Explorando operações aritméticas codificadas
Novembro 18, 2008
Paulo Afonso
Resolver operações aritméticas cujos valores foram substituídos por símbolos ou por letras é uma tarefa que frequentemente está associada à Matemática Recreativa.
Tendo em conta as palavras de David Wells (1999)*, "Loyd foi o primeiro a inventar «criptaritmos», enigmas em que deve ser completada uma adição onde alguns algarismos estão apagados, mas Dudeney foi o primeiro a substituir os algarismos desaparecidos por letras, formando uma mensagem com sentido - deu-lhe o nome de Aritmética Verbal [...]" (p. 108).
* - Wells, D. (1999). Antologia de Puzzles. Lisboa: Replicação.
Veja o seguinte exemplo "SEND + MORE = MONEY", aliás muito conhecido nesta área, e a respectiva resolução:
SEND + MORE MONEY |
9567 + 1085 10652 |
Possível explicação: Como a soma tem mais um dígito do que qualquer uma das parcelas, implica que o M seja necessariamente o 1. Já o S poderia ser o 8 ou o 9. Contudo, se se experimentar o valor 8 para o S, conclui-se que isso não é possível, pelo que se escolhe para esta letra o valor 9. Para que o O seja diferente do M, o valor de O não pode ser 1, mas, sim, zero. Descoberto que estiver o valor 5 para o E, os restantes valores serão fáceis de descobrir.
Cada número seguinte é o resultado da adição dos valores envolvidos em linha ou
J |
# |
O |
$ |
10 |
J |
J |
J |
# |
5 |
O |
O |
J |
J |
8 |
O |
O |
O |
$ |
13 |
$ |
$ |
$ |
$ |
16 |
$ |
$ |
# |
# |
12 |
16 |
17 |
14 |
17 |
|
O início da análise da tabela anterior pode ocorrer em vários sítios. Desde logo, a linha dos quatro óculos permite concluir, de imediato, que o valor de cada par de óculos é 4. Por outro lado, a segunda linha permite concluir que cada sorriso vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, conhecendo-se os valores destes três símbolos, é fácil concluir que cada bandeira vale 3.
Descubra, agora, o valor de cada um desses quatro símbolos se:
J + $ = O# | $ x $ = J | $ - # |
Note que a operação multiplicação é determinante nesta actividade, pois permite experimentar todos os casos de um factor a multiplicar por si próprio, não perfazendo uma dezena. Temos os seguintes casos: 2 x 2 = 4 e 3 x 3 = 9. Contudo, só adicionando 9 a 3 é que ultrapassa a dezena, que é o exigido na adição existente na primeira coluna da tabela. Sendo assim, os óculos valem 3, o sorriso vale 9, a bandeira vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, a operação subtracção aí existente permite confirmar que 3 - 2 = 1.
Altere, agora, a posição de cada número em cada uma das quatro operações seguintes para que as mesmas passem a estar correctas:
ADIÇÃO |
SUBTRACÇÃO |
MULTIPLICAÇÃO |
DIVISÃO |
58 + 8 50 |
56 - 2 76 |
46 x 5 10 |
41 : 64 = 6 |
Uma possível estratégia de resolução passa por se fazer o estudo exaustivo das posições dos números. Faço-o apenas para o caso da adição, mas as restantes operações podem ser objecto de estudos semelhantes:
88 + 5 = 93 |
88 + 0 = 88 |
85 + 8 = 93 |
85 + 5 = 90 |
85 + 0 = 85 |
58 + 8 = 66 |
58 + 5 = 63 |
58 + 0 = 58 |
55 + 8 = 63 |
55 + 0 = 55 |
50 + 8 = 58 |
50 + 5 = 55 |
A tabela anterior permite concluir que existem três casos possíveis de a adição poder ser resolvida correctamente. Contudo, não parece razoável que uma das parcelas seja o zero, pelo que a resposta correcta é 50 + 8 = 58.
Termino com mais uma situação de Aritmética Verbal envolvendo, desta vez, as palavras AMOR e ROMA, em que a primeira é operada por um factor I (inverso), originando a segunda:
A M O R
x I
R O M A
Encontre, pois, o valor numérico de cada letra e explique o raciocínio empregue!