Sábado, 23 de Junho de 2012

À procura de regularidades

Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.

 

O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:

 

 

O objetivo é investigar se existe algum tipo de regularidade se se considerar, de cada vez, a soma de quatros desses números, de acordo com o esquema de análise seguinte:

 

   
     
   

  

 Vejamos cada caso: 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

4 + 5 + 6 + 7 = 22

 

7 + 8 + 1 + 2 = 18

 

 

2 + 3 + 4 + 5 = 14

 

 

5 + 6 + 7 + 8 = 26

 

 

8 + 1 + 2 + 3 = 14

 

  3 + 4 + 5 + 6 = 18

 

  6 + 7 + 8 + 1 = 22

 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

  

 

Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:

 

10     22     18     14     26     14     18     22     10

 

Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?

 

Analisem-se, então, as várias figuras se a inicial for a seguinte:

 

 

As novas somas associadas às nove figuras respetivas são as seguintes: 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

8 + 10 + 12 + 14 = 44

 

 

14 + 16 + 2 + 4 = 36

 

 

 

4 + 6 + 8 + 10 = 28

 

 

10 + 12 + 14 + 16 = 52

 

 

16 + 2 + 4 + 6 = 28

 

 

6 + 8 + 10 + 12 = 36

 

 

12 + 14 + 16 + 2 = 44

 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

 

Tal como, provavelmente, seria de prever, os valores de cada soma duplicam os respetivos valores de cada soma da tarefa anterior:

 

20     44     36     28     52     28     36     44     20  

 

Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.

 

Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?

 

A figura inicial será a seguinte:

 

 

Consegue antecipar resultados? Com que fundamentação o faz?

publicado por Paulo Afonso às 12:35
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