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BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA

Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.

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Calendários escritos em diferentes bases numéricas

Fevereiro 18, 2012

Paulo Afonso

o é a primeira vez que dedico atenção às bases e sistemas de numeração neste blog. Apesar de o nosso sistema de numeração ser de base decimal, torna-se importante que percebamos como funcionam outros sistemas de numeração suportados por outras bases que não sejam a decimal.

 

O exemplo mais vezes referenciado no nosso quotidiano será, porventura, o sistema de numeração de base dois ou binário. Como sabemos, trata-se de um sistema de numeração baseado apenas em dois tipos de símbolos escritos, o zero (0) e o um (1), muito utilizado no âmbito da informática.

 

Com estes dois únicos símbolos numéricos podem-se representar, por escrito, quaisquer quantidades numéricas. A título de exemplo, se se pretender representar a quantidade dois neste sistema de numeração, ter-se-á que utilizar o seguinte numeral: 10. O mesmo deverá ler-se: um grupo de dois e zero unidades. Já o numeral 11 representará o número cardinal três. A sua leitura deverá ser esta: um grupo de dois e uma unidade. Por sua vez, a quantidade quatro deverá ser apresentada da seguinte forma: 100. A sua leitura será: um grupo de quatro, zero grupos de dois e zero unidades. Assim sendo, a quantidade cinco será formada por um grupo de quatro, zero grupos de dois e uma unidade, isto é: 101.

 

Tendo em conta este sistema de numeração, dê continuidade ao preenchimento de um hipotético calendário relativo ao mês de Janeiro:

 

A imagem seguinte visa dar resposta ao desafio colocado:

 

 

Avaliemos alguns exemplos desse calendário... Como sabemos, o mês de janeiro tem trinta e um dias, pelo que a última célula preenchida deverá representar essa quantidade. E como é que o numeral 11111 constitui a representação escrita, na base dois ou binário, do cardinal trinta e um?

 

Como sabemos, se a mesma representação numérica 11111 fosse referente ao nosso sistema de numeração decimal, o mesmo queria dizer o seguinte:

 

Dezenas de MilharUnidades de MilharCentenasDezenasUnidades
104103102101100
%$&«*
11111

 

Teríamos:

- 1 dezena de milhar, isto é 1 x 104;

- 1 unidade de milhar, isto é 1 x 103;

- 1 centena, isto é 1 x 102;

- 1 dezena, isto é 1 x 101;

- 1 unidade, isto é 1 x 100.

 

Logo, concluímos que 11111 = 1 x 104 + 1 x 103 + 1 x 102 + 1 x 101 + 1 x 100.

 

Esta leitura não escapa ao nosso entendimento racional, porque estamos habituados a lidar com este sistema de numeração decimal ou de base dez. O critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dez.

 

Retomemos, então, o numeral 11111 escrito no binário ou base dois e façamos um estudo semelhante ao acabado de fazer para a base dez:

 

Grupos de dezasseisGrupos de oitoGrupos de quatroGrupos de doisUnidades
2423222120
%$&«*
11111

 

Neste caso os valores da tabela deverão ser interpretados da segunte forma:

- 1 grupo de dezasseis, isto é 1 x 24;

- 1 grupo de oito, isto é 1 x 23;

- 1 grupo de quatro, isto é 1 x 22;

- 1 grupo de dois, isto é 1 x 21;

- 1 unidade, isto é 1 x 20.

 

Logo, concluímos que 11111 (escrito na base dois) = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.

Neste caso, o critério de mudança é sempre este: muda-se para a ordem seguinte, quando na ordem anterior atingirmos a quantidade dois.

 

Vejamos outro exemplo do calendário, como seja 10110. Está colocado na célula referente ao dia 22 de janeiro. Estará correto?

 

Façamos a respetiva conversão para a base decimal: 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22. Confirma-se, pois, que o valor 22 escrito em numeração binária ou de base dois é a seguinte 10110(base dois).

 

E se o nosso sistema de numeração não fosse o decimal nem o de base dois, mas, sim, o de base três? Como estariam representados os dias do mês de fevereiro de um ano bissexto?

 

Comecemos por perceber que o critério de mudança deste sistema de numeração será o "de três em três", isto é, só se avança para a ordem seguinte quando se atingir na ordem anterior a quantidade três. Logo, os símbolos disponíveis são apenas três (0, 1 e 2).

 

Comecemos por representar os primeiros cinco números de acordo com este critério de mudança:

 

 

Repare-se que:

1 = 1;

2 = 2;

3 = 10, isto é um grupo de três e zero unidades;

4 = 11, isto é um grupo de três e uma unidade;

5 = 12, isto é um grupo de três e duas unidades.

 

Como ficará o resto do calendário?

 

Espera-se que a quantidade seis seja vista como sendo dois grupos de três e zeros unidades, isto é 30. Já a quantidade sete será dois grupos de três e uma unidade e assim sucessivamente:

 

 

A título de certificação, vejamos, também agora, o último número deste mês, o que é relativo ao dia 29 de fevereiro.

1002(base três) = 1 x 33 + 0 x 32 + 0 x 31 + 2 x 30 =  27 + 0 + 0 + 2 = 29. Confirma-se, pois, o valor esperado.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante desafiar os alunos a investigar a feitura dos restantes meses do ano, atribuindo a cada um uma base diferente, isto é: (a) ao mês de março atribuir a base quatro; (b) ao mês de abril atribuir a base cinco; (c) ao mês de maio atribuir a base seis; (d) ao mês de junho atribuir a base sete; (e) ao mês de julho atribuir a base oito; (f) ao mês de agosto atribuir a base nove; (g) ao mês de setembro atribuir a base dez; (h) ao mês de outubro atribuir a base onze; (i) ao mês de novembro atribuir a base doze e (j) ao mês de dezembro atribuir a base treze.

 

Como ficariam os calendários?

 

Vejamos até ao mês de Agosto, inclusivé:

 

 

 

 

 

 

Já o mês de setembro, por usar a base decimal, suscitará uma leitura mais imediata e linear:

 

 

 

O mês de outubro, associado à base onze, implica uma dificuldade acrescida por não haver um símbolo numérico que represente a quantidade dez, pois os que conhecemos coincidem com os dez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Sendo assim, sempre que se pretender representar a quantidade dez usar-se-á a letra A. Logo, a quantidade vinte e um, escrita nesta base onze será 1A, isto é, um grupo de onze mais dez unidades. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

O mesmo se passa com o mês de novembro, escrito na base doze, pois ter-se-á que associar o símbolo A à quantidade dez e um novo sómbolo B à quantidade onze. Eis como fica o respetivo calendário:

 

 

Como será o último mês do ano, se for preenchido com base no critério de "treze em treze"?

 

Registar os números inteiros com o minicomputador Papy

Novembro 23, 2009

Paulo Afonso

Enquanto professor de Didáctica da Matemática sou um fiel adepto da utilização de materiais manipuláveis para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Geoplanos, tangrans, calculadores multibásicos, material Cuisenaire, blocos lógicos, polidrons, poliminós, blocos padrão, etc., costumam fazer parte das minhas aulas. Contudo, hoje vou dedicar a minha reflexão a um outro material manipulável, pouco conhecido em Portugal, a avaliar pelos escritos que existem. Refiro-me ao minicomputador Papy. Trata-se de um material didáctico estruturado para o ensino do cálculo aritmético elementar e foi concebido por Geoges Papy, professor da Faculdade de Ciências na Universidade de Bruxelas. Nos próximos artigos irei explorá-lo para o cálculo, mas desta vez irei apenas demonstrar como é o seu funcionamento ao nível do registo de quantidades inteiras.O seu aspecto é o seguinte:

Em homenagem ao matemático Cuisenaire, Papy utilizou estas quatro cores para representar os mesmos valores numéricos que o material Cuisenaire.

Assim, se uma peça ou uma marca estiver posicionada na quadrícula branca estará a representar a quantidade 1; se estiver na quadrícula vermelha representará a quantidade 2; se estiver na rosa representará a quantidade 4 e se estiver na castanha representará a quantidade 8. Logo, trata-se de um material que se baseia na base 2 ou binário:

Quantidade 1 Quantidade 2 Quantidade 4 Quantidade 8

Este material serve, pois, para se representarem as restantes quantidades inteiras até ao 9 inclusive:

3 = 1 + 2 5 = 1 + 4 6 = 2 + 4 7 = 1 + 2 + 4 9 = 1 + 8

Este material só permite, pois, a existência de uma marca em cada quadrícula, como se pode observar acima. Por outro lado, caso exista uma marca na quadrícula castanha (valor 8) já não pode haver marca na quadrícula vermelha (valor 2) ou na quadrícula rosa (valor 4). De facto, estar-se-ia para cada caso anterior a atingir a ordem das dezenas, pelo que seria necessário juntar uma nova placa. Veja-se como se representa, então, o valor 10 e o valor 12:

Quantidade 10 (10 + 0) Quantidade 12 (10 + 2)

Percebendo-se estas regras básicas, como se representa, por exemplo, a quantidade 357?

A resolução passa por se usar uma nova placa para representar a ordem das centenas. Ora, como sabemos que 357 = 300 + 50 + 7 e que 300 = 100 + 200; 50 = 10 + 40; 7 = 1 + 2 + 4, então fica assim:

Imagine-se que um pastor pretendia representar a quantidade de ovelhas do seu rebanho usando este tipo de material. Ao utilizá-lo obteve a seguinte representação. Está bem preenchido? Quantas ovelhas terá o pastor?

Podemos constatar que o calculador foi usado incorrectamente. Por isso vamos dispor as marcas de forma precisa e correcta. Convém fazê-lo por etapas ou por partes:

1º - dois grupos de 2 origina um grupo de 4:

Tendo sido substituídos esses dois grupos de 2 por um de 4, resulta que temos um grupo de 8 e um grupo de 4, pelo que a quantdade resultante 12 deverá ser convertida numa dezena e em duas unidades:

Constata-se agora que há duas dezenas, pelo que têm que ser substituídas por um grupo de 20:

 

 Por sua vez, dois grupos de 40 terão de ser substituídos por um grupo de 80:

 

Um grupo de 80 e um grupo de 20 deverão dar origem a uma centena:

Por sua vez, duas centenas originarão um grupo de 200:

Eis o resultado final de 203 ovelhas:

Em síntese e fazendo-se todas as alterações num mesmo esquema, o seu aspecto gráfico deverá ser o seguinte:

Faça uma resolução do mesmo tipo para a seguinte disposição incorrecta de marcas:

Bases e sistemas de numeração

Outubro 24, 2009

Paulo Afonso

Gostava de começar este meu novo artigo através da colocação da seguinte situação problemática: "O Ricardo é coleccionador de calendários de bolso. Como já é possuir de um grande número de calendários, decidiu arquivá-los segundo um critério muito interessante. Sempre que tem 6 calendários avulso adquire uma mica plástica para os guardar, ficando a mica cheia. Sempre que consegue obter 6 micas cheias, adquire um dossiê para as arquivar, ficando este cheio. Ao ter 6 dossiês completos arruma-os numa caixa que fica cheia. Por último, ao ter 6 caixas cheias consegue preencher, na íntegra, uma prateleira de um armário que concebeu para este propósito. Sabendo que o Ricardo tem uma prateleira completa, dois dossiês completos e cinco calendários avulso, qual o número de calendários da sua colecção?"

Esta situação pode facilmente ser visualizada numa tabela:

Grupos de 1296 Grupos de 216 Grupos de 36 Grupos de 6 Unidades
Prateleiras Caixas Dossiês Micas Avulso

*

 

*

*

 

*

*

*

*

*

Pela análise da tabela sabemos que existe um grupo de 1296 calendários, dois grupos de 36 calendários e ainda cinco calendários avulso. Logo, fica:

1 x 1296 + 2 x 36 + 5 = 1373. Conclui-se, pois, que a colecção é formada por 1373 calendários.

Note-se que os valores 1296, 216, 36, 6 e 1 podem ser associados às seguintes potências de base seis: 64, 63, 62, 61 e 60, respectivamente.

Logo, 1373 = 1 x 64 + 2 x 62 + 5 x 60.

Imagine-se, agora, que a irmã do Ricardo, de nome Maria, também é coleccionadora de calendários. Curiosamente arquiva a sua colecção segundo os mesmos critérios do seu irmão. Sabendo que a sua colecção é composta por 700 calendários, como estão arquivados?

Esta tarefa pressupõe que em primeiro lugar se procure o número de micas necessárias para arquivar este número de calendários avulso. Para tal façamos a seguinte divisão:

 

Conclui-se que os 700 calendários originam 116 micas cheias, sobrando 4 calendários avulso.

De seguida deveremos averiguar o número de dossiês necessários para arquivar essas 116 micas, pelo que devemos voltar a dividir por 6:

Conclui-se que as 116 micas originam 19 dossiês e sobram duas micas soltas. Resta saber agora quantas caixas são necessárias para arquivar os 19 dossiês. Uma nova divisão por 6 resolve o problema:

 

Em resumo: os 700 calendários da Maria estão arquivados da seguinte forma: 4 avulso, 2 micas cheias, 1 dossiê e 3 caixas.

Em contexto de sala de aula estas duas situações problemáticas poderiam servir para se abordar o sistema de numeração decimal, comparando-o com outros sistemas, como este que utiliza a base seis.

Note-se que se em vez de conheceremos os dez símbolos numéricos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, só conhecêssemos os seis primeiros: 0, 1, 2, 3, 4 e 5, a representação simbólica 10205, escrita na base seis (1 prateleira, zero caixas, 2 dossiês, zero micas e 5 calendários avulso), seria a representação da quantidade mil, trezentos e setenta e três.

Por sua vez, a representação simbólica da quantidade setecentos, na base seis, seria 3124(seis) - 3 caixas, 1 dossiê, 2 micas e 4 calendários avulso.

Em síntese, seria interessante os alunos concluírem que para se converter para a base decimal uma representação simbólica de uma quantidade escrita numa base inferior à decimal deve-se usar a operação multiplicação, tendo em conta o número de elementos existentes em cada ordem ou posição. Por sua vez, para se converter uma quantidade, escrita na base decimal, para uma base inferior à decimal, fazem-se divisões sucessivas em que o valor do divisor é sempre o valor da base de destino, parando-se quando o último dividendo for inferior ao valor da base de destino, isto é, ao divisor.

Tendo em conta esta reflexão, como se escreverão na base dois ou binário, ou linguagem dos computadores, as quantidades inteiras compreendidas entre zero e dez?

Nota: a base dois só utiliza dois símbolos: o zero e o um.

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