fizer uma pesquisa rápida na Internet sobre o tema "números primos", facilmente daremos conta de que não existe uma fórmula ou algoritmo que nos permita encontrar todos os números primos. Talvez por este motivo os números primos sejam tão usados em códigos secretos, pois a sua decifração não é tarefa fácil.

 

Contudo, o quadro anterior pode servir de modelo matemático muito útil para se encontrarem todos os números primos inferiores ao 100. Denominado de Crivo de Eratóstenes, o mesmo pode ser explorado em contexto de sala de aula de Matemática ou junto de familiares e amigos da seguinte forma: esquecendo o 1, por não fazer parte deste tema, vamos isolar o 2 e eliminar (com uma outra cor) todos os números do quadro que sejam múltiplos do 2. Eis como fica inicialmente o quadro depois desta crivagem:

 

 

Eliminaram-se, pois, todos os números pares, à exceção do 2, por este ter sido selecionado.

 

De seguida vamos continuar a utilizar este crivo a partir do próximo número que não foi eliminado agora, isto é, o 3. Seleciona-se este número e dever-se-ão eliminar todos os múltiplos do 3. Claro está que há múltiplos do 3 que já aparecerão eliminados devido ao facto de também serem múltiplos do 2, como sejam, a título de exemplo, o 6, o 12, o 30, etc. Eis como fica agora o quadro:

 

 

Note-se que ainda há muito números que não foram eliminados, sendo que o menor deles é o 5. Assim sendo, seleciona-se este número e eliminam-se, agora, todos os múltiplos do 5 que ainda não foram eliminados. A título de exemplo, note-se que o 15 já foi eliminado por ser também múltiplo do 3. Por sua vez, o 20 já foi eliminado por também ser múltiplo do 2. Eis como fica agora o quadro:

 

 

De seguida faltam eliminar todos os múltiplos do 7 que ainda constem da tabela. Terão de eliminar-se o 49, o 77 e o 91:

 

 

Se nos fixarmos nos restantes números que ainda não foram eliminados, cada um deles já não tem qualquer múltiplo que não tenha sido já eliminado, pelo que se pode concluir que através deste Crivo de Eratóstenes estão identificados todos os números primos inferiores ao valor 100:

 

 

 

São eles:

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19

23, 29

31, 37

41, 43, 47

53, 59

61, 67

71, 73, 79

83, 89

97

 

Escolhamos, agora, alguns destes números primos, como sejam: 11, 13, 17, 23, 29, 43, 53 e 73 e investiguemos que tipo de relação poderão ter com a sequência de números de Fibonacci, designadamente com os seguintes elementos: 2, 3, 5, 8 e 13. Haverá alguma conexão matemática entre estes dois tipos de números: os primos e os de Fibonacci?

 

De entre várias estimativas que qualquer resolver pode colocar a si próprio, seria desejável que em contexto de sala de aula os alunos assumissem a postura de Equipa de Detetives da Matemática, de modo a que alguém pudesse testar, de entre várias outras conjeturas, a soma do produto de dois destes números de Fibonacci com um terceiro número desta sequência.

 

Vejamos o seguinte exemplo, tendo em conta os valores 2, 3 e 5:

 

a) 2 x 3 + 5 = 11

b) 2 x 5 + 3 = 13

c) 3 x 5 + 2 = 17

 

Quer o 11, como o 13 ou o 17 pertencem aos números identificados pelo Crivo de Eratóstenes, logo são números primos.

 

Vejamos um novo exemplo, envolvendo, agora, os valores 3, 5 e 8:

 

a) 3 x 5 + 8 = 23

b) 3 x 8 + 5 = 29

c) 5 x 8 + 3 = 43

 

Uma vez mais, os valores 23, 29 e 43 também estão no Crivo de Eratóstenes como sendo números primos.

 

Será que o mesmo se passa se os números selecionados para testagem forem o 5 o 8 e o 13? E se forem os números 8, 13 e 21, alguma coisa surgirá diferente?

Conexões matemáticas envolvendo o conceito de metade, o conceito de combinações, o conceito de decomposição de números através de adições e o conceito de número triangular

Novembro 19, 2011

Paulo Afonso

Num dos artigos deste blog (http://recreamat.blogs.sapo.pt/16342.html) refleti há tempos acerca de como se poderiam arrumar três ovos numa caixa de ovos com a capacidade para meia dúzia de ovos. Na altura pude associar este desafio ao conceito de números triangulares que, como sabemos, resultam da lei geral (n2 + n) : 2. Recordando alguns destes números, destaco os primeiros quatro por voltarem a estar envolvidos na reflexão que vou apresentar neste meu novo artigo. Aqui estão: 1, 3, 6 e 10.

 

Desta vez, o desafio é encontrar todas as de pintar metade de um painel retangular, formado por seis quadriculas geometricamente iguais, como ilustra a figura seguinte:

 

 

Esta tarefa pode permitir várias sugestões, como sejam as seguintes:

 

 
  
  

 

Como podemos observar nas figuras acima, poder-se-á (a) pintar um linha inteira, (b) pintar os extremos de uma linha e o quadrado central da outra linha, (c) pintar a coluna do meio e a quadrícula da esquerda da linha de cima, (d) pintar a coluna da direita e a quadrícula do meio da linha de baixo, (e) pintar a coluna da esquerda e a quadrícula da direita da linha de baixo ou (f) pintar na linha de cima a quadrícula da esquerda e pintar na linha de baixo a quadrícula do meio e a da direita. 

 

Claro está que em sala de aula esta tarefa poderia constituir-se como sendo uma tarefa de investigação, por forma a que os alunos, em trabalho de pequenos grupos, pudessem investigar todas as possibilidades de resposta.

 

Ora, uma aproximação por tentativa e erro poderia ser uma abordagem que levasse os alunos ao sucesso da tarefa, descobrindo as 20 possibilidades de realizar este desafio. Contudo seria interessante incutir nos alunos uma forma organizada de apresentar os resultados do seu trabalho. Por isso, vou sugerir uma possível apresentação dos mesmos, com base em algum critério, que explicarei a seguir.

 

Assim, um primeiro conjunto de figuras será o que levar em linha de conta a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio, da linha de cima. Já a terceira quadrícula deste primeiro conjunto de imagens não será fixa, pois será uma das restantes. Teremos, pois, 4 figuras com base neste critério:

 

   

 

De seguida apresento mais três figuras em que as quadrículas fixas são a do canto superior esquerdo e a do canto superior direito:

 

  

 

Por sua vez, as duas próximas figuras mantêm fixas as quadrículas do canto superior esquerdo e do canto inferior direito:

 

 

 

Por último falta uma figura que mantém fixas a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio da linha de baixo:

 

 

Ora, usando-se sempre a quadrícula do canto superior direito resultam, pois, 10 figuras diferentes.

 

Passemos, agora, a fazer um estudo semelhante para todas as figuras que mantêm fixa a quadrícula do meio da linha de cima. Se além desta se fixar a do canto superior direito, eis que resultam mais três novas figuras:

 

  

 

Fixemos, agora, além da quadrícula do meio da linha de cima, a quadrícula do canto inferior direito. Originar-se-ão duas novas imagens:

 

 

 

Por último, fixando-se ainda a quadrícula do meio da linha de cima e, agora, a quadrícula do meio da linha de baixo, eis que surge uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se sempre a quadrícula do meio da linha de cima originaram-se mais 6 figuras.

 

Passemos, agora, a fixar a quadrícula do canto superior direito. Eis que se também se fixar a do canto inferior direito surgem duas novas figuras:

 

 

 

Por último, fixando-se novamente a quadrícula do canto superior direito e, agora, a do meio da linha de baixo, eis que temos uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se a quadrícula do canto superior direito obtiveram-se mais 3 figuras.

 

Para finalizar esta apresentação de resultados, falta apenas fixar a coluna do canto inferior esquerdo. Eis a figura que resulta:

 

 

Em síntese, obtivemos mais 1 figura. Sendo assim, no total temos 10 + 6 + 3 + 1 = 20 figuras diferentes.

 

Note-se, pois, que cada parcela desta adição é um número triangular, como foi referido ao início desta reflexão.

 

Claro que dependendo do tipo de alunos, este valor 20 poderia ser obtido pelo cálculo das combinações de seis quadrículas, três a três:

 

 

Mas esta mesma tarefa poderia conectar-se a outros conteúdos matemáticos, como seja a decomposição de números através de adições. Para tal vamos investigar quantas somas diferentes conseguimos obter a partir de três parcelas diferentes, tendo por base a figura seguinte:

 

 

Obviamente que será fácil percebermos que a menor soma é 6, que resulta da seguinte adição: 1 + 2 + 3:

 

 

De seguida, surge a soma 7 através de uma nova adição 1 + 2 + 4:

 

 

para a soma 8, temos duas adições diferentes:

 

 1 + 2 + 5 1 + 3 + 4
 

 

Vejamos agora a soma 9. Podemos obtê-la através de três adições diferentes:

 

 1 + 2 + 6 1 + 3 + 5 2 + 3 + 4
  

 

A soma 10 também pode ser obtida através de três diferentes adições:

 

 1 + 3 + 6 1 + 4 + 5 2 + 3 + 5
  

 

O mesmo se passa com a soma 11:

 

 1 + 4 + 6 2 + 3 + 6 2 + 4 + 5
  

 

Para a soma 12 voltamos a ter só duas adições:

 

 1 + 5 + 6 3 + 4 + 5
 

 

O mesmo se passa para a soma 13:

 

 2 + 5 + 6 3 + 4 + 6
 

 

Para a soma 14 só existe uma adição possível: 3 + 5 + 6:

 

 

Por último, a soma 15 também só admite uma adição: 4 + 5 + 6:

 

 

Em síntese, tratou-se de outra forma o encontrar das 20 formas diferentes de obter metade da figura, neste caso conectada à operação adição, associando-a à decomposição de todas as somas possíveis de serem obtidas nas condições enunciadas nesta tarefa.

 

Note-se, também, que estas 20 formas diferentes de se obterem as dez somas possíveis obedecem a uma regularidade de natureza geométrica, que a figura seguinte permite evidenciar:

 

 

Fazer um estudo semelhante para todos os produtos que se poderão obter a partir da mesma figura, utilizando-se sempre três fatores diferentes:

 

Problemas de lógica envolvendo três variáveis

Outubro 29, 2011

Paulo Afonso

O tema da resolução de problemas tem sido várias vezes objeto de análise e reflexão neste Blog. No momento em que abordei a estratégia de dupla entrada, como sendo uma possível estratégia de resolução de problemas, socorri-me de problemas de lógica, envolvendo apenas duas variáveis. Ora, em contexto de recreação matemática este tipo de problemas costuma ser muito desafiador, pois a natureza das premissas cativam imenso à tentativa de resolução.

 

Desta vez volto a refletir sobre o mesmo tema mas acrescento-lhe algum nível de dificuldade sem, contudo, lhe diminuir o interesse, pois vou abordar o mesmo tipo de problemas mas contemplando três variáveis em simultâneo e não apenas duas.

 

Para tal vou basear-me no enunciado de uma situação problemática que encontrei num interessante livro de Calos Lopes*. Eis o que se pretende:

 

"A Ana, a Bela, o David, e o Ivo terminaram nas primeiras quatro posições numa corrida de atletismo. Os seus apelidos são Gonçalves, Jarra, Choupina e Pires. Com as pistas fornecidas, emparelha os nomes com os apelidos e determina a posição de cada um deles na corrida.

 

a) A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida.

b) O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela.

c) O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida.

d) A Ana terminou atrás do Gonçalves.

e) O David não terminou em terceiro" (Lopes, 2002, p. 43). 

 

* - Lopes, C. (2002). Estratégias e Métodos de Resolução de Problemas em Matemática. Porto: ASA.

 

Como estratégia de resolução, o resolvedor terá se relacionar três variáveis: os nomes, os apelidos e as posições ocupadas na prova de atletismo. Para tal, será de todo conveniente elaborar uma tabela como a que sugiro a seguir:

 

 

Esta tabela permite cruzar duas variáveis de cada vez: (a) nome com apelido; (b) nome com posição na prova e (c) apelido com posição na prova.

 

De seguida vamos colocar as indicações provenientes das premissas, começando pela premissa a), que diz o seguinte: "A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da corrida".

 

Ora desta premissa podemos tirar, de imediato, duas conclusões:

 

- A Jarra não é homem, por isso já não pode ser o David nem o Ivo;

- A Jarra não terminou a prova em 1º lugar.

 

Vejamos como fica a tabela, deixando a indicação da premissa de onde proveio a informação. O símbolo a usar para referir "não é" pode ser um "X":

 

 

Passemos à premissa b): "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela".

 

Desta premissa concluímos que:

- O Ivo não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não ficou em 1º lugar.

- A Bela não ficou em 4º lugar.

- O Ivo não é Pires.

- A Bela não é Pires.

- O Pires não ficou em 1º lugar.

 

Eis como fica agora a tabela:

 

 

 

 

Já a terceira premissa: "O irmão do Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter terminado a corrida", permite que se conclua o seguinte:

- A choupina é uma senhora, logo não será o David nem o Ivo:

 

  

Vejamos a premissa seguinte: "A Ana terminou atrás do Gonçalves". Daqui conclui-se que:

- A Ana não tem apelido Gonçalves.

- Gonçalves também não é a Bela por ser homem.

- A Ana não ficou em 1º lugar.

- Gonçalves não ficou em 4º lugar.

 

Eis como fica agora a figura:

 

 

A premissa seguinte: "O David não terminou em terceiro" permite mais uma sinalização na tabela:

 

 

Neste momento esgotaram-se as premissas, pelo que a tabela contempla toda a informação explícita que cada uma pôde transmitir. De seguida temos de observar a tabela para vermos se já se poderá concluir algo mais. Note-se que o Ivo já só pode ter o apelido de Gonçalves. Logo, este apelido já não pode ser o de mais ninguém, pelo que trancamos a negro o espaço em que o Gonçalves se cruzava com o David. Por outro lado, pelo facto de sabermos que o Ivo não era o 1º classificado, então o Gonçalves, por ser a mesma pessoa, também não o será. Eis como fica a figura:

 

 

 

 

O 1) que deverá aparecer na tabela significa que se prende com o 1º conjunto de conclusões ocorridas após se terem colocado na tabela todas as informações provenientes diretamente das premissas.

 

Continuando a observar a tabela, mais conclusões podem ser formuladas:

- O David já só pode ter o apelido Pires, logo o Pires já não poderá ser a Ana.

- O 1º lugar já só pode ser ocupado pela Choupina, pelo que esta já não ocupará as restantes posições.

- Se a Choupina é a 1ª classificada, o Gonçalves já não o poderá ser.

- Se o Pires não era o 1º classificado, então o David também não o será.

- Se o David não era o 3º classificado, o Pires também não o será.

 

Eis a respetiva tabela:

 

 

 

Logicamente que o 2) representa o 2º conjunto de conclusões que foi possível fazer-se.

 

 

Tal como está a informação da tabela, em 1º lugar só poderá ter ficado a Bela. Logo esta já não pode ficar em 2º nem em 3º lugar. Por sua vez, se já sabemos que o 1º lugar foi ocupado pela Choupina, então podemos concluir que a Bela tem apelido Choupina. Logo a Bela já não pode ser Jarra. Eis como fica agora a tabela: 

 

 

Neste momento já podemos concluir que a Ana tem apelido Jarra:

 

 

Assim, já conhecemos todos os emparelhamentos entre nome próprio e apelido:

- Ana Jarra.

- Bela Choupina.

- David Pires.

- Ivo Gonçalves.

 

De seguida, parece que não há evidências explícitas que ajudem no prosseguimento da resolução. Contudo, voltemos à premissa b), que diz o seguinte: "O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela". O mesmo será dizer que o Ivo Gonçalves ficou à frente do David Pires e atrás da Bela Choupina. Esta informação permite que ao olharmos para a linha do Pires este só possa ser 4º classificado para que o Ivo possa ficar à frente dele. Eis a tabela respetiva:

 

 

Por último e atendendo à premissa d): "A Ana terminou atrás do Gonçalves", esta ficou em 3º lugar e o Ivo Gonçalves em 2º:

 

 

Em síntese, a tabela seguinte evidencia que:

- A Bela Choupina ficou em 1º lugar.

- O Ivo Gonçalves ficou em 2º.

- A Ana Jarra ficou em 3º.

- O David Pires ficou em 4º lugar.

 

 

Com o intuito de se poder praticar este tipo de estratégia de resolução deixo como sugestão um enigmático texto, proposto por Albano Coutinho**, num excelente livro publicado no ano de 2005 pela editora 1000 ideias promocionais:

"As três à porta do prédio

 

Alguém terá registado numa fita magnética de um gravador o seguinte diálogo:

 

- Olhe, Dona Rosa, eu a falar dela e ela a aparecer!... Aí vem a tal que mora por cima do andar da Dona Júlia...

 

- A senhora ainda não lhe sabe o nome?!... Bom dia, Dona Edite!

 

- Como vai, Dona Rosa, passa bem?!... E a vizinha, como vai?...

 

- Olá, Dona Edite! Estávamos, agora mesmo, a falar da senhora. Aqui a Dona Fernanda dizia-me que a senhora tem tido uma paciência enorme para aturar os seus vizinhos do andar por cima do seu. Aquele senhor Eugénio tem cá um feitio!...

 

- É um malcriadão, um insolente. Nem calculam o que temos passado! O meu João ainda um dia perde a cabeça e é uma desgraça!... Mas olhem que ela ainda é pior do que ele! Não é que um destes dias...

 

- Ó Dona Edite, é verdade que aquela safada lhe sujou a roupa que a senhora tinha a secar na varanda?...

 

- E de propósito! Aquela porcalhona, malvada!... Ela, a Felismina, veio à janela com um balde de água suja - sabe-se lá de quê!... - olhou para todos os lados e, julgando que ninguém a estava a ver, lançou toda aquela sujidade para cima da minha roupa. Só que o senhor Gregório, que vinha do emprego, viu tudo da rua. Claro que foi contar o que viu à sua senhora, que logo se apressou a subir um lanço de escadas para me vir dizer... Foi o fim do mundo!...

 

- Eu sei, eu sei!... Por acaso eu até nem estava em casa, mas o meu Alberto presenciou tudo e contou-me. Sabe... Não é que ele goste de se meter na vida dos outros, mas, pelos vistos, o banzé foi de tal ordem... e lá em cima, onde moro, como imaginam, nem que não se queira ouve-se tudo!...

 

- Ainda agorinha, antes de a senhora chegar, era esse episódio que eu estava a comentar. O meu Narciso até me disse, que se o caso fosse connosco, a coisa iria piar fino!... E olhem que nós somos, de todos os inquilinos do prédio, os que estamos mais sujeitos a este tipo de dissabores.

 

- ... Foi o fim do mundo!... Como eu dizia, o meu marido foi logo bater à porta do andar deles para pedir satisfações... E não é que a besta do Eugénio veio lá de dentro com uma caçadeira nas mãos?!... O cobarde!...

 

- E o seu marido?!...

 

- Bem... assim, de repente, apanhado de surpresa, sem estar preparado... Ao meu marido apenas lhe ocorreu perguntar: - Como é?!... Vamos à caça?!

 

...«acasalar» cada um dos pares envolvidos e atribuir-lhes os andares correspondentes" (Couto, 2005, pp. 131.132).

 

** - Coutinho, A. (2005). Lógico! 100 Problemas de Lógica. Porto: 1000 ideias promocionais.

Sequências numéricas contendo dízimas infinitas periódicas

Outubro 15, 2011

Paulo Afonso

Em Matemática ouvimos muitas vezes falar em dízimas infinitas periódicas e a minha reflexão visa conectar este tipo de números ao tema das regularidades e padrões numéricos.

 

Vejamos, qual será o número a dar continuidade a esta sequência numérica:

 

5;     6,(6);     10;     16;     26,(6);     ______;

 

Aparentemente esta tarefa não é de fácil resolução ou de resolução imediata, pois não surge evidente a lei de crescimento desta sequência numérica. Contudo, a existência de duas dízimas infinitas periódicas neste conjunto de cinco números poderá servir de chave para a resolução deste desafio.

 

Assim sendo, a minha sugestão vai no sentido de se converter cada dízima na respetiva fração. Recordemos o procedimento matemático para que isso possa ocorrer. Como o período de ambas as dízimas ocorre logo ao nível das décimas, podemos seguir os seguintes cálculos:

 

x = 6,(6) <=> 10x = 66,(6)

 

10x - x = 66,(6) - 6,(6) <=>

<=> 9x = 60 <=>

<=> x = 60/9 <=>

<=> x = 20/3

 x = 26,(6) <=> 10x = 266,(6)

 

10x - x = 266,(6) - 26,(6) <=>

<=> 9x = 240 <=>

<=> x = 240/9 <=>

<=> x = 80/3

 

Será que a identificação das respetivas frações ajuda a interpretar a sequência numérica?:

 

5;     20/3;     10;     16;     80/3;     ______;

 

Em contexto de sala de aula é bem possível que um dos vários alunos possa avançar com a proposta de que a fração 80/3 é equivalente à fração 160/6. Se esta sugestão não ocorrer, pode ser indicada pelo professor, no sentido de que os resolvedores não desanimem e, consequentemente, desistam.

 

No fundo, o que se pretende é olhar para a sequência numérica neste novo formato:

   

5;     20/3;     10;     16;     160/6;     ______;

 

Ajuda?

 

Talvez, pois poderá haver alguém que sugira a conversão de todos os números inteiros para as respetivas frações. Eis uma aproximação interessante:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     ______;

 

Logicamente que quando esta conversão for feita, o desafio colocado ficará imediatamente resolvido, pois facilmente se percebe que estamos perante números fracionários cujos denominadores são os números naturais, iniciados no 2, e os respectivos numeradores são dobros sucessivos de cinco (10 = 2 x 5; 20 = 2 x 2 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5; 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5; 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5). Logo, poder-se-á concluir que os numeradores dessas frações resultam do produto das potências de base dois, de expoente natural, com o cinco (10 = 21 x 5; 20 = 22 x 5; 40 = 23 x 5; 80 = 24 x 5; 160 = 25 x 5).

 

Neste momento é fácil avançar com o número que dá continuidade à sequência numérica, pois o numerador será 26 x 5, isto é, o valor 320, e o denominador será o valor 7:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     320/7;

 

Note-se que este 6º termo da sequência volta a ser uma dízima infinita periódica cujo período é o seguinte: 714285. A dízima é, pois, a seguinte: 45,(714285).

 

Ora, os numeradores destas frações podem ser conectados a uma outra disposição numérica, baseada no conceito de Triângulo de Pascal, em que o valor inicial e os que iniciam e terminam cada linha deixam de ser uns para serem cincos:

 

 

Que tipo de conexão matemática é, pois, possível fazer-se entre os numeradores das frações da sequência numérica e esta figura?

 

Uma vez que referimos as potências de base dois, de expoente natural,  a multiplicar com o fator 5, termos de efetuar as somas dos valores existentes em cada linha horizontal da figura:

 

 

Fica, pois, confirmada esta possibilidade de conectar matematicamente a sequência numérica inicial com esta figura numérica.

 

Mas as conexões matemáticas não se ficam por aqui. Voltemos ao 6º termo da sequência numérica: 45,(714285). Centremo-nos no seu período: 714285 e dividamo-lo por 5. Obteremos o valor 142857.

 

Comparem-se os dígitos existentes neste quociente com os dígitos do dividendo. O que poderemos concluir?

 

Curioso, não é? Os dígitos são, de facto, os mesmos, apesar de estarem posicionados de forma diferente!

 

Multiplique, agora, este quociente obtido por 3, por 4 e por 6. O que pode concluir?

Magia matemática envolvendo números

Outubro 02, 2011

Paulo Afonso

A Matemática, como disciplina fascinante que é, possibilita que os mais astutos no domínio da Magia encantem os seus interlocutores com atividades mágicas que os deixam completamente rendidos a essa Ciência. O exemplo que trago para reflexão desta vez passa por se analisar a relação que existe entre a primeira parcela da seguinte adição (475) e a respetiva soma (2473):

 

 

Certamente reparará que a soma tem mais 1998 unidades que o valor da primeira parcela, isto é, aquele valor é maior em duas mil menos duas unidades que esta parcela (1998 = 2000 - 2).

 

Ora, baseados nesta constatação, este mesmo conjunto de números poderia servir de base a uma atividade de magia matemática. Imagine, pois, que um nosso interlocutor era solicitado para referir oralmente, e escrever num papel, um número formado por três dígitos, de preferência, diferentes entre si. De seguida pedia-se para acrescentar por baixo desse número referido, outros dois números formados, também cada um, por três dígitos. Como é que se poderá adivinhar logo a soma, assim que é referida a primeira parcela?

 

Este enigmático desafio passa, então, por se acrescentar dois mil ao valor dessa parcela, mas temos de retirar duas unidades a essa mesma parcela. Depois, basta acrescentarmos, nós mesmos, as duas parcelas que faltam. Contudo, a escrita destas duas parcelas deve obedecer ao critério de formarem mil menos um (999), duas vezes, ou seja, um total de 2000 - 2, que é 1998. Vejamos a figura e centremos a nossa atenção nas cores:

 

 

 

Repare-se no seguinte: ao adicionarmos os valores da 2ª e da 4ª parcelas obtém-se o valor 999, pois: 390 + 609 = 999. Por sua vez, a adição dos valores da 3ª parcela com os valores da 5ª parcela também origina o mesmo resultado: 628´+ 371 = 999. Logo, com a nossa intervenção na escrita criteriosa das últimas parcelas estaremos a contribuir decididamente para que o valor da 1ª parcela seja adicionado com os valores 999 + 999, isto é com (1000 - 1) + (1000 - 1), ou seja com 2000 - 2, que é 1998.

 

No sentido de se aplicar esta magia matemática a uma nova situação, pode-se colocar a nossa criatividade em jogo e podemos logo escrever num papel (sem que alguém veja) o número 2638. Contudo, se isto ocorrer perante um conjunto de amigos, ou na escola, com alunos, o professor poderá dizer logo de imediato que escreveu num papel o número que vai escrever agora no quadro da sala de aula: 640. Claro está que no papel o valor 2638 é o tal que é 640 + (2000 - 2). Na figura do quadro escreverá, então, só a 1ª parcela, mas na sua memória e no papel que escreveu, e guardou bem guardado, já tem a soma que pretende obter:

 

 

Imaginando que solicitamos duas intervenções e os valores são os da figura seguinte, quais os valores a acrescentar por nós? 

 

 

Tendo em conta o valor 523 na 2ª parcela, para que a nossa intervenção origine o valor 999, então teremos de avançar com o número 476:

 

 

Do mesmo modo, o valor da 3ª parcela (374) terá de ser adicionado ao valor da 5ª parcela, que será 625. Note-se que 374 + 625 = 999:

 

 

Em síntese, quando agora nós mostrássemos o papel que está guardado, a surpresa seria enorme, por este conter a soma 2638. Fica, pois, comprovado que adicionando duas vezes 1000 - 1 ao valor 640, o valor obtido é 2638.

 

Analisemos agora a figura seguinte e tentemos relacionar o valor da 1ª parcela com a respetiva soma:

 

 

 

Uma primeira conclusão é que a soma é maior em 1776 unidades, isto é, duas mil menos 224 unidades. Significa isto que basta olhar para a soma para se ver que na ordem das dezenas e na ordem das centenas, os valores aí existentes são os respetivos da 1ª parcela, subtraídos de duas unidades. Ja o algarismo da ordem das unidades, na soma, é igual ao respectivo algarismo da 1ª parcela, subtraído de quatro unidades.

 

Como o valor 1776 se pode obter pela soma de duas parcelas iguais: 888 + 888, então, o que teremos de fazer, enquanto Magos da Matemática é introduzir duas parcelas cujos valores ao serem adicionados aos valores da 2ª e 3ª parcelas vão originar duas vezes o valor 888:

 

 

Repare-se, pois, que (a) 364 + 524 = 888; (b) 628 + 260 = 888. Logo, 475 + 2 x 888 = 475 + 1776 = 2251.

 

Tendo em conta esta nova curiosidade matemática, descubra os valores que farão parte das parcelas da figura seguinte, de modo a que a soma seja maior do que a 1ª parcela em 2000 - 224 unidades:

 

Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

Setembro 17, 2011

Paulo Afonso

Quando somos confrontados com situações de Matemática Recreativa, nem sempre conseguimos dar resposta imediata aos desafios colocados. Apostar na nossa capacidade de persistência acaba, muitas vezes, por ser uma boa tomada de decisão. O exemplo com que inicio mais um ano letivo, refletindo sobre esta importante área da recreação matemática, pretende debater este aspeto. Eis o desafio que coloco aos meus leitores:

 

Analise o conjunto de dados numéricos que compõem a figura seguinte e proponha os valores da próxima linha. Qual o critério para a essa sua seleção?

 

 

Provavelmente terá dificuldade, no imediato, de avançar com uma resposta válida, pois aparentemente os números da figura poderão parecer não ter relação entre si. Contudo, muitas poderão ser as abordagens a realizar e, o importante é que, enquanto resolvedores motivados para este tipo de desafios, não desistamos face a esta eventual dificuldade inicial.

 

Uma possível estratégia de resolução poderá passar por se calcular a soma em cada linha, no sentido de se averiguar se existe algum tipo de padrão ou regularidade numérica. Façamo-lo, então:

 

 

Curiosamente poderemos constatar que existe uma regularidade numérica entre as somas obtidas. De fato, de uma soma para a seguinte incrementa-se um valor que é sempre um número quadrado (22, 32, 42 e 52). Ora, continuando com este critério, saber-se-á a soma da linha seguinte, pois basta acrescentar à soma da última linha o valor 36, que é o quadrado de 6. Essa soma será, pois, o valor 91.

 

Significa isto, que os valores da figura inicial poderão ser substituídos exclusivamente por números quadrados:

 

 

Face a esta importante descoberta, ficará fácil avançar com uma proposta de valores para a linha que é solicitada na tarefa. A figura seguinte elucida a continuidade do padrão descoberto, confirmando a soma inferida acima:

 

 

Fica, pois, resolvida uma tarefa que inicialmente parecia ter um grau de dificuldade elevado. Desenvolver em cada um de nós a capacidade de persistência é, pois, um dos objetivos deste tipo de tarefas que proponho para reflexão conjunta.

 

Já ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos, além de descobrirem este tipo de estratégia de resolução, não ficassem satisfeitos com ela e tentassem outras abordagens que a tarefa suscita.

 

Uma possível abordagem, diferente da sugerida acima, passa por se estabelecer uma relação aritmética a partir dos valores iniciais da tarefa:

 

Note-se que a relação estabelecida na figura acima possibilita o evidenciar de uma importante conexão matemática aos números triangulares. De fato, todos os fatores que multiplicam o valor 2, e o último valor de cada linha (1, 3, 6, 10, 15, ...), fazem parte deste conjunto de números figurados, tema ao qual já dedicámos muitos artigos neste blog.

 

Há, pois, uma lógica numérica que pode ser aplicada em todos os casos. De uma linha para a seguinte dobra-se o último número (triangular) da linha anterior e adiciona-se o próximo número triangular. Ora, tendo em conta este raciocínio, será fácil propor a próxima linha, que contempla já o próximo número triangular - 21:

 

 

Seria, pois, interessante, em sala de aula, que os alunos percebessem o "comportamento matemático" dos números envolvidos na figura inicial, assim trabalhada:

 

Saliente-se, então, que os valores a, c, d, e e f pertencem todos ao conjunto dos números triangulares, pelo que a próxima linha terá de ser a seguinte:

 

Sendo assim, substituindo as letras pelos respetivos valores numéricos, eis a confirmação dos números da última linha, bem como  da soma 91:

 

 

Em jeito de síntese, poder-se-á concluir que esta tarefa, aparentemente difícil, suscitou estes dois tipos de abordagem interessantes e complementares, permitido uma visão da Matemática como sendo a ciência dos padrões e em que os conceitos se conetam entre si!

 

Como sugestão, analise qual o conjunto de números a acrescentar na próxima linha da figura seguinte. Explique o critério de seleção:

 

 

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