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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

Balanças matemáticas

Abril 06, 2009

Paulo Afonso

Num destes dias estava eu a ler um interessante livro do autor Michael Holt*, intitulado Matemáticas recreativas 2, quando me deparei com uma actividade relacionada com um jogo tradicional com que brincava no meu tempo de recreio, na escola - o puxar de uma corda por parte de duas equipas, para se identificar a mais forte.

 

* - Holt, M. (1988). Matemáticas recreativas 2. Barcelona: Martínez Roca.

 

Muito resumidamente, a actividade divulgava que quatro rapazes puxavam a corda com uma força equivalente a cinco raparigas. Por outro lado, duas dessas raparigas e um desses rapazes puxavam a corda com tanta força como a força que um cão exercia sobre a outra extremidade da corda.

Perguntava-se, no final, quem ganhava a puxar a corda, se de um lado estivessem três raparigas e o cão, e do outro estivessem quatro rapazes:

Esta actividade pode ser resolvida da seguinte forma: se o cão tem uma força equivalente a duas raparigas e um rapaz, então, no desafio final, ter três raparigas e um cão de um lado da corda equivale à força conjunta de cinco raparigas e um rapaz. Como se sabe que cinco raparigas têm uma força equivalente aos quatro rapazes que se encontram na outra extremidade da corda, então, o rapaz que se encontra junto a estas cinco raparigas vai provocar o desequilíbrio, isto é, cinco raparigas e um rapaz (de um lado da cord) terão mais força do que os quatro rapazes (do outro lado da corda).

Em contexto de sala de aula esta actividade de recreação matemática poderia servir como motivação para o estudo das equações lineares a mais de uma incógnita, senão vejamos:

Sendo "r" as raparigas, "rz" os rapazes e "c" o cão, sabe-se que:

(a) 5r = 4rp;

(b) 2r + 1rp = 1c

Logo, perante a pergunta de qual a equipa com mais força: 4rp ou 3r + 1c, facilmente se conclui que será esta última equipa, porque fica 3r + 2r + 1rp, isto é, 5r + 1rp (5 raparigas e 1 rapaz) contra 4rp (4 rapazes).

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como esta que apresento a seguir, associada a uma balança de dois pratos:

Se:

(a) 2 cubos equilibram 1 paralelipípedo rectângulo:

(b) 3 paralelipípedos rectângulos equilibram duas pirâmides:

 

(c) 3 pirâmides equilibram 1 cilindro:

 

 Quantos cubos são necessários para equilibrar um cilindro?

Uma actividade de pesagens - detectar moedas falsas

Dezembro 22, 2008

Paulo Afonso

O desafio de se detectarem moedas falsas, de entre um conjunto de moedas, e sem a possibilidade de se utilizarem quaisquer massas para as pesar, costuma ser muito utilizado como actividade de recreação matemática.

Neste sentido, e imaginando o uso de uma balança de dois pratos, poderemos pensar numa estratégia para se descobrir a moeda falsa existente num conjunto de cinco moedas, em que apenas ela é mais pesada que as demais. O desafio é tentar fazer essa descoberta num número mínimo de pesagens.

A estratégia a usar pode ser a seguinte: associemos às moedas as seguintes letras: A, B, C, D e E. Numa primeira pesagem poderemos colocar num dos pratos da balança as moedas A e B, colocando no outro as moedas C e D, ficando a moeda E de fora da balança. Nesta pesagem pode acontecer uma de duas coisas: (a) a balança fica equilibrada e a moeda falsa é a E ou (b) a balança desequilibra onde o peso for maior. Imagine-se, por exemplo, que a balança tinha desequilibrado no sentido do prato que continha as moedas C e D. Isto implica que uma delas será a moeda falsa. Para se descobrir qual é essa moeda, basta pesar, agora, C e D, colocando uma em cada prato da balança. Como esta desequilibraria no prato onde se encontrava a moeda mais pesada, então a moeda falsa ficaria descoberta. Conclui-se pois, que com o máximo de duas pesagens, a moeda falsa seria identificada.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos investigassem quais as quantidades de moedas que também possibilitam a identificação da moeda falsa envolvendo um máximo de duas pesagens.

Seria desejável que os alunos referissem os valores 4, 5, 6, 7, 8 e 9 moedas.

Analisemos cada caso, com a excepção das 5 moedas já analisadas:

4 moedas: - colocam-se duas moedas em cada prato da balança (1ª pesagem). Esta vai desequilibrar para o prato em que o peso for maior. Logo, através de uma 2ª pesagem ficará identificada a moeda falsa, pois basta pesar as duas moedas que provocaram o desequilíbrio da balança, colocando uma em cada prato.

6 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato (1ª pesagem). A balança irá desequilibrar no sentido do prato que tiver o maior peso. Então, com uma 2ª pesagem a moeda falsa será identificada, pois basta colocar uma moeda em cada prato e deixar a terceira moeda de fora. Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que não foi à balança; se a balança desequilibrar será no sentido do prato que contém a moeda falsa.

7 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato, ficando um sétima moeda de fora (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que ficou de fora; se a balança desequilibrar faz-se uma nova pesagem igual à 2ª pesagem do caso das 6 moedas.

8 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato, ficando as outras duas moedas de fora (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será uma das que ficou de fora, pelo que uma 2ª pesagem identificá-la-á. Se a balança tiver desequilibrado na 1ª pesagem, uma das três moedas do prato que revelou ter maior peso será a falsa. Uma vez mais, coloca-se uma moeda em cada prato e a terceira fica de fora. Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que não foi pesada; se a balança desequilibrar ficará identificada a moeda falsa.

9 moedas: - para este caso, o processo é muito semelhante aos anteriores. Apenas varia o número de moedas que não é envolvido na 1ª pesagem, pois três moedas ficarão em cada prato e as restantes três moedas não serão pesadas ainda.

Quantas pesagens serão necessárias para o caso de serem 10 moedas?

Uma 1ª pesagem envolveria quatro moedas em cada prato, ficando as restantes duas moedas de fora. Se a balança equilibrasse, a moeda falsa seria uma das duas que não foram pesadas, pelo que uma 2ª pesagem identificá-la-ia; se a balança desequilibrasse, a moeda falsa estaria no prato que continha as 4 moedas que provocaram o desequilíbrio. Assim, numa 2ª pesagem colocar-se-iam duas destas moedas num prato e as outras duas no outro. A balança iria desequilibrar e as duas moedas do prato de maior peso entrariam numa 3ª pesagem, identificando-se a falsa. Para este caso usar-se-iam, pois, três pesagens.

Quais as quantidades de moedas que também obrigam a que se façam, no máximo, três pesagens para se identificar a moeda falsa?

Este novo desafio tem como resposta todas as quantidades de moedas compreendidas entre 10 e 27.

A título de exemplo vamos analisar os casos das 27 e das 28 moedas:

27 moedas: - colocam-se nove moedas em cada prato e as restantes nove moedas ficam de fora (1ª pesagem). Quer a balança equilibre ou não, ter-se-á que realizar uma 2ª pesagem envolvendo, respectivamente, as nove moedas que não foram pesadas agora ou as nove que provocaram o equilíbrio. Assim, cada prato da balança teria três moedas, ficando também três moedas por pesar. Uma vez mais, só com uma 3ª pesagem se iria descobrir a moeda falsa, pois colocava-se uma moeda em cada prato e ficava uma de fora, moedas estas afectas ao grupo que provocou um novo desequilíbrio da balança ou afectas ao grupo que não foi pesado, tendo a balança permanecido em equilíbrio.

28 moedas: - colocam-se treze moedas em cada prato da balança e ficam apenas duas moedas por pesar (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será uma das que não se pesou agora, pelo que uma 2ª pesagem ajuda a identificá-la; se a balança equilibrou, então há que se dividir as treze moedas em dois grupos de seis para serem novamente pesadas, deixando apenas uma de fora. Se houver equilíbrio, a moeda falsa é a que não foi pesada; se houver desequilíbrio, as seis moedas que o provocaram irão formar três grupos de duas moedas cada. Um destes fica de fora e os outros vão ser novamente pesados (3ª pesagem). Com esta pesagem fica-se a saber o grupo onde está a moeda falsa, pelo que uma última pesagem ajudará a identificá-la.

Estes valores deveriam suscitar em nós a interrogação de quais serão as quantidades de moedas que necessitam a realização de quatro pesagens para se conhecer a moeda falsa.

Contudo, olhando-se com "olhos de ver" para os valores já investigados, pode-se concluir que:

- com uma pesagem podem-se pesar até 3 moedas;

- com duas pesagens podem-se pesar até 9 moedas;

- com três pesagen podem-se pesar até 27 moedas.

Será legítimo conjecturar que com quatro pesagens poder-se-ão pesar até 81 moedas? Porquê? Que conceito matemático suporta esta regularidade ou padrão numérico?

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