Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralho de cartas. Este objecto lúdico possibilita a criação de cenários de magia matemática, permitindo que um qualquer "mago", mais ou menos experiente na arte da prestigiditação possa deslumbrar os seus interlocutores.

Por norma, quando um bom truque tem êxito junto de uma audiência, esta sente uma curiosidade imediata em pretender saber a causa ou a razão do seu sucesso. Ora, muitas vezes a causa tem a sua origem na Matemática. O exemplo que apresento a seguir dá conta da importância da Matemática nessa área da magia com cartas:

Colocam-se 21 cartas viradas para cima em três montes de 7 cartas cada um. De seguida escolhe-se uma dessas cartas, revelando-se apenas o monte a que ela pertence. O "mago" coloca o monte onde está essa carta no meio dos outros dois montes e de seguida volta a dispor as 21 cartas em três montes com 7 cada. Este pergunta ao seu interlocutor em que monte se encontra a carta por si escolhida. Após resposta deste, o "mago" volta a colocar o monte das cartas, onde está a seleccionada, no meio dos outros dois montes e repete uma última vez o processo, isto é, volta a dispor as cartas em três montes e volta a perguntar em que monte se encontra a carta seleccionada pelo seu interlocutor. Após ouvida a resposta, volta a colocar o monte a que pertence esta carta no meio dos outros dois montes. Vira as cartas para baixo e faz sair uma carta por cada letra da seguinte frase, que vai dizendo em voz alta: "É esta a carta". A última carta a ser saída será a carta seleccionada pelo seu interlocutor.

Experimente esta tarefa várias vezes e tente encontrar uma explicação para o ocorrido.

Este fascinante truque de cartas tem uma explicação de natureza matemática. Em contexto de sala de aula os alunos deveriam encará-lo como sendo uma tarefa de investigação, de modo a descobrirem a causa da sua ocorrência. Assim, a figura seguinte visa evidenciar uma possível explicação para este truque. Para tal vamos centrar a nossa atenção, por exemplo, no monte do meio e na primeira carta desse monte, isto é, na carta nº 8:

De seguida colocarmos o monte a que pertence a nossa carta seleccionada entre as cartas do monte A e as cartas do monte C e voltamos a distribuí-las pelos três montes de acordo com o esquema da figura seguinte:

Neste caso, a carta seleccionada ficou posicionada na terceira linha da coluna B. Ora, voltamos a colocar este monte de cartas entre o monte de cartas A e o monte de cartas C. Ao distribuí-las pela última vez, e de acordo com o mesmo critério anterior, eis onde fica posicionada a nossa carta:

Verifica-se que a carta seleccionada ficou posicionada na quarta linha do monte A. Então, para se revelar a carta junto do nosso interlocutor, o que há a fazer e colocar o monte da carta seleccionada entre o monte C e o monte B. Ao fazermos isto, virando as cartas para baixo, a carta seleccionada, e mantida em segredo, será descoberta ao dizer-se a última letra da seguinte frase: "É esta a carta".

Este é, pois, um possível estudo para o caso de a carta seleccionada ser a primeira do monte central, isto é, a oitava carta. Como será a solução no caso e a carta a seleccionar ser a segunda do monte central, isto é, a 9ª carta?

A tabela seguinte evidencia cada movimento das cartas, bem como o poscionamento da carta seleccionada:

Início	Após voltar as distribuir as cartas	Após voltar a distribuir as cartas

Note-se a curiosidade de a carta escolhida desta vez voltar a ficar posicionada no mesmo local da carta seleccionada da primeira vez. Será sempre assim com as restantes cartas deste monte central?

A tabela seguinte visa evidenciar o estudo feito para as cinco restantes cartas deste monte:

Início	Após voltar a distribuir as cartas	Após voltar a distribuir as cartas

Analisando-se a tabela anterior constata-se que o posicionamento final para as cartas 10, 11  e 12 é sempre o mesmo, mas diferente dos dois casos anteriormente analisados. Nestes três últimos casos, as cartas ficam posicionadas no monte B, ainda que na quarta linha do monte, como anteriormente se havia verificado.

Já as duas últimas cartas do monte central, a 13ª e a 14ª cartas, mudam de monte na posição final, pois passam para o monte C, mas também se mantêm na quarta linha do respectivo monte.

Em síntese, relativamente ao monte central, independentemente da carta que inicialmente se seleccione, no final ocupará a quarta linha do monte a vier fazer parte. Ao colocar-se este monte no meio dos outros dois ficará sempre com que a carta seleccionada fique a ocupar a posição 11, precisamente o número de letra da frase "É esta a carta".

O que acontecerá se a carta inicialmente seleccionada for uma das sete cartas do monte A ou do C? Faça o respectivo estudo e retire conclusões.

Um truque bem mais simples é o que apresento a seguir, adaptado da obra de Joe Fullman (2009)*:

"Pedir a um interlocutor para dividir um normal baralho de 52 cartas em dois montes. De seguida deve fixar a última carta de um dos montes, mantendo-a em segredo. O realizador do truque deve colocar o monte desta carta sobre o outro, ambos voltados para baixo. Em continuação, o interlocutor é convidado a distribuir as cartas, uma a uma, voltadas para baixo, formando quatro montes. Revela o monte onde está a carta seleccionada e o realizador do truque coloca o respectivo monte sobre os três restantes montes, todos voltados para baixo. Ao terminar de referir a palavra mágica "ACERTEI", retirando uma carta por cada letra dita,  estará a mostrar a carta seleccionada pelo seu interlocutor"

* - Fullman, J. (2009). Grande Livro de Truques de Magia. Sintra: Girassol.

Qual a explicação para o truque acabado de descrever?

Quem não gostaria de dizer que tem jeito para ser investigador matemático? Provavelmente aqueles que são apaixonados pela Matemática têm investido bastante no sentido de irem desenvolvendo a sua postura de permanente indagação, aspecto indispensável a quem pretende ser investigador matemático.

As situações de recreação matemática são propícias ao desenvolvimento deste tipo de postura para com esta apaixonante ciência. Conjecturar, procurar regularidades, testar hipóteses, reflectir, questionar, são, pois, aspectos inerentes ao acto de investigar.

Por vezes, ao tentar resolver-se uma determinada tarefa ou desafio matemático, perfeitamente delimitado ao nível do que é dado e do que é pedido, surge a possibilidade de se pensar em possíveis extensões dessas tarefas ou desafios, de modo a criarem-se verdadeiros cenários de investigação matemática, onde apenas sabemos de onde vimos mas não temos certezas relativamente aonde vamos chegar.

O exemplo que escolhi para ilustrar este tema tem por base um desafio matemático que encontrei num maravilhoso livro* de Henry Dudeney, recentemente publicado em Portugal pela RBA Editores. Eis o enunciado:

“Um comerciante de Bagdade tinha à venda dez barris de um valioso bálsamo. Estavam numerados e dispostos em duas filas, uma sobre a outra […]. Quanto menor era o número do barril, maior era o seu valor. Deste modo, a melhor qualidade estava numerada com um «1» e a pior estava numerada com um «10»; os outros números respeitavam esta escala de qualidade.

Ora bem, a regra de Ahmed Assan, era este o nome do comerciante, consistia em não pôr um barril debaixo ou à direita de um de menor valor […]. O enigma consiste em descobrir de quantas maneiras diferentes pôde o comerciante de Bagdade ter acomodado os seus barris nas duas filas, sem quebrar a regra. Consegue calcular a quantidade de maneiras?” (Dudeney, 2008, pp. 87-88).

* - Dudeney, Henry (2008). O mistério do cais. Divertimentos matemáticos (III). Barcelona: RBA Editores.

 Esta situação tem várias resoluções, de entre as quais destaco as seguintes: 

Como o autor explica, é fácil descobrir-se o número de possibildades de resposta correcta, bastando para tal multiplicar-se os valores de cada fila, seguindo-se a divisão do maior valor obtido pelo menor. Este processo permite encontrar as 252 combinações de dez objectos, tomando cinco de cada vez. Este valor deve, ainda, ser dividido por 6 (sucessor do número de barris por fila) e obtém-se a resposta à tarefa, que é 42 maneiras possíveis.

Testando esta regra para o caso de os valores dos barris serem apenas 1, 2, 3 e 4, a mesma confirma-se, pois originam-se duas possibilidades, que são os seguintes: 

1 x 2 = 2; 3 x 4 = 12; 12 : 2 = 6; 6 : (2 + 1) = 2,

Confirme a regra para o caso de os barris terem os seguintes rótulos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Ora, ao colocar em campo a nossa vontade de se dar resposta a este último desafio, constatamos que se obtiveram, entre outros, estes dois casos de sucesso:

"Olhando com olhos de ver" para estes dois casos em concreto, verificamos a seguinte curiosidade: a soma dos valores da fila de cima é igual nos dois casos. Por sua vez, a soma dos valores da fila de baixo também, ainda que diferente daquela. Refiro-me, respectivamente, aos valores 8 e 13.

Será interessante verificar se ocorrerão mais casos como este...

Apelando ao nosso sentido de indagação, podemos tentar investigar se esta situação também ocorre no caso dos seis primeiros números pares ou no caso dos seis primeiros números ímpares.

Eis o resultado surpreendente:

Para além de se confirmar a conjectura, consta-se uma nova curiosidade: em todos os casos, a diferença entre as duas somas é sempre 10 unidades!

(a) Será que a posição dos valores nas respectivas sequências influencia os resultados desta investigação?

(b) Será que também resulta para a seguinte progressão aritmética: 20, 24, 28, 32, 36, 40?

(c) Será que a razão da progressão, isto é, a diferença entre dois números consecutivos da sequência numérica, influencia a diferença de valores entre a soma dos valores da fila de cima e a soma dos valores da fila de baixo?