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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

À procura de regularidades

Junho 23, 2012

Paulo Afonso

Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.

 

O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:

 

 

O objetivo é investigar se existe algum tipo de regularidade se se considerar, de cada vez, a soma de quatros desses números, de acordo com o esquema de análise seguinte:

 

  
   
  

  

 Vejamos cada caso: 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

4 + 5 + 6 + 7 = 22

 

7 + 8 + 1 + 2 = 18

 

 

2 + 3 + 4 + 5 = 14

 

 

5 + 6 + 7 + 8 = 26

 

 

8 + 1 + 2 + 3 = 14

 

  3 + 4 + 5 + 6 = 18

 

  6 + 7 + 8 + 1 = 22

 

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

  

 

Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:

 

10     22     18     14     26     14     18     22     10

 

Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?

 

Analisem-se, então, as várias figuras se a inicial for a seguinte:

 

 

As novas somas associadas às nove figuras respetivas são as seguintes: 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

8 + 10 + 12 + 14 = 44

 

 

14 + 16 + 2 + 4 = 36

 

 

 

4 + 6 + 8 + 10 = 28

 

 

10 + 12 + 14 + 16 = 52

 

 

16 + 2 + 4 + 6 = 28

 

 

6 + 8 + 10 + 12 = 36

 

 

12 + 14 + 16 + 2 = 44

 

 

2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

 

Tal como, provavelmente, seria de prever, os valores de cada soma duplicam os respetivos valores de cada soma da tarefa anterior:

 

20     44     36     28     52     28     36     44     20  

 

Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.

 

Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?

 

A figura inicial será a seguinte:

 

 

Consegue antecipar resultados? Com que fundamentação o faz?

Dependência numérica - um caso de regularidades

Setembro 17, 2010

Paulo Afonso

No âmbito da recreação matemática faz todo o sentido confrontar as pessoas com situações problemáticas, quebra-cabeças, puzzles ou tarefas de investigação que impliquem uma avaliação permanente durante o próprio processo de resolução e não apenas ao fim, após a obtenção de uma eventual solução.

 

Ora no final do meu período de férias de Verão tive a oportunidade de visitar a sede da Associação de Professores de Matemática em Lisboa (APM) e deparei-me com uma caixinha cúbica colorida que me despertou, de imediato, a atenção. Associada à sugestiva caixa estava um título que também contribuiu decisivamente para a sua aquisição: "Génio da Matemática - descubra o prazer da Matemática" do autor Charles Phillips.

 

Num breve resumo acerca do conteúdo da caixa podia ler-se "A matemática é divertida - e os quebra-cabeças são óptimos para aprender os seus fundamentos [...]". Claro está que não hesitei em adquirir esta enigmática caixa. Ao sair da sede, a primeira coisa que fiz no carro foi abrir a caixa para saber qual era o seu conteúdo. Eis que encontrei um exemplar das Torres de Hanói e um mini-livro com cerca de 100 problemas, todos eles muito ricos em termos desta área do saber, que é a Matemática Recreativa.

  

De vários problemas que despertaram a minha curiosidade, escolho para reflexão o problema 35, existente na página 78 desse precioso livrinho. Vejamos a imagem seguinte:

 

 

O objectivo do problema é o de se colocarem nas células vazias os números inteiros de 4 a 9, inclusive, mas tendo em conta as seguintes condições:

1- Não pode haver números repetidos;

2 - Ter-se-ão que adicionar cada par de números adjacentes na vertical e na horizontal e não pode haver somas repetidas.

 

Ora, como o leitor terá a oportunidade de experimentar, trata-se de um desafio muito interessante, pois possibilita mais do que uma solução. Além disto incute no resolvedor a necessidade permanente de fazer verificações durante todo o processo de resolução, pois as duas condições prévias a isso obrigam.

 

Eis uma solução possível:

 

 

Verificando cada soma, temos os seguintes resultados:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 2 = 3

b) 2 + 3 = 5

c) 5 + 6 = 11

d) 6 + 7 = 13

e) 4 + 8 = 12

f) 8 + 9 = 17

a) 1 + 5 = 6

b) 5 + 4 = 9

c) 2 + 6 = 8

d) 6 + 8 = 14

e) 3 + 7 = 10

f) 7 + 9 = 16

 

Constata-se, pois, que não há somas repetidas e, além disto, todos os números inteiros do 1 ao 9 constam na figura.

 

Como referi anteriormente, trata-se de uma situação que não pode ser resolvida sem que haja verificações permanentes durante o processo de resolução. De facto, a estratégia da tentativa e erro, só por si, não será uma estratégia muito válida, pois carece de várias tomadas de decisão por parte do resolvedor, uma vez que tem de ter em linha de conta as dezasseis somas em simultâneo.

 

Porque sou muito curioso e tenho por hábito extrapolar as situações de que gosto de resolver a outros contextos, pensei para mim próprio se o desafio fosse colocado tendo em conta exclusivamente os nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17). Desafiei-me, então, com a seguinte figura:

 

 

 

Depois de algum tempo dedicado à resolução, com muitos avanços e recuos, lá descobri uma possível solução:

 

 

Realizando a confirmação final, eis as dezasseis somas obtidas:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 3 = 5

b) 3 + 5 = 8

c) 9 + 11 = 20

d) 11 + 13 = 24

e) 7 + 15 = 22

f) 15 + 17 = 32

a) 1 + 9 = 10

b) 9 + 7 = 16

c) 3 + 11 = 14

d) 11 + 15 = 26

e) 5 + 13 = 18

f) 13 + 17 = 30

 

Continuando a apelar ao meu sentido indagador procurei investigar se haveria algum aspecto comum às duas resoluções e, de imediato, apercebi-me que a colocação dos valores nas células dependia de um padrão, que é o seguinte:

 

 

De facto, o menor dos valores estava sempre colocado na célula superior esquerda e o maior deles ocupava sempre a célula inferior direita. Além disto, a linha de cima continha sempre os três menores valores de cada sequência numérica, aumentando da esquerda para a direita. o mesmo se passava na segunda linha, com interrupção do 4º elemento cuja posição era sempre a da quadrícula inferior esquerda. Por fim, entre este valor e o mais elevado ficava sempre o 8º valor.

 

Como consequência imediata desta constatação, quis testar esta regularidade com os nove primeiros números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18). Foi então que sem qualquer tipo de esforço mental me limitei a distribuir estes nove valores nas respectivas posições da nova figura. Eis o resultado:

 

 

Uma vez mais, confirma-se a regularidade ou padrão numérico identificado, pois as dezasseis somas foram todas diferentes:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 2 + 4 = 6

b) 4 + 6 = 10

c) 10 + 12 = 22

d) 12 + 14 = 26

e) 8 + 16 = 24

f) 16 + 18 = 34

a) 2 + 10 = 12

b) 10 + 8 = 18

c) 4 + 12 = 16

d) 12 + 16 = 28

e) 6 + 14 = 20

f) 14 + 18 = 32

 

Por fim fui consultar a solução que o autor apresentava para o desafio colocado e constatei que era diferente do que eu tinha obtido:

 

 

Note-se que a disposição dos números já não obedece ao mesmo padrão anterior. Por isso desafio cada leitor a descobrir o novo padrão e a testá-lo também com os primeiros nove números ímpares e, depois, com os primeiros nove números pares.

Kakuro e pensamento aritmético

Setembro 10, 2010

Paulo Afonso

No artigo anterior tive a oportunidade de me debruçar sobre a potencialidade que o jogo do Sudoku tem ao nível do desenvolvimento da comunicação matemática de quem seja solicitado a explicar oralmente e/ou por escrito o preenchimento numérico das células vazias de cada conjunto de números naturais consecutivos. Para o artigo desta semana continuo a dedicar atenção a mais um jogo de desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático, de nome Kakuro. Como refere Moore* (2005), "O nome kakuro resulta da contracção da palavra japonesa «adição» com a pronunciação japonesa da palavra inglesa «cross», que em português significa cruzar" (p. 7). Em síntese, poder-se-á dizer que se trata de um jogo de "somas cruzadas".

  

* - Moore, G. (2005). O Livro do Kakuro. Queluz de Baixo: Editorial Presença.

  

Vejamos um exemplo, extraído do livro supra referido:

  

 

Para se perceber melhor o que é necessário fazer-se, vamos centrar a nossa atenção apenas nas cinco células vazias do canto superior esquerdo da figura: 

 

 

As setas indicam o sentido em que estas células têm de estar afectas aos números "pista" que são fornecidos. Sendo assim, a seta superior horizontal indica que as duas células que estão à direita do valor 3 terão de conter dois números naturais não repetidos, cuja soma seja 3. Por sua vez, a seta horizontal de baixo indica que as duas células à direita do 4 terão de ser preenchidas com dois números naturais, diferentes entre si, cuja soma seja 4. Contudo, o desafio de se preencherem estas quatro células não pode deixar de ter em consideração as setas verticais, isto é, a seta vertical da esquerda indica que por baixo do valor 4 terão de ser colocados dois números naturais diferentes entre si, cuja soma seja 4. Por sua vez, a seta vertical da direita indica que as tês células existentes por baixo do 7 terão de ser preenchidas por três números naturais diferentes entre si, cuja soma será precisamente o valor 7.

 

Tendo em conta todas as condições acabadas de descrever, eis que apenas uma das duas possibilidades de resolução é correcta, por nunca repetir os números numa mesma adição. Trata-se da figura da direita:

 

 

Note-se que na figura da esquerda para a segunda adição horizontal repete o valor 2, o que não é permitido neste jogo. Sendo assim, a figura inicial poderia ser preenchida nesta parte:

 

 

Centremos agora a nossa atenção numa outra parte da figura, designadamente na sua parte direita:

 

 

Tendo em conta as várias adições horizontais e verticais a fazerem-se, eis uma possível solução para a parte superior desta figura:

  

 

  

Continuando, facilmente se percebe que em termos de raciocínio aritmético se deve afectar o valor 8 à soma 24. Por outro lado, a quadrícula do canto inferior direito também é de fácil preenchimento:

 

 

 

Agora torna-se fácil sugerir o valor 3 para o que resta da adição vertical de soma 6:

 

 

  

Centremo-nos, agora, numa outra parte da figura, o canto inferior esquerdo:

 

 

Uma vez mais, cruzando as duas somas horizontais com as duas somas verticais, eis uma possível solução:

 

 

Transportemo-la para a figura inicial:

 

 

 

Restam apenas os quatro valores centrais. Estes estão dependentes simultaneamente de duas adições horizontais cujas somas são, respectivamente, 8 e 6, bem como de duas adições verticais cujas somas são, respectivamente, 11 e 12. No caso da soma horizontal de valor 8 já existe uma parcela de valor 4, faltando apenas o preenchimento de duas parcelas cujo valor total terá de ser também 4. Não se podendo repetir o valor 2, pode optar-se por se colocar o valor 1 e o valor 3:

 

  

Por sua vez, para a soma 12 vertical falta o valor 1:

 

 

 

 Por fim, para a soma vertical 11 e para a horizontal 6 falta apenas o valor 2:

 

 

 

Confirma-se, pois, que cada soma tem as suas respectivas parcelas correctamente preenchidas.

 

Com base nesta análise preencha o jogo seguinte, extraído, igualmente da obra de Moore supra citada:

 

 

 

Adicionando números primos

Outubro 09, 2009

Paulo Afonso

Como é do conhecimento de muitas pessoas, designadamente dos mais ligados a questões da Matemática, não existe nenhum algoritmo ou lei geral que seja capaz de gerar todos os números primos. Talvez devido a este motivo,  este tipo de números seja muito utilizado ao nível da segurança informática, pois a encriptação de chaves numéricas tem tido uma relação muito estreita com os números primos.

Contudo, não é sobre a segurança na Net que vou dedicar a minha reflexão. Antes vou utilizar alguns números primos, especialmente os quatro primeiros (2, 3, 5 e 7) para aplicar a um vulgar jogo do quotidiano das pessoas.
Imagine-se a jogar, com uma ligeira adaptação,  o jogo da moedinha com mais três amigos, sendo que você decide, sem dizer a ninguém, levar sempre duas moedas de um cêntimo. Se aos outros for permitido levar também duas moedas ou três ou cinco ou sete de um cêntimo, qual será a soma que deve escolher, caso o possa fazer em primeiro lugar, isto é, antes dos demais adversários?
Esta situação lúdica e de lazer merece uma análise acerca das possibilidades matemáticas que podem ocorrer. A tabela seguinte pode ajudar, sendo o leitor o jogador A:

Jogador A
Jogador B
Jogador C
Jogador D
Soma
2
2
2
2
8
2
2
2
3
9
2
2
2
5
11
2
2
2
7
13
2
2
3
3
10
2
2
3
5
12
2
2
3
7
14
2
2
5
5
14
2
2
5
7
16
2
2
7
7
18
2
3
3
3
11
2
3
3
5
13
2
3
3
7
15
2
3
5
5
15
2
3
5
7
17
2
3
7
7
19
2
5
5
5
17
2
5
5
7
19
2
5
7
7
21
2
7
7
7
23

A análise da tabela permite que possa extrair algumas conclusões:
a) Deve evitar-se escolher o 20, o 22 ou qualquer número inferior a 8 ou superior a 23.
b) As somas mais prováveis de ocorrer são 11, 13, 14, 15, 17 e 19, ganhando para as somas 8, 9, 10, 12, 16, 18, 21 ou 23.
Como será para o caso de se poderem levar 11 moedas e nunca duas, sendo que o leitor escolhe sempre levar três moedas? Qual o valor ou valores mais interessantes a serem pedidos por si? (nota: valores permitidos de moedas - 3, 5, 7 e 11).

Adições consecutivas

Outubro 01, 2009

Paulo Afonso

Folheando um interessantíssimo livro produzido em 1984 por um grupo de professores/investigadores do Shell Centre for Mathematical Education da Universidade Nottingham, traduzido em 1993 para a lingua castelhana pela Universidade do País Vasco, sob o título Problemas con pautas y números*, deparei-me com uma situação envolvendo a operação adição, que tomo a liberdade de partilhar com os meus leitores.

Faço-o porque entendo tratar-se de uma reflexão muito interessante, feita a propósito de se obterem os números inteiros a partir da adição de vários números inteiros consecutivos. Aproveito para sugerir a leitura deste livro, pois tanto pode ser levado à sala de aula, como ser utilizado para criar situações de recreação matemática.

 

* - Shell Centre for Mathematical Education (1993). Problemas con pautas y números. Bilbao: Universidade del Pais Vasco.

 

O exemplo que decidi apresentar poderia passar por pedir para investigarem se todos os números, de 1 a 30, inclusive, se podem decompor em adições envolvendo números inteiros consecutivos.

A título de exemplo, vejam-se os seguintes casos:

 

6 = 1 + 2 + 3 9 = 2 + 3 + 4 12 = 3 + 4 + 5
15 = 4 + 5 + 6 18 = 5 + 6 + 7 21 = 6 + 7 + 8
24 = 7 + 8 + 9 27 = 8 + 9 + 10 30 = 9 + 10 + 11

 

Observando os casos expressos na tabela, facilmente se pode concluir que todos aqueles números que se podem obter pela adição de três números inteiros consecutivos têm a particularidade de ser múltiplos de 3.

Analise-se, também, o que se passa com dois desses números, o 15 e o 30:

 

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8

   

O 15 e o 30, para além de serem múltiplos de três, também são múltiplos de cinco. Curiosamente ambos podem ser obtidos pela adição de cinco números consecutivos!

Note-se que o número de parcelas que tenho estado a considerar são em número ímpar: 3 ou 5, pelo que se poderá conjecturar se todos os números inteiros que resultam da decompisção de um número ímpar de parcelas, isto é, 2n + 1 parcelas, serão sempre múltiplos de 2n + 1?

Vejamos agora os números 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Têm de comum o facto de se poderem obter pela adição de apenas dois números inteiros consecutivos. Logo será legítimo conjecturar-se que qualquer número primo obedece a esta regularidade, a de se obterem pela adição de dois números inteiros consecutivos.

Como será o caso das potências de base dois? Haverá algo de comum relacionado com o tema deste artigo?

O que haverá de comum com os números que se obtêm pela adição de quatro números inteiros consecutivos?

Adições mágicas

Agosto 24, 2008

Paulo Afonso

As operações aritméticas costumam ser motivo de várias actividades de recreação matemática. Desde as operações lacunadas, passando pelos famosos quadrados e triângulos mágicos, até outro tipo de contextos lúdico-matemáticos, podemos encontrar essas operações. Centremos, contudo, a atenção na operação adição e vamos associá-la a uma figura já nossa conhecida, que é a de um calendário de bolso:

Na figura acima vamos seleccionar, por exemplo, um conjunto de 16 números, formando um quadrado de quatro por quatro números, iniciado no 2 e terminando no 26.

Como justificar a magia de se obter sempre a soma 56, ao seleccionarem-se apenas quatro desses dezasseis números, de acordo com as seguintes regras: (1) seleccionar um desses 16 números e eliminar todos os restantes números da linha e da coluna a que esse número seleccionado estado afecto; (2) dos restantes números não seleccionados nem eliminados, seleccionar um segundo número, eliminando, tal como no primeiro caso, todos os números da respectiva linha e da respectiva coluna; (3) seleccionar um novo número ainda não seleccionado e proceder como nos dois casos anteriores; (4) como ainda há um número por seleccionar, este será seleccionado e adicionado aos restantes três anteriormente seleccionados.

Confirma-se, ou não, a soma 56? Porque será?

 

Em contexto de sala de aula, esta tarefa pode ser utilizada para se fazer um estudo de natureza investigativa. Seria interessante que os alunos concluíssem que os quatro números seleccionados, independentemente das suas posições no quadrado numérico, estão a representar todas as linhas e todas as colunas desse quadrado, e apenas uma vez. Dois casos exemplificativos deste tipo de selecção são as duas diagonais do quadrado. Note-se que em ambos os casos a soma é 56. Analisando mais em pormenor, nem é necessário adicionar esses quatro números, pois basta adicionar os extremos e multiplicar por dois.

De facto analisemos os seguintes números: 2, 10, 18 e 26. Se atribuirmos ao 2 o valor a, temos a, a + 8, a + 16 e a + 24. Tudo adicionado dá 4a + 48. Logo, basta até multiplicar o menor dos números do quadrado por 4 e adicionar o valor 48. O resultado coincidirá, pois, com a soma de quaisquer quatro números seleccionados de acordo com as regras aqui estipuladas.

Será que este estudo é válido para um quadrado formado por 9 números, em que a quantidade de números a seleccionar é 3? Como fazer nestes casos?

 

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