Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008

Descoberta de artifícios matemáticos usados de forma incorrecta

A Matemática é fértil na utilização de artifícios que se revelam bastante úteis na explicação teórica de determinados conceitos. Contudo, em situações de recreação matemática pode haver um uso abusivo ou incorrecto desses artifícios, levando a conclusões curiosas, mas erradas. Veja-se o exemplo seguinte:

Imaginem-se dois números inteiros, não consecutivos “x” e “y”, sendo o primeiro maior que o segundo (x > y). Admitamos a existência de um número inteiro “z” compreendido entre “x” e “y”, de modo que “x = z + y”. Desta igualdade conclui-se que “z = x – y”. Analise-se, agora, os seguintes procedimentos algébricos e procure-se encontrar o artifício matemático que foi utilizado de forma incorrecta, levando a uma resposta absurda:

z = x – y <=>

<=> z (x – y) = (x – y)2 <=>

<=> zx – zy = x2 – 2xy + y2 <=>

<=> xy – y2 – zy = x2 – xy – zx <=>

<=> y (x – y – z) = x (x – y – z) <=>

<=> y = x

Levando esta situação para o contexto de sala de aula, poder-se-á constatar que se “x = z + y”, implica que “x – y – z = 0”. Assim sendo, o penúltimo passo da resolução apresentada não pode ser feito, pois está a usar-se a divisão por zero, o que é impossível.

A título de brincadeira poderíamos analisar outros casos, como os seguintes:

A - Tentar justificar que a diferença entre 45 e 45 não é 45, pois a seguinte resolução evidencia a igualdade:

                                   9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

        -  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

                                   8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2 = 45

B - Tentar justificar que o produto de 7 por 13 não é 28, pois a resolução seguinte mostra que sim:

13        7 vezes 3 é igual a 21

x 7       7 vezes 1 é igual a 7

 21

+ 7

 28

Que outros casos semelhantes conhece e pode disponibilizar neste blog?

publicado por Paulo Afonso às 21:16
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