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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Geometria algebrizada - o caso das áreas de quadrados

Junho 01, 2010

Paulo Afonso

Conectar vários conceitos matemáticos entre si tem sido uma forte aposta deste blog. Ora, neste centésimo artigo deste espaço da blogosfera pretendo voltar ao tema das conexões matemáticas por forma a elucidar, com um exemplo mais, a importância desta concepção acerca da Matemática.

 

O exemplo que escolhi tem a ver com o cálculo de áreas pelo método da decomposição passando, depois, pela sua exploração algébrica. Vejamos a figura seguinte e calculemos a área do quadrilátero de lado "a", tendo em conta que a unidade de área é a área ocupada pelo menor quadrado que faz parte da malha quadrada onde esse quadrilátero se encontra:

 

Ora, como se trata de um quadrado com 14 quadrículas de lado, tem de área 14 x 14 = 196 unidades de área. Isto é, como a = 14, então a área da figura é a2 = 142 = 196.

 

Analisemos, de seguida a figura de lado "b" e calculemos a sua área:

 

Um processo simples de realizar o cálculo é decompor a figura inicial, de lado "a" em 4 quadriláteros:

 

Note-se que a figura de lado "b" ocupa sempre metade de cada um dos quatro quadriláteros em que a figura de lado "a" foi decomposta. Logo, podemos concluir que a área da figura de lado "b" é metade da área da figura de lado "a", isto é, 98 unidades de área.

 

Em termos algébricos seria interessante que os alunos concluíssem que o lado do quadro menor - lado "b" - é a hipotenusa do triângulo rectângulo isósceles de lado "a/2". Logo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que b2 = (a/2)2 + (a/2)2 = a2/4 + a2/4 = 2a2/4 = a2/2. Em síntese, a igualdade b2 = a2/2 significa que a área do quadradado de lado "b" é metade da área do quadrado  de lado "a".

 

Qual será a área do quadrado de lado "c", comparativamente à área do quadrado de lado "a"?:

 

 

O Quadrado de lado "c" tem de lado 7 quadrículas unitárias. Logo, a sua área é 72 = 49 unidades de área. Note-se que esta área é metade da área do quadrado de lado "b" e quarta parte da área do quadrado de lado "a".

 

 

Em termos algébricos, e tal como a figura sugere, o comprimento do lado "c" é metade do comprimento do lado "a", isto  é: c = a/2. Logo, o cálculo da área do quadrado de lado "c" é a seguinte: a/2 x a/2 = a2/4. Daqui conclui-se que a área do quadrado de lado "c" é a quarta parte da área do quadrado de lado "a". Logo 196 : 4 = 49 unidades de área.

 

Analisando-se estes três casos, consta-se a existência de um padrão ou regularidade:

 

quadrado de lado "a" - sua área é a2

quadrado de lado "b" - sua área é a2/2

quadrado de lado "c" - sua área é a2/4

 

Tendo em conta esta regularidade, é admissível que surja a estimativa de que a próxima figura terá de área a/8, isto é, será um oitavo da área da figura do quadrado de lado "a" ou metade da área da quadrado de lado "c". Eis a figura respectiva:

 

 

Confirma-se, pois que a área do quadrado de lado "d" é metade da área do quadrado de lado "c", isto é, 24,5 unidades de área, como mostra a decomposição seguinte:

 

 

Note-se que conseguimos identificar 14 quadrículas inteiras, mais 10 por junção de quadrículas adjacentes, mais meia quadrícula que é a que resulta dos quatro triângulos assinalados a vermelho. Logo, a área da figura de lado "d" é 24,5 unidades de área.

 

Voltando à regularidade acima assinalada, podemos acrescentar esta nova linha:

 

quadrado de lado "a" - sua área é a2

quadrado de lado "b" - sua área é a2/2

quadrado de lado "c" - sua área é a2/4

quadrado de lado "d" - sua área é a2/8

 

Dando continuidade a esta regularidade, qual será a área do oitavo quadrado? 

Problemas que desenvolvem o pensamento algébrico

Maio 18, 2010

Paulo Afonso

Desde a década de 90 do século passado que o tema da resolução de problemas tem sido considerado, de forma explícita, como um contexto de aprendizagem propício ao desenvolvimento do raciocínio dos alunos. Neste artigo pretendo evidenciar como a escolha de alguns problemas pode contribuir para que se desenvolva a temática do pensamento algébrico.

 

Vou partir de um enunciado, adaptado de um excelente livro de Vivien Lucas, intitulado "Um Problema por Dia"*, cujo texto é o seguinte: "A Letícia Triângulo estava a aprender a tocar piano. Decidiu praticar durante 5 minutos no 1º dia, 15 minutos no 2º dia, 25 minutos no 3º dia e assim sucessivamente." (p. 93).

 

Qual o dia que ela começou a praticar mais de metade do dia?

 

* - Lucas, V. (2003). Um Problema por Dia. Lisboa. Replicação.

 

Este problema obriga a que se relacione o número do dia, em termos de números ordinais, e o tempo gasto a treinar piano:

 

1º dia - 5 minutos

2º dia - 15 minutos

3º dia - 25 minutos

 

Além disto, teremos de calcular quantos minutos estão implícitos em metade do dia, isto é, em 12 horas. Ora 12 x 60 = 720 minutos. É este o tempo de treino correspondente a metade de um dia.

  

Uma tabela poderá ajudar a sistematizar o que se conhece:

  

Dia                       Tempo Gasto (minutos)
1º                      5
2º                      5 + 1 x (2 x 5) = 15
3º                      5 + 2 x (2 x 5) = 25

 

 

 

  

Tendo em conta a tabela anterior seria desejável que me contexto de sala de aula os alunos concluíssem que o 4º dia já implicava 5 + 3 x (2 x 5) minutos, isto é, 35 minutos de treino de piano.

 

Dando continuidade a outros exemplos, facilmente se chega à lei geral em que o número do dia (d) é igual à soma de 5 com o produto de o número de dias menos um (d - 1) por dez, isto é: d = 5 + (d - 1) x (2 x 5).

 

Ora, uma estimativa interessante para se chegar ao valor de 720 minutos, corerspondente a 12 horas de treino diário seria o valor 72º dia, pois se d = 72 implica que 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 71 x 10 = 715 minutos. Ora, este valor fica ligeiramente abaixo do valor esperado, pelo que se justifica testar para o 73º dia. Assim sendo, 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 72 x 10 = 725 minutos. Será, pois, a partir do 73º dia que a Letícia treinará mais do que metade do dia.

 

Imagine-se que a sua amiga, Joana Quadrado, também estava a iniciar o seu treino de piano e decidiu treinar por dia o dobro do tempo que a Letícia treinava, começando em 10 minutos no 1º dia. Será que precisaria de metade dos dias da Letícia para passar a treinar pelo menos metade do dia?

 

Sabendo isto, a irmã gémea da Joana, de nome Rita Quadrado, decidiu fazer um plano de treino, cujos tempos diários eram sempre o dobro da sua irmã. De quantos dias precisará para começar a treinar mais do que metade do dia? 

Regularidades envolvendo hexágonos numéricos

Abril 06, 2010

Paulo Afonso

O tema das regularidades e dos padrões, quer sejam numéricos ou geométricos, tem merecido alguma reflexão no seio deste blog. Desta vez vou conectar uma das mais importantes figuras geométricas  - o hexágono - a regularidades de natureza numérica.

 

A figura seguinte, iniciada pelos primeiros cinco números naturais é construída da seguinte forma: qualquer valor numérico, exceptuando os da linha de cima, resulta da soma dos dois números que estão sobre ele na fila imediatamente acima. Quando a soma de dois desses valores ainda tem dois dígitos, estes adicionam-se e apenas o valor desta soma é colocado na figura. A título de exemplo, 5 + 7 = 12 e 1 + 2 = 3. Logo, será o valor 3 a colocar sob os valores 5 e 7:

  

 

  

Investigar qual será o valor final se se substituírem os valores da linha de topo pelos respectivos dobros.

  

Este desafio suscita que se possa conjecturar que o valor final também será o dobro do valor final existente na figura anterior. Testemos esta conjectura:

 

 

Confirma-se, pois, a estimativa acabada de fazer, o que nos leva a pensar que se a linha de topo for formada por valores que são o triplo dos respectivos valores iniciais, o valor final também será triplo do primeiro valor final. Eis a figura que confirma esta ideia:

 

 

Como será o estudo semelhante para os cinco números naturais consecutivos iniciados pelo 2? E com os seus respectivos dobros e triplos também ocorrerão regularidades semelhantes a estas acabadas de verificar?

 

As três figuras seguintes permitem verificar-se que sim:

 

De facto, o valor final passou de 1 para o seu dobro (2) e para o seu triplo (3), respectivamente.

 

Tendo em conta a investigação acabada de realizar, explique a relação que existe entre as três figuras seguintes:

 

A Matemática nos truques de cartas

Março 27, 2010

Paulo Afonso

Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralho de cartas. Este objecto lúdico possibilita a criação de cenários de magia matemática, permitindo que um qualquer "mago", mais ou menos experiente na arte da prestigiditação possa deslumbrar os seus interlocutores.

 

Por norma, quando um bom truque tem êxito junto de uma audiência, esta sente uma curiosidade imediata em pretender saber a causa ou a razão do seu sucesso. Ora, muitas vezes a causa tem a sua origem na Matemática. O exemplo que apresento a seguir dá conta da importância da Matemática nessa área da magia com cartas:

 

Colocam-se 21 cartas viradas para cima em três montes de 7 cartas cada um. De seguida escolhe-se uma dessas cartas, revelando-se apenas o monte a que ela pertence. O "mago" coloca o monte onde está essa carta no meio dos outros dois montes e de seguida volta a dispor as 21 cartas em três montes com 7 cada. Este pergunta ao seu interlocutor em que monte se encontra a carta por si escolhida. Após resposta deste, o "mago" volta a colocar o monte das cartas, onde está a seleccionada, no meio dos outros dois montes e repete uma última vez o processo, isto é, volta a dispor as cartas em três montes e volta a perguntar em que monte se encontra a carta seleccionada pelo seu interlocutor. Após ouvida a resposta, volta a colocar o monte a que pertence esta carta no meio dos outros dois montes. Vira as cartas para baixo e faz sair uma carta por cada letra da seguinte frase, que vai dizendo em voz alta: "É esta a carta". A última carta a ser saída será a carta seleccionada pelo seu interlocutor.

 

Experimente esta tarefa várias vezes e tente encontrar uma explicação para o ocorrido.

 

Este fascinante truque de cartas tem uma explicação de natureza matemática. Em contexto de sala de aula os alunos deveriam encará-lo como sendo uma tarefa de investigação, de modo a descobrirem a causa da sua ocorrência. Assim, a figura seguinte visa evidenciar uma possível explicação para este truque. Para tal vamos centrar a nossa atenção, por exemplo, no monte do meio e na primeira carta desse monte, isto é, na carta nº 8:

 

 

De seguida colocarmos o monte a que pertence a nossa carta seleccionada entre as cartas do monte A e as cartas do monte C e voltamos a distribuí-las pelos três montes de acordo com o esquema da figura seguinte:

 

 

Neste caso, a carta seleccionada ficou posicionada na terceira linha da coluna B. Ora, voltamos a colocar este monte de cartas entre o monte de cartas A e o monte de cartas C. Ao distribuí-las pela última vez, e de acordo com o mesmo critério anterior, eis onde fica posicionada a nossa carta:

 

 

Verifica-se que a carta seleccionada ficou posicionada na quarta linha do monte A. Então, para se revelar a carta junto do nosso interlocutor, o que há a fazer e colocar o monte da carta seleccionada entre o monte C e o monte B. Ao fazermos isto, virando as cartas para baixo, a carta seleccionada, e mantida em segredo, será descoberta ao dizer-se a última letra da seguinte frase: "É esta a carta".

 

Este é, pois, um possível estudo para o caso de a carta seleccionada ser a primeira do monte central, isto é, a oitava carta. Como será a solução no caso e a carta a seleccionar ser a segunda do monte central, isto é, a 9ª carta?

 

 

A tabela seguinte evidencia cada movimento das cartas, bem como o poscionamento da carta seleccionada:

 

InícioApós voltar as distribuir as cartas   Após voltar a distribuir as cartas

 

Note-se a curiosidade de a carta escolhida desta vez voltar a ficar posicionada no mesmo local da carta seleccionada da primeira vez. Será sempre assim com as restantes cartas deste monte central?

 

A tabela seguinte visa evidenciar o estudo feito para as cinco restantes cartas deste monte:

 

InícioApós voltar a distribuir as cartasApós voltar a distribuir as cartas
  
   

 

Analisando-se a tabela anterior constata-se que o posicionamento final para as cartas 10, 11  e 12 é sempre o mesmo, mas diferente dos dois casos anteriormente analisados. Nestes três últimos casos, as cartas ficam posicionadas no monte B, ainda que na quarta linha do monte, como anteriormente se havia verificado.

 

Já as duas últimas cartas do monte central, a 13ª e a 14ª cartas, mudam de monte na posição final, pois passam para o monte C, mas também se mantêm na quarta linha do respectivo monte.

 

Em síntese, relativamente ao monte central, independentemente da carta que inicialmente se seleccione, no final ocupará a quarta linha do monte a vier fazer parte. Ao colocar-se este monte no meio dos outros dois ficará sempre com que a carta seleccionada fique a ocupar a posição 11, precisamente o número de letra da frase "É esta a carta".

 

O que acontecerá se a carta inicialmente seleccionada for uma das sete cartas do monte A ou do C? Faça o respectivo estudo e retire conclusões.

 

Um truque bem mais simples é o que apresento a seguir, adaptado da obra de Joe Fullman (2009)*:

 

"Pedir a um interlocutor para dividir um normal baralho de 52 cartas em dois montes. De seguida deve fixar a última carta de um dos montes, mantendo-a em segredo. O realizador do truque deve colocar o monte desta carta sobre o outro, ambos voltados para baixo. Em continuação, o interlocutor é convidado a distribuir as cartas, uma a uma, voltadas para baixo, formando quatro montes. Revela o monte onde está a carta seleccionada e o realizador do truque coloca o respectivo monte sobre os três restantes montes, todos voltados para baixo. Ao terminar de referir a palavra mágica "ACERTEI", retirando uma carta por cada letra dita,  estará a mostrar a carta seleccionada pelo seu interlocutor"

 

* - Fullman, J. (2009). Grande Livro de Truques de Magia. Sintra: Girassol.

 

Qual a explicação para o truque acabado de descrever?

Padrões de repetição e padrões de crescimento

Março 15, 2010

Paulo Afonso

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O exemplo que trago à reflexão desta vez prende-se com essa ideia e, com isso, viso abordar o tema dos padrões de repetição.

 

Utilizando os números de 1 a 8, inclusive, colocá-los nos círculos seguintes, todos e apenas uma só vez, de modo que a soma de b + d + f + h seja o dobro da soma de a + c + e + g e que a soma em cada lado da figura exterior seja sempre a mesma:

Este desafio implica que se tenha em conta a soma total que está em jogo ao usarem-se estes oito números. Esta soma é 36, pois 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.

 

Por outro lado teremos de distribuir estes oito números de modo que b + d + f + h = 2 (a + c + e + g).

 

Sendo assim, teremos de ver se a soma 36 é divisível por 3, para que ao juntarem-se duas dessas três partes se obtenha um valor que é dobro da outra terça parte. Como a soma dos seus dígítos é um múltiplo de três (3 + 6 = 9), logo o 36 é divisível por 3. Origina um quociente 12.

 

Tendo em conta esta reflexão teórica resta tentar obter o valor 12 através da adição de quatro desses oito números disponíveis.

 

Vejamos:

a) 6 + 3 + 2 + 1 = 12

b) 5 + 4 + 2 + 1 = 12 

 

Existem, pois, duas possibilidades de obtenção de soma 12 nas condições enunciadas acima.

 

De seguida teremos de testar se os outros quatro números restantes permitem obter uma soma que é dobro de 12, isto é, 24. Vejamos para cada um dos casos anteriores:

 

a) 4 + 5 + 7 + 8 = 24

b) 3 + 6 + 7 + 8 = 24

 

Em ambos os casos se obtém a soma 24 pretendida. Testemos, então, a sua distribuição nos oitos espaços da figura, tendo também em conta que a soma dos valores em cada lado da figura exterior seja sempre igual. Vejamos os primeiros valores:

 

 

Confirma-se que a soma dos valores existentes nos quatro vértices da figura inscrita é o dobro da soma dos valores existentes nos vértices da figura que inscreve aquela e que a soma dos valores de cada lado da figura exterior é sempre a mesma. 

 

Testemos, agora, os segundos valores (5 + 4 + 2 + 1 e 3 + 6 + 7 + 8):

 

Note-se que para a distribuição dos valores nos vértices da figura exterior existem 3 possibilidades, isto é, o 5 pode ficar anexo do 4 e do 2, ou do 1 e do 4 ou do 2 e do 1:

 

 

Testando a distribuição dos outros quatro números, não é possível em qualquer caso obter-se para os quatro valores da figura inscrita uma soma que seja o dobro daqueles quatro valores, de modo a que a soma dos valores da figura exterior seja sempre a mesma. Eis a melhor aproximação possível, onde se evidencia, pois, a impossibilidade desta opção:

 

 

A tarefa colocada tem, pois, uma única solução.

 

Imaginemos a replicação da figura de sucesso de modo a obter-se a figura seguinte:

Que aspectos matemáticos interessantes poderia destacar?

 

Veja, por exemplo, que as somas dos valores envolvidos nos dois eixos de simetria são números ímpares consecutivos, respectivamente 21 e 23.

 

Por outro lado, as somas dós valores envolvidos nas linhas oblíquas obedece à seguinte regularidade: 9, 24, 24, 9.

 

Note-se, ainda que estes quatro valores (9, 24, 24, 9) coincidem com as somas dos valores existentes nos lados dos dois rectângulos que se intersectam.

 

E no caso de este padrão se repetir, de forma a fazer crescer a pavimentação? Veja-se a figura resultante:

 

 

 

Que regularidades matemáticas podem ser agora evidenciadas?

 

Veja, por exemplo, que a a soma dos valores existentes em cada linha horizontal obedece à seguinte regularidade: (38, 40, 38, 40, 38). Já a nível vertical, a regularidade é a seguinte: (38, 41, 38, 41, 38).

 

Por sua vez, em termos de linhas oblíquas, a regularidade numérica verificada é a seguinte: (9, 24, 33, 48, 48, 33, 24, 9).

 

Faça um estudo, em todo semelhante ao que acabei de fazer, para o caso de os oito números envolvidos passarem a ser os oito primeiros números pares. Será que as regularidades e possibilidades de pavimentação agora obtidas se mantêm? Haverá padrões de crescimento?

Análise numérica de padrões de natureza geométrica

Fevereiro 22, 2010

Paulo Afonso

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, quer seja em situações de recreação matemática, quer seja em situações de matemática mais formal.

 

As figuras seguintes visam evidenciar um padrão de crescimento, cuja natureza é geométrica. O desafio é o de se descobrir a figura seguinte que lhe dê continuidade e arranjar um qualquer tipo de fundamento que sirva de justificação para a decisão tomada.

 

Eis as figuras:

 

  

Uma possível abordagem a este desafio poderia passar por se olhar para cada uma das figuras como sendo a composição de outras figuras. Assim, a primeira figura poderia ser vista como sendo 1 quadrado unitário e um rectângulo de um por dois. Já a segunda figura poderia ser entendida como sendo 1 + 2 e um rectângulo de dois por três. Por sua vez, a terceira figura poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 e um rectângulo de três por quatro. Continuando, a figura da direita poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 + 4 e um rectângulo de quatro por cinco. Sendo assim, a próxima figura poderia ser formada pelos seguintes quadrados unitários: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e por um rectângulo de cinco por seis quadrados:

 

 

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos dedicassem algum esforço no sentido de, ao perceberem o padrão de crescimento, descobrissem a sua lei de formação. Isto é, será fácil prever, por exemplo, quantos quadrados unitários existirão na décima figura desta sequência de figuras geométricas? Qual será a sua forma?

 

Comecemos por analisar o número de quadrados unitários utilizados em cada uma das quatro figuras iniciais:

 

3     9     18     30

 

Vejamos a seguinte regularidade:

 

1º -- 3

2º -- 9 = 3 + 2 x 3

3º -- 18 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3

4º -- 30 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3

 

Desta regularidade destaca-se a lei geral de que para uma qualquer posição "n", exceptuando a 1ª, a quantidade de quadrados unitários envolvida será obtida pelos seguintes cálculos: 3 + 2 x 3 + ... + n x 3. Logo, no caso da décima figura, o número de quadrados envolvidos será:

 

3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3 + 5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 3 + 8 x 3 + 9 x 3 + 10 x 3 = 3 + 54 x 3 = 55 x 3 = 165.

 

Como em qualquer outra situação que envolva padrões ou regularidades deve estar sempre presente a preocupação de se melhorar ou até mesmo optimizar a estratégia de resolução a utilizar. Neste sentido, e fruto de uma observação, porventura, mais sistematizada e intencional, poder-se-á decompor cada valor numérico num determinado número e no seu dobro. Vejamos:

 

1º -- 3 = 1 + 2

2º -- 9 = 3 + 6

3º -- 18 = 6 + 12

4º -- 30 = 10 + 20

 

Por sua vez, se analisarmos os números afectos à 1ª parcela, em cada soma, verificamos que são sempre números triangulares (1, 3, 6, 10).

 

Logo, a próxima figura, a 5ª, seria formada pela adição do 5º número triangular e o seu dobro. Assim, 15 + 30 = 45, como pudemos verificar acima.

 

Dando continuidade a esta regularidade, confirma-se que a 10ª figura geométrica seria composta por 165 quadrados unitários, uma vez que o o 10º número triangular é o 55 [proveniente da aplicação da lei geral que gera os números triangulares (n2 + n) / 2] e o seu dobro é 110. Logo, 55 + 110 = 165.

 

Em síntese, poder-se-á concluir que cada  figura geométrica inicial é composta por uma figura triangular e uma figura oblonga, estando afectas a cada uma o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo:

 

1

+

1 x 2

3

+

2 x 3

6

+

3 x 4

10

+

4 x 5

 

Uma vez que a lei geral que gera os números triangulares é a seguinte: (n2 + n ) / 2, e a dos números oblongos é o dobro desta, isto é, n2 + n, então a lei geral que origina a seguinte sequência numérica (3, 9, 18, 30, ...) resulta da adição das duas anteriores: (n2 + n) / 2 + n2 + n. Logo, a lei geral é a seguinte: 3 x (n2 + n) / 2. Testando-a, por exemplo, para a 10ª figura geométrica, confirma-se que o valor numérico respectivo é o 165, pois: 3 x (102 + 10) / 2 = (3 x 110) / 2 = 330 / 2 = 165.

Eis a figura, composta pela respectiva componente triangular e pela respectiva componente oblonga:

55

+

10 x 11

 

Tendo em conta este raciocínio, qual o número de quadrados unitários envolvidos na 15ª figura geométrica? Qual o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo?

Um caso prático de números tetraédricos - empilhando esferas

Fevereiro 08, 2010

Paulo Afonso

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

 

 

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

 

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

 

 

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

 

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

 

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10

2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20

3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

  

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

 

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

 

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n2 + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (62 + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

 

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

 

Eis a respectiva figura:

 

 

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

 

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

 

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

 

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

 

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

 

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações, tal como já tive oportunidade de analisar num dos artigos deste blog: (3C3, 4C3, 5C3, 6C3, 7C3, 8C3, 9C3, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

 

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

 

 

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva  a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido. 

Explorando o factorial do número

Janeiro 24, 2010

Paulo Afonso

Em Matemática existem alguns tipos de números que, quando colocados em sequência, crescem de uma forma muito rápida, pois o seu padrão de crescimento aponta nesse sentido. Veja-se, por exemplo, a sequência dos números cúbicos: 1, 8, 27, 64, 125, ... ou a sequência das potências de base dois: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... Contudo, outras há cujo padrão de crescimento é mais lento, como seja o caso dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ou dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

 

O conjunto de números que apresento a seguir também evidencia crescer muito rapidamente, pois a lei geral que os gera leva a que isso aconteça: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... Qual o próximo termo da sequência?

 

Talvez influenciados pelo título deste artigo, facilmente poderemos verificar que:

1 = 1

2 = 2 x 1

6 = 3 x 2 x 1

24 = 4 x 3 x 2 x 1

120 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

5040 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Continuando este padrão de crescimento, o próximo termo resultará do seguinte produto 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, isto é, será o número 40320.

 

Sendo assim, facilmente se percebe que estamos perante uma sequência numérica muito especial, que é a que resulta dos factoriais dos números naturais (n!). De facto, 1 = 1!, 2 = 2!, 6 = 3!, 24 = 4!, 120 = 5!, 720 = 6!, 5040 = 7! e, logicamente, 40320 = 8!

 

Tendo em conta esta regularidade, qual o factorial do número 10?

 

Esta questão é facilmente resolvida pelos seguintes cálculos: 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800.  

 

Este tipo de números revela ser muito importante em vários temas matemáticos, como seja o caso das permutações, das combinações ou dos arranjos.

 

Imaginemos que quatro atletas de salto em altura estão a disputar a final de uma prova muito importante. Sabendo-se que os seus nomes são Artur, Bento, Carlos e Daniel, como pode ser pensada a recepção das medalhas dos três elementos pertencentes ao pódio, isto é, 1º, 2º e 3º lugares? No fundo, pergunta-se como poderá ser formado o pódio?

 

Note-se que um destes quatro atletas não terá acesso ao pódio, pelo que poderemos tentar prever quantas são as combinações possíveis de três dos quatro atletas poderem ser os premiados.

 

Sendo assim, há quatro combinações. Uma delas deixará o Artur de fora do pódio, outra deixará o Bento, uma terceira possibilidade é a que deixa o Carlos excluído e a quarta combinação envolve apenas os atletas Artur, Bento e Carlos, ficando, pois, o Daniel de fora do pódio. Vejamos as quatro combinações possíveis:

 

a - Bento, Carlos e Daniel,

b - Artur, Carlos e Daniel,

c - Artur, Bento e Daniel,

d - Artur, Bento e Carlos.

 

Estas 4 combinações de três atletas resultam da aplicação do respectivo algoritmo aos quatro atletas:

 

4C3 = 4! / (4 - 3)! x 3! = 4 x 3 x 2 x 1 / 1 x 3 x 2 x 1 = 24 / 6 = 4.

 

Realmente, o tema das combinações está associado ao factorial do número. Contudo somente a sua associação ao tema das permutações nos permite encontrar a resposta para o desafio colocado.

 

De facto, note que para o caso em que é o Artur a ficar excluído do pódio há seis possibilidades de o mesmo ser formado:

 

A B C D E F

1º Bento

2º Carlos

3º Daniel

1º Bento

2º Daniel

3º Carlos

1º Carlos

2º Daniel

3º Bento

1º Carlos

2º Bento

3º Daniel

1º Daniel

2º Bento

3º Carlos

1º Daniel

2º Carlos

3º Bento

 

Note-se, pois, que este valor 6 resulta de se permutarem de posição estes 3 atletas. Logo, trata-se de mais um caso de aplicação do factorial do número, pois 6 = 3!

 

Se isto é verdade para o caso de ter sido o Artur (A) a ficar excluído do pódio, também o é para o caso de ter sido o Bento (B), ou o Carlos (C) ou o Daniel (D).

 

Logo, a tabela seguinte evidencia as 24 possibilidades de constituição do pódio, pois 4 x 3! = 4 x 6 = 24:

 

B - C - D B - D - C C - D - B C - B - D D - B - C D - C - B
A - C - D A - D - C C - D - A C - A - D D - A - C D - C - A
A - B - D A - D - B B - D - A  B - A - D D - A - B D - B - A
A - B - C A - C - B B - C - A B - A - C C - A - B C - B - A

 

Em síntese, a resposta para o desafio colocado é esta das 24 possibilidades, que mais não são do que 24 arranjos de quatro atletas, três a três. Logo, conclui-se que os arranjos de quatro atletas, três a três, é o produto das combinações desses quatro atletas, três a três, pelo factorial de três:

 

4A3 = 4C3 x 3! = 4 x 6 = 24

 

Vejamos um novo caso envolvendo o factorial de um número:

 

Tendo em conta os seguintes números: 10, 20, 30, 0, 50, 60, 70, 80, 90, como se poderá obter a soma 100, usando apenas três parcelas não repetidas?

 

Esta tarefa permite que se encontrem os seguintes quatro casos:

a) 70 + 20 + 10

b) 60 + 30 + 10

c) 50 + 40 + 10

d) 50 + 30 + 20

 

Tendo em conta estas quatro decomposições do número 100, será possível converter a figura seguinte num triângulo mágico de soma 100, isto é, poder-se-ão preencher os círculos com os valores envolvidos nestas adições para que a soma em cada lado do triângulo seja sempre 100?:

 

 

 

Este desafio leva a que tentemos testar as quatro somas, três de cada vez, pelo que o tema das combinações volta a estar presente. Uma vez mais, combinando as 4 somas, três a três, obtém-se o valor 4:

 

4C3 = 4! / (4-3)! x 3! = 4 x 3! / 3! = 4

 

Eis as quatro combinações:

1 - a) - b) - c)

2 - a) - b) - d)

3 - a) - c) - d)

4 - b) - c) - d)

 

Testemos caso a caso:

1º caso com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10               b) 60 + 30 + 10                  c) 50 + 40 + 10

 

Como facilmente se pode constatar, este é um caso de impossibilidade, porque existe uma parcela comum a todas as adições, que é o valor 10. Logo, o mesmo nunca poderia pertencer à figura devido ao facto de, no máximo, um valor apenas poder pertencer a duas adições.

 

Testemos o 2º caso, com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10         b) 60 + 30 + 10          d) 50 + 30 + 20

 

Note-se que entre a) e b) há apenas um valor comum, que é o 10. Por sua vez, entre a) e d) também só existe um valor comum, que é o 20. Por último, entre b) e d) existe outro valor comum, que é o 30. Logo, serão estes os valores a fazerem parte dos vértices do triângulo, por pertencerem, em simultâneo a duas adições. Os restantes são colocados nos espaços sobrantes, pelo que se consegue obter uma figura mágica de soma 100:

 

 

Testemos, agora, o 3º caso, que contempla as seguintes somas:

a) 70 + 20 + 10             c) 50 + 40 + 10             d) 50 + 30 + 20

 

Entre a) e c) existe o valor 10 como sendo o único comum; entre a) e d) existe o valor 20 e entre c) e d) existe o valor 50. Usando-os nos vértices e os restantes nos espaços sobrantes, voltamos a obter um novo caso de sucesso:

 

 

Resta testar o 4º caso, formado pelas seguintes adições:

b) 60 + 30 + 10             c) 50 + 40 + 10             d) 50 + 30 + 20

 

Ora, entre b) e c) existe o valor 10 comum; já entre b) e d) é o valor 30 e entre c) e d) é o valor 50. Testando estes valores, obtém-se um terceiro caso de sucesso, diferente dos dois anteriores:

 

 

Existem, pois, três respostas possíveis para a tarefa enunciada. Uma vez mais, o recuso o factorial do número teve aplicação na resolução da mesma.

 

Se cinco pessoas costumarem viajar todos os dias no mesmo carro, ao fim de quantos dias estará a repetir-se a forma como as mesmas vão sentadas nos cinco lugares desse carro? (nota: todos podem conduzir o carro, mas só mudam de posição ao iniciar um novo dia).

 

Da magia matemática ao desenvolvimento do pensamento algébrico

Janeiro 11, 2010

Paulo Afonso

Um dos primeiros artigos deste blog foi dedicado à mágica tarefa de se conduzir o nosso interlocutor a um determinado número que nós idealizámos, tudo a partir de um número por ele guardado em segredo. Recordemos o enunciado de então:

 

"1 - Pense num número e não o divulgue.

2 - Adicione-lhe 5 unidades.

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem.

6 - Subtraía o valor inicial. Vou descobrir o valor final".

 

Esta tarefa de magia matemática possibilitava que qualquer resolvedor, bem dotado ao nível do cálculo mental, constatasse que no final tinha obtido o valor 3. Teste isto consigo para ver confirmado este valor final!

 

Na altura em que redigi este texto apresentei uma resolução pictórica mas, em termos matemáticos, a sua resolução por etapas é a seguinte:

 

1 - n

2 - n + 5

3 - 2 x (n + 5)

4 - 2 x (n + 5) - 4

5 - [2 x (n + 5) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n

Logo: [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n = (2n + 10 - 4) : 2 - n = (2n + 6) : 2 - n = n + 3 - n = 3.

 

Como se pode constatar, o valor final 3 é independente do valor inicial (n) mantido em segredo, porque o mesmo acaba por ser anulado ao longo do procedimento algébrico.

 

O que aconteceria se, por exemplo, em vez de se adicionarem 5 unidades se adicionassem 10? Qual a sua estimativa?

 

Certamente que uma das possíveis sugestões seria obter-se no final o valor 6, pois se em vez de 5 se adicionasse 10, que é o dobro deste valor, então no final, em vez de se obter 3, obter-se-ia o seu dobro, que é 6.

 

Vamos testar:                                          

"1 - Pense num número e não o divulgue. 

2 - Adicione-lhe 10 unidades. 

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem. 

6 - Subtraía o valor inicial. Quanto obteve?"   

     

Matematicamente, eis a resolução:

1 - n

2 - n + 10

3 - 2 x (n + 10)

4 - 2 x (n + 10) - 4

5 - [2 x (n + 10) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n

 Logo: [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n = (2n + 20 - 4) : 2 - n = (2n + 16) : 2 - n = n + 8 - n = 8.  

 

Não se confirma, pois, a estimativa do valor 6. Contudo, certamente que já observou que o valor obtido tem uma relação com o valor que se adiciona ao valor inicial, de facto. Qual é essa relação? No fundo, a questão é: podemos saber de imediato o valor final a partir do valor que mandamos adicionar ao valor inicial desconhecido?

 

Claro que sim, pois o valor final é igual ao valor que mandamos adicionar menos duas unidades. De facto, quando da adição de 5 unidades, obteve-se o valor final 3; já quando da adição de 10 unidades, obteve-se o valor 8.  

 

Esta importante conclusão permitirá que consigamos impressionar os nossos amigos em situações de recreação matemática ou de convivialidade. Por exemplo, se perante cinco amigos (A, B, C. D e E) lançarmos este desafio, mandando adicionar, no passo 2, ao amigo A o valor 10, ao amigo B o valor 12, ao amigo C o valor 14, ao amigo D o valor 16 e ao amigo E o valor 18, adivinharemos que no final o A obteve o valor 8, o B o valor 10, o C o valor 12, o D o valor 14 e o E o valor 16. Estes valores serão obtidos, independentemente dos valores inicialmente pensados por cada um deles!

 

Veja-se, agora, o seguinte enunciado:

1 - Pense num número.

2 - Duplique esse número.

3 - Adicione 8 unidades.

4 - Encontre metade do valor agora obtido.

5 - Subtraía o valor inicial.

 

Efectuando os respectivos cálculos, obter-se-á o valor 4.

Que passo do enunciado deve ser alterado para que o resultado seja 5? E 6?

Múltiplos conceitos matemáticos resultantes de uma observação apaixonada

Novembro 16, 2009

Paulo Afonso

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, exigem uma observação atenta, criterial ou, se quisermos, uma observação apaixonada pelas questões matemáticas que as sustentam.

O exemplo que trago para ilustrar a importância de uma observação intencional e reveladora de sentido de indagação baseia-se no seguinte conjunto de números:

Dedicando-se alguns minutos a observar a tabela numérica anterior, facilmente podemos descobrir relações matemáticas entre os seus elementos ou até recordar alguns conceitos matemáticos.

Sendo assim, um exemplo a destacar pode ser o conjunto de alguns múltiplos do 3. Exceptuando o valor zero, a tabela abaixo evidencia um padrão de natureza geométrica envolvendo alguns dos primeiros múltiplos do 3:

Repare-se que todos os valores seleccionados têm a particularidade da soma dos seus dígitos ser sempre um múltiplo do 3. Com isto poder-se-ia, em contexto de sala de aula, abordar o critério de divisibilidade por 3: "um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 3".

Repara-se, também, que o tema do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números também poderia ser explorado com esta figura:

A título de exemplo, de entre os múltiplos do 3 e os múltiplos do 5 existentes na tabela, com excepção do zero, como é óbvio, o mínimo múltiplo comum entre eles é o 15. Já entre o 3 e o 6 é o 12; por sua vez, entre o 5 e o 6 é o 30. Este valor 30 volta a ser o mínimo múltiplo comum entre o 3, o 5 e 6, como se pode observar na figura.

Este último exemplo poderia servir de base para se abordar o tema da factorização de números compostos em factores primos. Se o 3 e o 5 já são números primos, o 6 não o é; aliás é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores próprios coincide com ele mesmo (1 + 2 + 3 = 6). Logo, o 6 pode ser decomposto num produto de factores primos, sendo um exemplo que prova o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que "qualquer número inteiro maior do que 1 é primo ou resulta num produto de factores primos".

Voltando à tabela inicial, a mesma permite outras explorações matemáticas, como sendo a evidência da propriedade comutativa da operação multipliação:

Veja-se que 3 x 10 = 30 e 10 x 3 = 30. Por sua vez, 5 x 6 = 30 e 6 x 5 = 30. Logo, estes casos podem servir de exemplos para que se conclua que o produto não se altera quando se permutam os respectivos factores.

O tema dos números figurados também pode ser associado a esta tabela. Veja-se o caso dos números quadrados:

Consta-se, pois, que uma das diagonais da figura é formada exclusivamente por números quadrados, logo poder-se-ia explorar essa sequência para se chegar à respectiva lei geral (n2), sendo "n" um número inteiro.

Veja-se a próxima figura e observe-se o que ela sugere:

Cada secção colorida pode ser objecto da seguinte análise:

a) 1

b) 2 x 4 = 8

c) 3 x 9 = 27

d) 4 x 16 = 64

e) 5 x 25 = 125

f) ...

Fixando a nossa atenção nos produtos apresentados nas alíneas anteriores, os mesmos são outro tipo de números figurados, neste caso os números cúbicos (n3):

a) 1 = 13

b) 8 = 23

c) 27 = 33

d) 64 = 43

e) 125 = 53

f) ... 

Sendo assim quer os números quadrados quer os números cúbicos, quer a relação entre ambos, poderão ser objecto de análise através desta tabela numérica.

Que tipo de números estão assinalados a seguir e qual o critério para se ver rapidamente se outros quaisquer pertencem a essa mesma família ou conjunto numérico?:

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